3.1.2 函数的表示（2）课件--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的表示，核心内容为求函数解析式的方法，包括待定系数法、换元法、配凑法等。通过回顾分段函数作业（如解不等式、公共汽车票价问题）导入，衔接新知识，搭建从应用到方法的学习支架。 其亮点在于以探究为导向，结合实例（如公共汽车票价模型、函数方程消元），培养学生数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理能力）。通过“设列求写”步骤总结方法，强化数学语言表达，学生能系统掌握解题策略，教师可借助清晰流程提升教学效果。

回顾作业 math9527Yao 1 (1)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围？ (2)若f(x)>2x，求x的取值范围？ 解：(1)因为a2＋2≥2， 所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3， 所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0， (2)当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x， 即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为3x＋5>2x， 即x>－5，所以－2<x<2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是(－∞，2). math9527Yao 2 教材P72 练习2 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 km以内(含5 km)，票价2元； (2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算). 如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象. 解：设票价为y元，里程为x公里， 由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20]. 由“招手即停”公共汽车票价的制定规则， 可得到函数解析式: 回顾作业 3.1.2 函数的表示（2） —求函数的解析式 math9527Yao 3 math9527Yao 4 【探究】已知f(x)是一次函数,且满足3f (x+1)－2f (x－1)=2x+16,求f(x)的解析式。 待定系数法 对应系数相等 math9527Yao 5 练1 已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)？ 解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8， 设 列 求 写 math9527Yao 6 【探究】已知二次函数f(x)满足f (0)=1，f (1)=2，f (2)=5，求函数f(x)的解析式。 待定系数法 math9527Yao 7 练2 已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)？ 解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， 所以f(x)＝x2－2x－1. 设 列 求 写 math9527Yao 8 设解析式→列关于待定系数的方程(组)→解方程(组)→将结果代回所设的解析式 适用：已知f(x)的函数类型，求f(x) 小结：待定系数法 math9527Yao 9 【探究】已知f(2x+1)=3x－2，求f(x)的解析式 换元法 整体配凑法 练 已知函数，求的解析式？ math9527Yao 10 2.换元法 3.配凑法 适用：已知f(g(x))的解析式，求f(x) 令t=g(x)→用t表示x→将f(g(x))转化为关于t的解析式 f(t)，注意求新元t的取值范围。 适用：已知f(g(x))的解析式，求f(x) 从f(g(x))的解析式中配凑出g(x),转化为关于g(x)的解析式→用x代替解析式中的g(x)。 math9527Yao 11 4.方程组法/消去法 math9527Yao 12 math9527Yao 13 4.方程组法/消去法 Q1：什么情况下可以替换？ 当替换的对象与被替换的对象范围相同时. Q2：方程组/消去法的本质是什么？ math9527Yao 14 探究 设是R上的函数，且满足，并且对任意的实数 都有求的解析式? 思路：由于可取任意实数，故可考虑对赋值处理。 解：方法1：∵ ， , ∴可令，则. ∴. 方法二：令，得， 即，用代替，得. 适用于已知关系式中有多个变量 5.赋值法(赋y留x) math9527Yao 15 练 已知函数对任意实数 解：令得 令得， ∴. math9527Yao 16 练 已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立. (1)求f(0)和f(1)的值； (2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均为常数)，求f(36)的值? 解：(1)令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0， 令x＝y＝1则f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. (2)令x＝2，y＝3，则f(6)＝f(2)＋f(3)＝a＋b， 令x＝y＝6，则f(36)＝2f(6)＝2(a＋b)， ∴f(36)＝2(a＋b)。 math9527Yao 17 课堂小结 1.换元法求函数解析式： 适用于已知求 2.配凑法求函数解析式： 适用于已知求 3.待定系数法求函数解析式： 适用于已知所求函数 4.构造方程组求函数的解析式： 适用于已知的关系式，或关系式 5.赋特殊值求函数的解析式： 适用于已知关系式中有多个变量 解得a≥1或a≤－， 即实数a的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)； 练习 已知函数f(x)＝  y＝ 思路：题设中明确一次函数，应该根据题意，设f(x)＝kx＋b(k≠0)的形式，再写出复合函数f[f(x)]的解析式来求k与b的值。 ∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. 即解得或 所以所以 解：∵2f(x)＋f(eq \f(1,x))＝2x，① 将x换成eq \f(1,x)，则eq \f(1,x)换成x， 得2f(eq \f(1,x))＋f(x)＝eq \f(2,x). ② 由①②消去f(eq \f(1,x))，得3f(x)＝4x－eq \f(2,x)； ∴f(x)＝eq \f(4,3)x－eq \f(2,3x)(x∈R且x≠0)． 探究 函数f(x)满足方程2f(x)＋f()＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)的解析式？ 思路：求f(x)，必须消去已知方程中的f(eq \f(1,x))，可由x与eq \f(1,x)的倒数关系，用eq \f(1,x)去替换已知式中的x，便可得另一个方程，然后联立方程组求解。 $