3.2.1双曲线及其标准方程（二）第2课时同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦双曲线定义、方程及应用，分层梯度清晰，从概念辨析到实际应用，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|双曲线定义辨析、标准方程求解|选择填空结合，如焦点与轨迹关系判断，夯实概念理解（数学抽象）| |提升层|几何性质应用、轨迹方程综合|结合光学性质、动圆相切问题，如第3题光线反射余弦值计算，提升推理能力（逻辑推理）| |综合层|实际应用与跨知识点整合|军事演习情境、光线反射综合题，如第16题轨迹方程与最短距离求解，培养建模意识（数学建模）|

第2课时　双曲线及其标准方程（二） 1.设定点F1（0，－3），F2（0，3），动点P（x，y）满足条件｜PF1｜－｜PF2｜＝4，则动点P的轨迹是（　　） A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.双曲线或线段或不存在 2.设动点P到A（－5，0）的距离与它到B（5，0）距离的差等于6，则P点的轨迹方程是（　　） A.－＝1 　　　　 B.－＝1 C.－＝1（x≤－3） D.－＝1（x≥3） 3.双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P（8，y0）后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（　　） A.　　　 B.－　　　 C.　　　 D.－ 4.已知点M（－3，0），N（3，0），B（1，0），动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（　　） A.x2－＝1（x＜－1） B.x2－＝1（x＞1） C.x2＋＝1（x＞0） D.x2－＝1（x＞1） 5. (2025高二上·江门月考) 已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  6.（多选）（2024·莆田质检）数缺形时少直观，形少数时难入微.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题.结合上述观点，可得方程｜－｜＝2的解为（　　） A.x＝ B.x＝C.x＝－ D.x＝－ 7. (2026春·黄浦区校级期中) 若双曲线的一个焦点坐标为(5, 0)，实轴长为6，则它的标准方程是　　　　. 8.已知动点M与两定点A（－1，0），B（1，0）构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C，则轨迹C的方程为　　　　. 9.（2024·揭阳月考）已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A（0，），则△APF周长的最小值为　　　　. 10.设动圆M的半径为r，分别求满足下列条件的圆心M的轨迹方程： （1）与圆C：（x＋2）2＋y2＝2内切，且过点A（2，0）； （2）与圆C1：（x＋3）2＋y2＝9外切，且与圆C2：（x－3）2＋y2＝1内切. 11.半径不等的两定圆O1，O2无公共点（O1，O2是两个不同的点），动圆O与圆O1，O2都内切，则圆心O的轨迹是（　　） A.双曲线的一支 B.椭圆或圆 C.双曲线的一支或椭圆或圆 D.双曲线的一支或椭圆 12.（多选）在平面直角坐标系中，已知圆C1：（x＋2）2＋y2＝和圆C2：（x－2）2＋y2＝，其中r1，r2为正常数，且满足r1＋r2＜4或｜r1－r2｜＞4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心P的轨迹可以是（　　） A.椭圆 B.双曲线 C.一条直线 D.圆 13.（2024·青岛月考）已知P是双曲线x2－y2＝1上的动点，Q是圆（x－4）2＋y2＝4上的动点，则P，Q两点间的最短距离为　　　　. 14.已知双曲线的方程为x2－＝1，如图所示，点A的坐标为（－，0），B是圆x2＋（y－）2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求｜MA｜＋｜MB｜的最小值. 15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出.如图，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）与双曲线C'：－＝1（m＞0，n＞0）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k（k∈N*）次反射后回到左焦点所经过的路径长为　　　　　. 16.（2024·南京质检）在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵（此时舰艇可视作静止的点），如图中的点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝3，假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒（注：v0为信号传播速度），C处舰艇保持静默. （1）建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程； （2）在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的最小距离是多少？ 第2课时　双曲线及其标准方程（二） 1.B　因为定点F1（0，－3），F2（0，3），动点P（x，y）满足条件｜PF1｜－｜PF2｜＝4＜｜F1F2｜，所以根据双曲线的定义及｜PF1｜＝4＋｜PF2｜＞｜PF2｜，可知动点P的轨迹是双曲线的一支，故选B. 2.D　由题意知，P点的轨迹应为以A（－5，0），B（5，0）为焦点的双曲线的右支.由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为－＝1（x≥3）. 3.C　设P（8，y0）在第一象限，－＝1⇒y0＝3，｜PF2｜＝＝6，｜PF1｜＝6＋8＝14，｜F1F2｜＝10，cos∠F1PF2＝＝. 4.B　｜PM｜－｜PN｜＝｜BM｜－｜BN｜＝2＜6＝｜MN｜，所以P点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支（除去点（1，0））.又2a＝2，a＝1，2c＝6，c＝3，b2＝c2－a2＝9－1＝8，所以P点的轨迹方程是x2－＝1（x＞1）. 5.B　，可得，当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意，当时，即时，，即，解得. 6.AC　由｜－｜＝2得｜－｜＝2.其几何意义为平面内一点（x，1）与两定点（－2，0），（2，0）距离之差的绝对值为2.平面内与两定点（－2，0），（2，0）距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线.设该双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），则解得所以该双曲线的方程是x2－＝1.由解得x＝±.故选A、C. 7. 　解析：由焦点(5, 0)，可得c = 5，由实轴长为6，即2a = 6，可得a = 3，，故双曲线的标准方程为. 8.x2－＝1（y≠0）　解析：设点M的坐标为（x，y），当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在.于是x≠1且x≠－1.此时，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为.由题意有·＝4，化简得x2－＝1，因为x≠1且x≠－1，即y≠0，所以轨迹C的方程为x2－＝1（y≠0）. 9.4＋4　解析：设双曲线的左焦点为F'，则｜PF｜－｜PF'｜＝2a＝4，所以｜PF｜＝4＋｜PF'｜，所以△APF的周长为｜PF｜＋｜PA｜＋｜AF｜＝4＋｜PF'｜＋｜PA｜＋2≥4＋2＋｜AF'｜＝4＋4，当且仅当P在线段AF'与双曲线左支的交点处时取等号，所以△APF周长的最小值为4＋4. 10.解：（1）连接MC，MA（图略），∵圆C与圆M内切，点A在圆C外，∴｜MC｜＝r－，｜MA｜＝r，∴｜MA｜－｜MC｜＝，即动点M到两定点A（2，0），C（－2，0）的距离之差为常数，且＜｜AC｜＝4，∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支，∴点M的轨迹方程是2x2－＝1（x≤－）. （2）连接MC1，MC2（图略），∵圆M与圆C1外切，且圆M与圆C2内切，∴｜MC1｜＝r＋3，｜MC2｜＝r－1，∴｜MC1｜－｜MC2｜＝4＜｜C1C2｜＝6，∴点M的轨迹是以C1（－3，0），C2（3，0）为焦点的双曲线的右支，∴点M的轨迹方程是－＝1（x≥2）. 11.D　两定圆O1，O2无公共点，则它们的位置关系是外离或内含.设两定圆O1，O2的半径分别为r1，r2（r1＞r2），圆O的半径为R.又圆O与圆O1，O2都内切，则当两圆O1，O2外离时，｜OO1｜＝R－r1，｜OO2｜＝R－r2，∴｜OO2｜－｜OO1｜＝r1－r2＜｜O1O2｜，此时圆心O的轨迹是双曲线的一支；当两圆O1，O2内含时，｜OO1｜＝r1－R，｜OO2｜＝R－r2，∴｜OO2｜＋｜OO1｜＝r1－r2＞｜O1O2｜，此时圆心O的轨迹是椭圆.故选D. 12.ABC　连接PC1，PC2（图略），设动圆P的半径为r，当｜r1－r2｜＞4时，不妨设r1－r2＞4，此时圆C1与C2内含.若动圆P与圆C1内切且与圆C2外切，则｜PC1｜＝r1－r，｜PC2｜＝r＋r2，即｜PC1｜＋｜PC2｜＝r1＋r2；若动圆P与两圆都内切，同理可得｜PC1｜＋｜PC2｜＝r1－r2.因此当｜r1－r2｜＞4时，动点P的轨迹是椭圆.当r1＋r2＜4时，两圆外离.若动圆P与两圆都外切或内切，则｜｜PC1｜－｜PC2｜｜＝｜r1－r2｜，所以动点P的轨迹是双曲线或一条直线；若动圆P与两圆一外切一内切，则｜｜PC1｜－｜PC2｜｜＝｜r1＋r2｜，所以动点P的轨迹是双曲线.故选A、B、C. 13.－2　解析：P是双曲线x2－y2＝1上的动点，Q是圆（x－4）2＋y2＝4上的动点，设圆（x－4）2＋y2＝4的圆心为M（4，0），半径为2，P，Q两点间的最短距离就是P到圆的圆心的距离的最小值减去半径.设P（x0，y0），可知－＝1，即＝－1，可得｜PM｜＝＝≥，当且仅当x0＝2时取等号，所以P，Q两点间的最短距离为－2. 14.解：设点D的坐标为（，0），则点A，D是双曲线的焦点，如图所示，连接MD，BD.由双曲线的定义，得｜MA｜－｜MD｜＝2a＝2. ∴｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜－｜MD｜＋｜MB｜＋｜MD｜＝2＋｜MB｜＋｜MD｜≥2＋｜BD｜. 又点B是圆x2＋（y－）2＝1上的点，圆的圆心为C（0，），半径长为1， 故｜BD｜≥｜CD｜－1＝－1， 从而｜MA｜＋｜MB｜≥2＋｜BD｜≥＋1， 当且仅当点M，B在线段CD上时取等号. 故｜MA｜＋｜MB｜的最小值为＋1. 15.2k（a－m） 解析：光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，｜BF2｜＝2m＋｜BF1｜，｜BF1｜＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜BF2｜－2m＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜AF2｜＋｜AF1｜－2m＝2a－2m，所以光线经过2k（k∈N*）次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k（a－m）. 16.解：（1）如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设敌舰艇的位置为P（x，y），由题意可知｜PB｜－｜PA｜＝v0·＝4＜｜AB｜＝6. 由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a＝4，c＝3，所以b＝. 所以敌舰艇的轨迹方程为－＝1（x≤－2）. （2）设方程－＝1（x≤－2）上一点M（x0，y0）， 由题意知－＝1（x0≤－2），即＝4＋，又C（0，3），所以｜MC｜＝＝＝＝（y0∈R）， 所以当y0＝时，｜MC｜min＝2， 即无人机飞行的最小距离是2. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $