专题25.2.1配方法（4大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦配方法，先以直接开平方法（(x+m)²=p形式及根的判定）为基础，通过降次思想过渡到配方法，系统讲解定义、完全平方公式依据及“移项、化1、配方、整理、开方”五步标准步骤，构建从基础到应用的学习支架。 资料亮点在于梳理五大易错点（如未化系数为1直接配方），提炼“移项化1半方同加”等技巧口诀，题型涵盖解方程、新定义问题及最值应用，结合真实检测例题与变式。通过抽象能力概括步骤，运算能力强化计算，应用意识提升解决实际问题能力，课中辅助教师突出重点，课后助力学生巩固查漏。

专题25.2.1配方法 【新人教版】 【题型1 解一元二次方程-直接开平方法】..........................................................................................................2 【题型2 解一元二次方程-配方法】......................................................................................................................4 【题型3 新定义问题】...........................................................................................................................................7 【题型4 配方法的应用】.....................................................................................................................................10 1.直接开平方法 · 1.适用形式：(x+m)2=p · 根的判定 p>0：两个不相等实数根，x=-m± p=0：两个相等实数根，x1=x2=-m p<0：无实数根 · 核心思想：降次，把二次方程转化为一元一次方程 2. 配方法 · 定义：通过配方，把一元二次方程ax2+bx+c=0化成(x+m)2=n的完全平方形式，再直接开平方求解方程的方法。 · 核心依据：完全平方公式：x2±2ax+a2=(x±a)2 · 配方法标准五步 步骤1：移项，将常数项移至等式右侧； 步骤2：化二次项系数为1，方程两边同除以二次项系数a； 步骤3：配方（核心），等式两边同时加上一次项系数一半的平方； 步骤4：整理，左边写成完全平方形式，右边合并常数； 步骤5：开方求解，右边非负则开平方，负数则无实数根。 · 配方法两大用途 ① 求解一元二次方程； ② 求二次代数式的最值与取值范围（二次函数基础）。 易错1：未化二次项系数为1直接配方 仅x2+bx形式可直接配方，二次项系数不为 1 时，必须先除以系数化为1，否则配方全部错误。 易错2：配方只加左边、不加右边 配方属于等式变形，必须等式左右两边同时加同一个数，保证等式成立，是高频丢分点。 易错3：误用原始系数配方 计算“一次项系数一半的平方”时，必须以化系数为1后的一次项系数为准，不可用原方程系数。 易错4：开平方遗漏正负号 正数开平方有正负两个实数根，只写正根会直接扣分。 易错5：计算结果不化简 含根号结果需化为最简二次根式，分数必须约分。 技巧1：配方秒记口诀 移项、化1、半方同加、配方、开方 技巧2：配方后根的快速判断 ①右边＞0：两个不相等的实数根；②右边＝0：两个相等的实数根；③右边＜0：无实数根。 技巧3：代数式最值配方技巧 纯代数式配方无需移项，仅变形凑完全平方，利用平方非负性求解最值与取值范围。 题型一 解一元二次方程-直接开平方法 【例1】（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，使用移项、直接开平方的方法即可得到结果． 【详解】∵， ∴， 故． 【变式1-1】（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程，得到两个根，再对比选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先两边同时除以5，再直接开平方，即可作答． （2）先移项，再直接开平方，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； 解得 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)4， (2)4， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先在两边同时除以2，得，再直接开平方法，即可作答． （2）先移项，在两边同时除以3，得，再直接开平方法，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴两边同时除以2，得， 则， ∴或， 解得4，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得4， 题型二 解一元二次方程-配方法 【例2】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需熟练掌握配方法步骤，通过配方得到的形式，求出、的值后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 与对比，得，， ∴． 故选：A． 【变式2-1】（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． (2)请写出用配方法解方程的正确过程． 【答案】(1)第③步，方程两边未同时加上 (2)见解析 【分析】（1）根据解方程的步骤分析判断即可； （2）利用配方法得出，解方程即可． 【详解】（1）解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加上． （2）解： 或 【变式2-2】（25-26九年级上·天津·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可得出结果； （2）利用配方法解一元二次方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【变式2-3】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用完全平方公式将方程变形，再求解即可； （2）先将二次项系数化为1，再通过配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）解：， ， ，即， ，即， ． 题型三 新定义问题 【例3】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 【答案】或 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解． 【详解】解：由运算规则 ，得： ， 即 或 解得或． 故答案为：或． 【变式3-1】（25-26九年级上·四川资阳·期末）我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 【答案】或4 【分析】本题需依据的定义，分两种情况讨论，分别令对应较小的式子等于9，求解后验证解是否满足该式子为两数中较小值的前提，舍去不符合条件的解，进而得到的值． 【详解】解：根据表示两实数中较小数的定义，分以下两种情况分析： 1．当时，， 根据有理数的乘方运算，解得或， 验证：当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 当时，，，此时，满足前提条件，故是有效解； 2．当时，， 用直接开平方法解方程，得或， 即或， 验证：当时，，，此时，满足的前提，故是有效解， 当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 综上，或， 故答案为：或4 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．如：．如果，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据新定义运算法则列式得，再进行化简计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 则， ∴ ， 则， ∴， ∴ ， 解得． 故答案为： 【变式3-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）定义新运算：对于任意实数m、n都有．例如：．根据以上定义解决问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）直接根据新运算得到一元二次方程，解方程即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 整理得， 解得； （2）解：∵，， ∴， 整理得， 开方得， 解得：． 题型四 配方法的应用 【例4】（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 【变式4-2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 【答案】2027 【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴，，， 解得，， 则 ， 当时，则， ∴， 即代数式的最小值是， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·四川眉山·期中）阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如： 材料一： 材料二： 的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：； (2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长； (3)已知实数a、b满足，求的最值． 【答案】(1) (2)12 (3)的最小值4，无最大值 【分析】本题考查了配方法、平方差公式以及完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键． （1）先通过配方法将多项式转化为完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解． （2）通过配方法将等式转化为完全平方和的形式，根据非负性求出三边长度，进而求出周长． （3）先用含的式子表示, 再代入, 通过配方法求最值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 解得， 的周长为； （3）解：， ， ， ， ， ， 有最小值4，无最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.2.1配方法 【新人教版】 【题型1 解一元二次方程-直接开平方法】..........................................................................................................2 【题型2 解一元二次方程-配方法】......................................................................................................................3 【题型3 新定义问题】...........................................................................................................................................4 【题型4 配方法的应用】.......................................................................................................................................4 1.直接开平方法 · 1.适用形式：(x+m)2=p · 根的判定 p>0：两个不相等实数根，x=-m± p=0：两个相等实数根，x1=x2=-m p<0：无实数根 · 核心思想：降次，把二次方程转化为一元一次方程 2. 配方法 · 定义：通过配方，把一元二次方程ax2+bx+c=0化成(x+m)2=n的完全平方形式，再直接开平方求解方程的方法。 · 核心依据：完全平方公式：x2±2ax+a2=(x±a)2 · 配方法标准五步 步骤1：移项，将常数项移至等式右侧； 步骤2：化二次项系数为1，方程两边同除以二次项系数a； 步骤3：配方（核心），等式两边同时加上一次项系数一半的平方； 步骤4：整理，左边写成完全平方形式，右边合并常数； 步骤5：开方求解，右边非负则开平方，负数则无实数根。 · 配方法两大用途 ① 求解一元二次方程； ② 求二次代数式的最值与取值范围（二次函数基础）。 易错1：未化二次项系数为1直接配方 仅x2+bx形式可直接配方，二次项系数不为 1 时，必须先除以系数化为1，否则配方全部错误。 易错2：配方只加左边、不加右边 配方属于等式变形，必须等式左右两边同时加同一个数，保证等式成立，是高频丢分点。 易错3：误用原始系数配方 计算“一次项系数一半的平方”时，必须以化系数为1后的一次项系数为准，不可用原方程系数。 易错4：开平方遗漏正负号 正数开平方有正负两个实数根，只写正根会直接扣分。 易错5：计算结果不化简 含根号结果需化为最简二次根式，分数必须约分。 技巧1：配方秒记口诀 移项、化1、半方同加、配方、开方 技巧2：配方后根的快速判断 ①右边＞0：两个不相等的实数根；②右边＝0：两个相等的实数根；③右边＜0：无实数根。 技巧3：代数式最值配方技巧 纯代数式配方无需移项，仅变形凑完全平方，利用平方非负性求解最值与取值范围。 题型一 解一元二次方程-直接开平方法 【例1】（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【变式1-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 题型二 解一元二次方程-配方法 【例2】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 【变式2-1】（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． (2)请写出用配方法解方程的正确过程． 【变式2-2】（25-26九年级上·天津·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【变式2-3】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）解下列方程： (1) (2) 题型三 新定义问题 【例3】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 【变式3-1】（25-26九年级上·四川资阳·期末）我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．如：．如果，则的值为_____． 【变式3-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）定义新运算：对于任意实数m、n都有．例如：．根据以上定义解决问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 题型四 配方法的应用 【例4】（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【变式4-1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【变式4-2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 【变式4-3】（25-26八年级上·四川眉山·期中）阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如： 材料一： 材料二： 的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：； (2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长； (3)已知实数a、b满足，求的最值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $