3.2.2　培优课　函数性质的综合问题 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦函数性质的综合问题，涵盖对称性、奇偶性、单调性等核心知识点。通过典型例题导入，先复习函数奇偶性、对称性基础，再构建从性质推导到综合应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于典型例题精研析与通性通法总结结合，如例2用定义法证明单调性并解不等式，体现数学思维的推理能力和数学语言的精确表达。跟踪训练扣课标，助力学生系统掌握解法，教师可借助结构化资源提升教学效率。

培优课　 函数性质的综合问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　 题型一 函数图象的对称性 【例1】　定义在R上的偶函数 y ＝ f （ x ），其图象关于点（ ，0） 对称，且 x ∈[0，1]时， f （ x ）＝－ x ＋ ，则 f （ ）＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 目录 数学·必修第一册 解析： 　∵ y ＝ f （ x ）的图象关于点（ ，0）对称，∴ f （ ＋ x ） ＋ f （ － x ）＝0，即 f （1＋ x ）＋ f （－ x ）＝0.又∵ y ＝ f （ x ）为偶 函数，∴ f （－ x ）＝ f （ x ），∴ f （1＋ x ）＋ f （ x ）＝0，即 f （1＋ x ）＝－ f （ x ），∴ f （ ）＝－ f （ ）＝0. 目录 数学·必修第一册 通性通法 1. 函数图象关于直线对称 y ＝ f （ x ）在定义域内恒满足的 条件 y ＝ f （ x ）的图象的对称轴 f （ a ＋ x ）＝ f （ a － x ） 直线 x ＝ a f （ x ）＝ f （ a － x ） f （ a ＋ x ）＝ f （ b － x ） 目录 数学·必修第一册 2. 函数图象关于点对称 y ＝ f （ x ）在定义域内恒满足的 条件 y ＝ f （ x ）的图象的对称中心 f （ a － x ）＝－ f （ a ＋ x ） （ a ，0） f （ x ）＝－ f （ a － x ） f （ a ＋ x ）＝－ f （ b － x ） f （ a ＋ x ）＋ f （ b － x ）＝ c 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知函数 f （ x ）的定义域为R，若 f （1－ x ）为奇函数， f （ x － 1）为偶函数.设 f （－2）＝1，则 f （2）＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 解析： 　∵ f （ x －1）为偶函数，∴ f （－ x －1）＝ f （ x －1）， ∴ f （ x ）图象关于直线 x ＝－1对称，∴ f （－2）＝ f （0）＝1； ∵ f （1－ x ）为奇函数，∴ f （1＋ x ）＝－ f （1－ x ），∴ f （ x ） 图象关于点（1，0）对称，∴ f （2）＝－ f （0）＝－1，故选A. 目录 数学·必修第一册 2. 已知图象开口向上的二次函数 f （ x ），对任意 x ∈R，都满足 f （ － x ）＝ f （ x ＋ ），若 f （ x ）在区间（ a ，2 a －1）上单调递 减，则实数 a 的取值范围为（　　） D. （－∞，2] 目录 数学·必修第一册 解析： 　由 f （ － x ）＝ f （ x ＋ ），得函数 f （ x ）图象的对称 轴是直线 x ＝ ，又二次函数 f （ x ）图象开口向上，若 f （ x ）在区 间（ a ，2 a －1）上单调递减，则解得1＜ a ≤ .故 选B. 目录 数学·必修第一册 题型二 函数性质的综合应用 【例2】　已知函数 f （ x ）＝ 是定义在（－1，1）上的奇函 数，且 f （ ）＝ . 目录 数学·必修第一册 （1）确定函数 f （ x ）的解析式； 解： 根据题意得即 解得∴ f （ x ）＝ . 目录 数学·必修第一册 （2）用定义法证明 f （ x ）在（－1，1）上是增函数； 解： 证明：任取 x1， x2∈（－1，1），且令 x1＜ x2， f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ . ∵－1＜ x1＜ x2＜1， ∴ x1－ x2＜0，1＋ ＞0，1＋ ＞0，1－ x1 x2＞0， ∴ f （ x1）－ f （ x2）＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2）， ∴ f （ x ）在（－1，1）上是增函数. 目录 数学·必修第一册 （3）解不等式： f （ t －1）＋ f （ t ）＜0. 解： f （ t －1）＜－ f （ t ）＝ f （－ t ）. ∵ f （ x ）在（－1，1）上是增函数， ∴解得0＜ t ＜ . ∴不等式的解集为 . 目录 数学·必修第一册 通性通法 解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法 （1）图象法：根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论； （2）性质法：根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决 求值和比较大小的问题. 提醒　使用性质要规范，切不可自创性质. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 已知函数 f （ x ）的定义域为（－2，2），函数 g （ x ）＝ f （ x －1） ＋ f （3－2 x ）. （1）求函数 g （ x ）的定义域； 解： 由题意可知 所以解得 ＜ x ＜ ， 故函数 g （ x ）的定义域为（ ， ）. 目录 数学·必修第一册 （2）若 f （ x ）为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式 g （ x ）≤0的解集. 解： 由 g （ x ）≤0，得 f （ x －1）＋ f （3－2 x ）≤0， 所以 f （ x －1）≤－ f （3－2 x ）. 因为 f （ x ）为奇函数，所以 f （ x －1）≤ f （2 x －3）. 而 f （ x ）在（－2，2）上是减函数， 所以解得 ＜ x ≤2. 所以不等式 g （ x ）≤0的解集为（ ，2］. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数，且 f （ x ）＝ f （4－ x ）， 当－2≤ x ＜0时， f （ x ）＝ ，则 f （ ）＝（　　） A. －2 D. 2 解析： 　∵ f （ x ）＝ f （4－ x ），∴ f （ x ）的图象关于直线 x ＝ 2对称，∴ f （ ）＝ f （ ）.又∵函数 f （ x ）为奇函数，∴ f （ ） ＝－ f （－ ）＝－（－2）＝2，即 f （ ）＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 2. 已知函数 f （ x ）在区间（0，2）上单调递减，又函数 y ＝ f （ x ＋ 2）是偶函数，那么 f （ x ）（　　） A. 在区间（2，4）上单调递减 B. 在区间（2，4）上单调递增 C. 在区间（－2，0）上单调递减 D. 在区间（－2，0）上单调递增 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解析： 　∵函数 y ＝ f （ x ＋2）是偶函数，∴函数 y ＝ f （ x ＋2） 关于 y 轴对称，即函数 y ＝ f （ x ）关于 x ＝2对称，∵函数 f （ x ）在 （0，2）上单调递减，∴函数 f （ x ）在（2，4）上单调递增.函数 在（－2，0）的单调性无法确定.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 3. 若定义在R上的函数 f （ x ）满足：对任意 x1， x2∈R，有 f （ x1＋ x2）＝ f （ x1）＋ f （ x2）＋1，则下列说法一定正确的是（　　） A. f （ x ）－1为奇函数 B. f （ x ）－1为偶函数 C. f （ x ）＋1为奇函数 D. f （ x ）＋1为偶函数 解析： 　∵对任意 x1， x2∈R，有 f （ x1＋ x2）＝ f （ x1）＋ f （ x2）＋1，令 x1＝ x2＝0，得 f （0）＝－1.令 x1＝ x ， x2＝－ x ，得 f （0）＝ f （ x ）＋ f （－ x ）＋1.∴ f （ x ）＋1＝－ f （－ x ）－1＝ －[ f （－ x ）＋1]，∴ f （ x ）＋1为奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 4. （多选）已知定义在R上的函数 f （ x ），若函数 f （ x ）在（0，＋ ∞）上单调递增，且 f （ x ）＞1，则下列结论正确的是（　　） A. 若 f （ x ）是奇函数，则 f （ x ）的值域为（－∞，－1）∪（1，＋∞） B. 若 f （ x ）是偶函数，则 f （ x ）的值域为（1，＋∞） C. 若 f （ x ）是奇函数，则 f （ x ）在（－∞，0）上单调递增 D. 若 f （ x ）是偶函数，则 f （ x ）在（－∞，0）上单调递减 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解析： 　当 f （ x ）是定义在R上的奇函数时， f （0）＝0，即0 在值域内，故A错误；若 f （ x ）是奇函数，因为函数 f （ x ）在 （0，＋∞）上单调递增，所以 f （ x ）在（－∞，0）上单调递 增，故C正确；当 f （ x ）是定义在R上的偶函数时， f （ x ）的图象 关于 y 轴对称，因为函数 f （ x ）在（0，＋∞）上的值域为（1，＋ ∞），但在 x ＝0时的函数值不确定，故B错误；若 f （ x ）是偶函 数，因为函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，则 f （ x ）在（－ ∞，0）上单调递减，故D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 5. 已知偶函数 f （ x ）和奇函数 g （ x ）的定义域都是（－4，4）， 且在（－4，0]上的图象如图所示，则关于 x 的不等式 f （ x ）· g （ x ）＜0的解集是 ⁠. （－4，－2）∪（0，2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 解析：设 h （ x ）＝ f （ x ） g （ x ），则 h （－ x ）＝ f （－ x ）· g （－ x ）＝－ f （ x ） g （ x ）＝－ h （ x ），所以 h （ x ）是奇函 数，由图象可知，当－4＜ x ＜－2时， f （ x ）＞0， g （ x ）＜0， 即 h （ x ）＜0，当0＜ x ＜2时， f （ x ）＜0， g （ x ）＞0，即 h （ x ）＜0，所以 h （ x ）＜0的解集为（－4，－2）∪（0，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 6. 已知函数 f （ x ）＝ x2－ mx （ m ＞0）在区间[0，2]上的最小值为 g （ m ）. （1）求函数 g （ m ）的解析式； 解： 因为 f （ x ）＝ x2－ mx ＝（ x － ）2－ （ m ＞0）， 所以当0＜ ≤2，即0＜ m ≤4时， g （ m ）＝ f （ ）＝－ . 当 m ＞4时，函数 f （ x ）＝（ x － ）2－ 在区间[0，2]上 单调递减，此时 g （ m ）＝ f （2）＝4－2 m . 综上可知， g （ m ）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 （2）定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数 h （ x ）为偶函 数，且当 x ＞0时， h （ x ）＝ g （ x ）.若 h （ t ）＞ h （4），求实数 t 的取值范围. 解：因为当 x ＞0时， h （ x ）＝ g （ x ）， 所以当 x ＞0时， h （ x ）＝ 易知函数 h （ x ）在（0，＋∞）上单调递减， 因为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数 h （ x ）为 偶函数，且 h （ t ）＞ h （4），所以0＜｜ t ｜＜4， 解得－4＜ t ＜0或0＜ t ＜4. 综上所述，实数 t 的取值范围为（－4，0）∪（0，4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $