26.2.1 二次函数y=ax^2的图象和性质（4大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学二次函数y=ax²的图象和性质，系统梳理从图象基础（抛物线、对称轴y轴、顶点(0,0)）到开口方向（a正负定上下）、宽窄（|a|大小定宽窄），再到增减性、最值、对称性的知识脉络，构建从直观认识到性质应用的学习支架。 该资料通过分题型（画图、解析式、性质、求变量）设计，结合易错点（增减区间记反等）与技巧（速记口诀、五点画图法），如“五点法”培养几何直观（数学眼光），易错分析提升推理意识（数学思维）。课中辅助教师授课，课后例题变式助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题26.2.1二次函数的图象和性质 【新人教版】 【题型1 画二次函数的图象】.................................................................................................................2 【题型2 求二次函数解析式】.................................................................................................................7 【题型3 二次函数的性质】...................................................................................................................10 【题型4 求自变量或函数值】..............................................................................................................................12 1. 图像基础 · 图象是抛物线； · 对称轴为y轴（直线x=0）； · 顶点坐标(0,0)，顶点是抛物线最高点或最低点。 2. 开口方向 · a>0：开口向上，顶点为最低点； · a<0：开口向下，顶点为最高点。 3. 开口宽窄 |a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 4. 增减性与最值 ① a>0 x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大； x=0时，y最小值=0。 ②a<0 x<0时，y随x增大而增大；x>0时，y随x增大而减小；x=0时，y最大值=0。 5. 对称性 图象关于y轴对称；若点(m,n)在抛物线上，则(-m,n)也在图象上。 易错1：增减区间记反 开口向上、向下对应的增减变化混淆，不分对称轴左右。 易错2：判断开口宽窄不用绝对值 只看a大小，忽略|a|，误认为a越大开口越宽。 易错3：最值描述错误 a>0有最小值，a<0有最大值，二者写颠倒。 易错4：对称点坐标写错 只改变纵坐标符号，对称点只需变x符号，y不变。 易错5：画图不规范 未标注顶点、对称轴，曲线不光滑，走势画反。 技巧1：速记口诀 a正开口上，左减右增有最小；a负开口下，左增右减有最大；a绝对值越大，抛物线越窄。 技巧2：五点画图法 取x=-2、-1、0、1、2，代入算出对应y，描点后平滑连线。 技巧3：比较函数值大小 两点异号：利用对称轴转化到同侧； 两点同号：直接用增减性判断； 通用规律：|x|越大，a>0时y越大，a<0时y越小。 技巧4：图像快速判断步骤 先看a正负定开口；再看|a|定宽窄；最后看x正负判断增减。 题型一 画二次函数的图象 【例1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值，并写出对称轴和顶点坐标； (2)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】(1)，对称轴为轴，顶点坐标为 (2) 【分析】（）根据二次函数的定义和性质可求出的值，进而由解析式可求出对称轴和顶点坐标； （）列表、描点、连线，画出函数图象，再根据图象求出的范围即可； 本题考查了二次函数的定义和性质，画二次函数图象，根据函数图象求函数的取值范围，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴，顶点坐标为； （2）解：列表如下： 画函数图象如下： 由函数图象可得，当时，的范围为， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26九年级上·全国·期中）已知抛物线经过点 (1)求a的值； (2)在直角坐标系中画出该函数的图象； (3)说出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (4)若点也在此抛物线上，求m的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)抛物线开口向上，对称轴是轴，顶点坐标 (4) 【分析】（1）将点坐标代入计算即可； （2）画出函数图象即可； （3）根据图象写出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可； （4）将点坐标代入计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ； （2）解：由（1）可知，抛物线，图象过，，，图象如下： （3）解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标； （4）解：点也在此抛物线图象上， ， ， 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，描点法画二次函数图象，求自变量或函数值，是解题的关键． 【变式1-2】（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 【答案】见解答 【分析】本题考查画二次函数的图象，在对称轴两侧分别取点，描点，连线即可． 【详解】解：二次函数①；②；③；④的对称轴都为y轴， 在对称轴两侧分别取点，列表如下： 0 1 2 ① 2 0 2 ② 0 ③ 8 2 0 2 8 ④ 0 描点、连线可得图象为： 【变式1-3】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意画出函数图象即可； （2）结合图象求解即可； （3）结合图象求解即可； （4）结合图象求解即可． 【详解】解：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、图象，如图所示： ； （2）函数顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴； （3）图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是， 图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是； （4），时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小． 题型二 求二次函数解析式 【例2】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 【变式2-1】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知抛物线经过点，． (1)求和的值； (2)判断点是否在此抛物线上，并说明理由； 【答案】(1)，； (2)点不在这条抛物线上，理由见解析． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、判断点是否在抛物线上． 把点代入抛物线的解析式，求出，可知抛物线的解析式为，把点代入抛物线的解析式，即可求出的值； 当时，可以求出对应的纵坐标是，可以判断点不在这条抛物线上． 【详解】（1）解：把点代入抛物线的解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 把点代入抛物线的解析式， 可得：， 的值是，的值是； （2）解：当时， ， 点不在这条抛物线上． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【答案】(1)，． (2)当时，二次函数的函数值随的增大而增大． (3)点的坐标为． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）联立两函数解析式，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴，即， 把点A的坐标代入得， ∴； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大； （3）解：联立，解得或， ∴点B的坐标为． 【变式2-3】（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）已知点与点都在二次函数的图象上． (1)求和的值，并直接写出该拋物线的对称轴、顶点坐标和开口方向． (2)当时，直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)，拋物线的对称轴为y轴、顶点坐标为原点、开口方向向上； (2)最小值为0，最大值为32 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的最值等知识，掌握这些基础知识是关键； （1）把点A的坐标代入二次函数中，即可求得a的值，从而确定二次函数，再把点B的坐标代入二次函数式中，可求得t的值，最后可确定抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）当时，函数在原点取得最小值，在取得最大值，求出最大值即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得：， 解得：， ∴二次函数为； 把点代入中，得：； ∵二次函数为， ∴拋物线的对称轴为y轴、顶点坐标为原点、开口方向向上； （2）解：当时， 函数在原点取得最小值，即最小值为0； 函数在取得最大值，最大值为． 题型三 二次函数的性质 【例3】（25-26九年级上·广东东莞·期末）对于二次函数，当时，随的增大而（    ） A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质判断开口方向，再根据对称轴分析增减性即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下， ∵二次函数的对称轴为， ∴当时，随的增大而增大． 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏淮安·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质分别求出的值，再比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 同理可得，，， ∵， ∴． 故选：C． 【变式3-3】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握形如的抛物线对称轴方程是，顶点坐标为原点是解题的关键． 根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：对于抛物线，其中，则对称轴方程是，顶点坐标是． 故答案为：；． 题型四 求自变量或函数值 【例4】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）若二次函数的图象过点，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，将点代入函数解析式进行计算即可． 【详解】解：由题知，将点代入得， ． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定开口方向，求二次函数在的取值范围，需确定其在此范围内的最小值和最大值． 【详解】解：∵是开口向上的抛物线，顶点在， ∴ 当时，为最小值， 当时，； 当时，， ∴在时， 最大值为9， 因此 y 的取值范围是． 故选：C． 【变式4-2】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像的性质，根据抛物线关于轴对称的性质，由于点和点的纵坐标相同，因此它们的横坐标互为相反数，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为轴，且点和的纵坐标均为， 点和点关于轴对称， ， 故选：B． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）若二次函数的图像经过点，，则________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键掌握二次函数图象的对称性和增减性．先求出二次函数的对称轴，再根据函数的开口方向和增减性，即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，开口向上， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∵，，， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.2.1二次函数的图象和性质 【新人教版】 【题型1 画二次函数的图象】.................................................................................................................2 【题型2 求二次函数解析式】.................................................................................................................3 【题型3 二次函数的性质】.....................................................................................................................4 【题型4 求自变量或函数值】................................................................................................................................5 1. 图像基础 · 图象是抛物线； · 对称轴为y轴（直线x=0）； · 顶点坐标(0,0)，顶点是抛物线最高点或最低点。 2. 开口方向 · a>0：开口向上，顶点为最低点； · a<0：开口向下，顶点为最高点。 3. 开口宽窄 |a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 4. 增减性与最值 ① a>0 x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大； x=0时，y最小值=0。 ②a<0 x<0时，y随x增大而增大；x>0时，y随x增大而减小；x=0时，y最大值=0。 5. 对称性 图象关于y轴对称；若点(m,n)在抛物线上，则(-m,n)也在图象上。 易错1：增减区间记反 开口向上、向下对应的增减变化混淆，不分对称轴左右。 易错2：判断开口宽窄不用绝对值 只看a大小，忽略|a|，误认为a越大开口越宽。 易错3：最值描述错误 a>0有最小值，a<0有最大值，二者写颠倒。 易错4：对称点坐标写错 只改变纵坐标符号，对称点只需变x符号，y不变。 易错5：画图不规范 未标注顶点、对称轴，曲线不光滑，走势画反。 技巧1：速记口诀 a正开口上，左减右增有最小；a负开口下，左增右减有最大；a绝对值越大，抛物线越窄。 技巧2：五点画图法 取x=-2、-1、0、1、2，代入算出对应y，描点后平滑连线。 技巧3：比较函数值大小 两点异号：利用对称轴转化到同侧； 两点同号：直接用增减性判断； 通用规律：|x|越大，a>0时y越大，a<0时y越小。 技巧4：图像快速判断步骤 先看a正负定开口；再看|a|定宽窄；最后看x正负判断增减。 题型一 画二次函数的图象 【例1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值，并写出对称轴和顶点坐标； (2)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【变式1-1】（25-26九年级上·全国·期中）已知抛物线经过点 (1)求a的值； (2)在直角坐标系中画出该函数的图象； (3)说出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (4)若点也在此抛物线上，求m的值． 【变式1-2】（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 【变式1-3】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 题型二 求二次函数解析式 【例2】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知抛物线经过点，． (1)求和的值； (2)判断点是否在此抛物线上，并说明理由； 【变式2-2】（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【变式2-3】（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）已知点与点都在二次函数的图象上． (1)求和的值，并直接写出该拋物线的对称轴、顶点坐标和开口方向． (2)当时，直接写出的最大值和最小值． 题型三 二次函数的性质 【例3】（25-26九年级上·广东东莞·期末）对于二次函数，当时，随的增大而（    ） A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏淮安·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 题型四 求自变量或函数值 【例4】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）若二次函数的图象过点，则______． 【变式4-1】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）若二次函数的图像经过点，，则________（填“”，“”或“”）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $