第1章 三角形 提分练习-【课时提优计划作业本】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习课时作业（苏科版2024）

八年级上册 《 练习1三角形中的线段和角 1.如图，在平面内，将长分别为1、1、3、x的线段首尾顺次相接组成一个凸四边形，则x的值可 能是 () A.1 B.3 C.5 D.7 2.现有下列说法：①钝角三角形有两条高在三角形内部；②三角形的三条高都在三角形内部； ③三角形的三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部；④锐角三角形三条高的交点 一定在三角形内部.其中正确的说法有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O,∠CAB=50°，∠C= 60°，求∠DAE和∠BOA的度数 ED 4.在△ABC中，已知AB=3+2m,AC=5-3m. (1)若AB-AC=3, ①m= ； ②若边BC的长为整数，则△ABC周长的最大值是 (2)若∠A=90°，求△ABC的面积S(用含m的代数式表示). 《1 提分练习 练习2全等三角形的性质 1.如图，△ABC≌△ADE,∠DAC=70°，∠BAE=100°，BC、DE相交于点F,AD、BC相交于 点G,则∠DFB的度数为 R 2.如图，已知△ABC≌△DEB,点E在AB上，DE与AC相交于点F. (1)当DE=8,BC=5时，求线段AE的长 (2)已知∠D=35°，∠C=60°，求∠DBC和∠AFD的度数. 3.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,现有一动点P从 点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A时停止，速度为3cm/s,设运动 时间为ts. (1)如图1，当t的值为 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半. (2)如图2，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在△ABC的边上有 另外一个动点Q,与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A时停 止.若在两点运动过程中的某一时刻，恰好有△APQ≌△DEF,求点Q的运动速度. P B 图1 图2 2》 八年级上册 《 练习3根据SAS判定三角形全等 【全等三角形常见模型1】倍长中线 条件中有“BC的中点M”,如图， ①倍长：延长AM至点G,使得MG=MA; ②连接：连接BG(视题目而定，也可连接CG); ③全等：构造8字型全等，△AMC≌△GMB(SAS); ④结论：可得AC=GB且AC∥GB. 1.为探究三角形中线的应用，小丽进行了如下操作：如图1，在△ABC中，延长边BC上的中 线AD至点M,使DM=AD,连接BM. M D D 图1 图2 图3 【探究发现】如图1，△ADC≌△MDB的判定依据是 【初步应用】如图2，在△ABC中，AB=12,AC=8,中线AD的取值范围是 A.6<AD<8 B.6≤AD≤8 C.2<AD<10 D.2≤AD≤10 【方法感悟】解题时，遇到“中点”“中线”等条件，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把条 件和结论整合到同一个三角形中. 【问题解决】如图3，已知AD是△ABC的中线，BE与AC、AD分别交于点E、F,AE= EF,求证：AC=BF. 2.如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA,求证： AE=2AD. 《3 提分练习 练习4根据ASA、AAS判定三角形全等 【全等三角形常见模型2】平行遇中点8字型全等 结论要证“M是BC的中点”，如图. ①平行：过点B作BG∥AC,交AM的延长线于点G; ②等线：根据其他条件证明BG=CA; ③全等：得到△AMC≌△GMB(AAS或ASA); ④中点：MB=MC. 1.如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，“腾飞”数学研究小组设计了 不同的方案.他们在河南岸的点B处，测得河北岸的一棵树底部点A恰好在点B的正北方 向，测量方案如下表. 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺等 观测者从点B向正东走到点E(BE⊥AB),O是BE的中点，接着从点E沿垂直于 测量方案 BE的EF方向走，直到点A、O、F在一条直线上. 测量示意图 方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得EF的长就是所求河宽AB的长. 你认为这个方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由. 2.如图，在△ABC中，P为边AB上一点，Q为边BC的延长线上一点，过点P作PM⊥AC于 点M,过点Q作QN⊥AC交AC的延长线于点N,且PM=QN,AM=CN,连接PQ交边 AC于点D. (1)求证：△APM≌△CQN. (2)求证：DM=2AC. 4》 八年级上册 《 练习5根据HL判定三角形全等 1.如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，点A、E、B、D在一条直线上，BC、EF 交于点M,AC=DF,AB=DE (1)求证：∠CBA=∠FED. (2)求证：AM=DM. 2.如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BD=CD,BE=CF. (1)求证：DE=DF. (2)已知AC=20,BE=4,求AB的长. 3.八年级数学社团活动课上，“致远组”同学讨论了这样一道题目：如图，∠BAC是钝角，AB= AC,D、E分别在AB、AC上，且CD=BE.试证明：∠ADC=∠AEB. 其中一个同学的证明方法是这样的： [AB=AC, 在△ACD和△ABE中，{BE=CD, ∠BAE=∠CAD, .△ABE≌△ACD,.∠ADC=∠AEB. 这种证明方法遭到了其他同学的质疑，理由是不能用“SSA”证明三角形全等.请你给出正确 的证明方法. 《5 提分练习 练习6全等三角形中的“一线三垂直”模型 【模型】如图，条件：∠BDC=∠CEA=∠ACB=90°，BC=AC. 结论：△BDC≌△CEA, B 2D八 1.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E,若AD=3,BE=1,则 DE的长为 A.1.5 B.2 C.2.4 D.2.5 M B B O (第1题) (第2题) 2.如图，CA⊥BC,垂足为C,AC=3cm,BC=9cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从点C 出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，N为射线BM上一动点，随着点P运动而运动，且 满足PN=AB,若点P运动ts时，△BCA与以P、N、B为顶点的三角形全等，则t的值 为 3.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN 于点E. (1)当直线MN处在图1的位置时，填空： ①△ADC和△CEB的关系是 ②线段DE、AD和BE三者之间的数量关系是 (2)当直线MN处在图2的位置时，求证：DE=AD一BE (3)当直线MN处在图3的位置时，若BE=3,AD=1,求DE的长. M D E D 图1 图2 图3 6》 八年级上册 《 练习7全等三角形中的“一线三等角”模型 【模型】如图，基本方法：导角1，“一线三等角”，平角180°；导角2，“内角和”或推论， 判定定理：AAS或ASA, 结论：△APC≌△BDP. 一线三等角（同侧型） 一线三等角（异侧型） 1.如图，已知C是线段AB上一点，∠DCE=∠A=∠B,CD=CE.猜想AB、BE、AD之间的 数量关系为 2.如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点 B、C重合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E. (1)当∠BDA=115°时，∠EDC= °，∠AED= (2)线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE?请说明理由. (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的 度数；若不可以，请说明理由。 B40人40 D 《7 提分练习 练习8全等三角形中的“半角”模型 【模型】该模型是指从角的顶点向角的内部引出两条射线，这两条射线形成的夹角恰好等于原 角的一半 模型特点：(I)共顶点，等线段：AB=AC,(2)大角含半角：∠DAE=2∠BAC=a. 方法：构造旋转， 结论：△ABD≌△ACD',△ADE≌△AD'E. B D E B D E C 1.如图，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC、CD上的点.若△ECF的周长是2，则 ∠EAF的度数为 () A.40° B.45° C.50° D.60° (第1题) (第2题) 2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，则EF (填“>”“=”或“<”)DF十BE. 3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点， ∠EAF-2∠BAD. (1)求证：EF=BE+FD. (2)求证：AF平分∠DFE 8》 八年级上册 练习9线段垂直平分线的性质与判定 1.在△ABC中，AB=AC,OB=OC,且点A到BC的距离为8，点O到BC的距离为3，则AO 的长为 2.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M、N两点，DM与EN相 交于点F. (1)若∠ACB=110°，则∠MCN的度数为 (2)若∠ACB=a,则∠MCN的度数为 .(用含α的代数式表示) (3)连接FC,试证明FC平分∠MCN. 3.如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P、Q是直线ON上的两动点，点Q在 点P的右侧，且PQ=OA,作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON于点B、C,连接 AB、PB, (1)如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，则线段AB与PB的数量关系是 (2)如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB、PB是否还存在(1)中 的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由. M A A B N P C O N B 图1 图2 《9 提分练习 练习10角平分线的性质与判定 1.如图，∠ABC、∠ACE的平分线交于点P,过点P分别作PF⊥BD, D PG⊥BE,垂足分别为F、G.现有下列结论：①S△ABP：S△BCP=AB· BC;②∠APB+∠ACP=90°；③∠ABC+2∠APC=180°.其中正确的有 ) CGE A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.如图，射线OP在∠AOB内部，已知∠PAO+∠PBO=180°，PA=PB,问：OP是∠AOB 的平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由. 3.在四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E,∠ADC的平分线交直线AE于 点O. 图1 图2 图3 (1)如图1，当点O在四边形ABCD的内部时.若AD∥BC,∠B=40°，∠C=70°，则 ∠DOE= (2)如图2，试探索∠B、∠C和∠DOE之间的数量关系，并说明理由. (3)如图3，当点O在四边形ABCD的外部时，请你直接写出∠B、∠C和∠DOE之间的数 量关系 10》参考答案与详解 练习1三角形中的线段和角 .AE=AB-BE=8-5=3.(2).△ABC≌△DEB, 1.B解析：如图，连接AC.在△ACD中，DC-AD< ∠DBE=∠C=60°，∠A=∠D=35,∠ABC=∠DEB, AC<DC+AD,即2<AC<4;又：在△ABC中，AC-AB< .∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-35°-60°=85°， x<AC十AB,.1<x<5.综上所述，x可能是3. .∠DBC=∠ABC-∠DBE=85°-60°=25°..∠ABC= D 85°，∴.∠DEB=85°，..∠AED=180°-∠DEB=180°- 85°=95°，∴.∠AFD=∠A+∠AED=35°+95°=130° 31片皮号解折：分两种情况.0当点P在边BC上 C 2.A解析：钝角三角形有三条高，一条高在三角形内 时，CP=BC=2×g- 之(cm),此时点P运动的距离为 部，另外两条高在三角形外部；锐角三角形有三条高，高都在 三角形内部，锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部；直 AC+CP=12+号-2( (em,运动的时间为经÷3= 角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部，三条艺)，②当点P在边BA上时，BP- 2AB= 2×15= 高的交点在直角顶点上，综上所述，正确的说法是④，只有 1个. 5(m),此时点P运动的距离为AC+CB+BP=12+9十 3.:∠CAB=50°，∠C=60°，∠ABC=180°-∠C- ∠CAB=180°-60°-50°=70°.又：AD是高，∠ADC= 艺-号（cm运动的时间为贸÷8-号(0综上所述4的 90,∠D4AC=180-∠ADC-∠C=1sw-9g-60=30值为号或号 (2)△APQ≌△DEF,即对应顶点为A与D, :AE、BF是角平分线，∠CBF=∠ABF= F2∠ABC= 2×P与E,Q与F.①当点P在边AC上时，如图1所示，此时， 70-35,∠EAF=∠BAE-3∠CAB-3X50=25, AP=DE=4cm,AQ=DF=5cm,∴.点Q的运动速度为5÷ (4÷3)=15(。 (cm/s);②当点P在边AB上时，如图2所示，此 ∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=30°-25°=5°，∠BOA= 180°-∠ABF-∠BAE=180°-35°-25°=120°. 时，AP=DE=4cm,AQ=DF=5cm,即点P运动的距离为 4.(1)①1解析：AB-AC=3,.(3+2m)-(5- 12+9+15一4=32(cm),点Q运动的距离为15+9+12-5= 9 3m)=3,即5m-2=3,解得m=1.②13解析：由①得，31(cm),.点Q的运动速度为31÷(32÷3)= 32(cm/s).综上 AB=5,AC=2.由三角形三边关系，得3<BC<7.又BC的 长为整数，∴BC长的最大值为6，∴.△ABC周长的最大值为 所述，满足题意的点Q的运动速度为5。 cm/s或93。 32 cm/s. 5+2+6=13.(2):∠A=90S=2AB:AC=28+ 2m)(6-3m）=-3m2+2m+号 ,15 练习2全等三角形的性质 1.15°解析：：△ABC≌△ADE,∴.∠B=∠D, ∠BAC=∠DAE.又'∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAE= 图1 图2 ∠DAE-∠DAC,.∠BAD=∠CAE.'∠DAC=7O, 练习3根据SAS判定三角形全等 ∠BAE=100°，∴.∠BAD=∠CAE= 2(∠BAE 1.【探究发现】SAS【初步应用】C解析：如图1，延长 AD至点M,使DM=AD,连接BM.AD是中线，.BD=CD. ∠DAC)=2X(100°-70)=15°，在△ABG和△FDG中， (AD=MD, ∠B=∠D,∠AGB=∠FGD,∠DFB=∠BAD=15°. 在△ADC和△MDB中， ∠ADC=∠MDB,..△ADC≌ 2.(1)△ABC≌△DEB,.AB=DE=8,BE=BC=5, CD-BD; 《41 △MDB(SAS),.BM=AC=8.又在△ABM中，12-8< PM=QN, AM<12+8,即4<AM<20,:AD=DM=号AM,2< 90°.在△AMP和△CNQ中，{∠AMP=∠CNQ,∴.△AMP≌ AM=CN, AD<10. △CNQ(SAS).(2):∠AMP=∠CNQ=90°，∴.∠PMD= 「∠PMD=∠QND, ∠QND=90°.在△PMD和△QND中， ∠PDM=∠QDN, PM=QN, ∴.△PMD≌△QND(AAS),.DM=DN.又.DN=CD+CN, M .DM=CD+CN=CD+AM.又，'DM+CD+AM=AC, 图1 图2 ∴DM+DM=AC,即DM=2AC. 【问题解决】证明：如图2，延长AD至点M,使MD=FD BD=CD, 练习5根据HL判定三角形全等 连接MC.在△BDF和△CDM中 ∠BDF=∠CDM, 1.证明：(I)在Rt△ABC和Rt△DEF中， (AB=DE, DF=DM, AC=DF, .△BDF≌△CDM(SAS),.CM=BF,∠M=∠BFM.又 ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),∴∠CBA=∠FED.(2)由 .AE=EF,∴.∠EAF=∠EFA=∠BFM,∴.∠M=∠EAF, (1),得∠CBA=∠FED,即∠MBE=∠MEB,∴.ME=MB, 即∠M=∠CAM,AC=CM,.AC=BF, ∠AEM=∠DBM.又AB=DE,.AB-EB=DE一EB,即 2.证明：如图，延长AD至点M,使DM=AD.'AD是 AE=DB, △ABC的中线，.BD=CD.在△ABD和△MCD中， AE=DB.在△AEM和△DBM中， ∠AEM=∠DBM, ME=MB, [AD-MD, ∴.△AEM≌△DBM(SAS),∴.AM=DM. ∠ADB=∠MDC,∴.△ABD≌△MCD(SAS),∴.MC=AB, 2.(1)证明：.DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠E=∠DFC= BD=CD, BD=CD, ∠MCD=∠B..AB=CE,.CM=CE..∠BAC=∠BCA, ∠AFD=90°.在Rt△BED和Rt△CFD中， BE=CF, .∠B+∠BAC=∠BCA+∠MCD,∴.∠ACE=∠ACM.在 ∴.Rt△BED≌Rt△CFD(HL),.DE=DF.(2)由(1)，得 (AC-AC, Rt△BED≌Rt△CFD,.DE=DF,CF=BE=4.在Rt△AED和 △ACM和△ACE中，{∠ACM=∠ACE,'.△ACM≌△ACE (AD=AD, CM=CE, Rt△AFD中， .Rt△AED≌Rt△AFD(HL),.AE= DE-DF, (SAS),∴.AE=AM.AM=AD+DM=2AD,∴.AE=2AD. AF=AC-CF=20-4=16.∴.AB=AE-BE=16-4=12. 3.证明：如图，过B、C两点分别作CA、BA的垂线，垂足 分别为F、G,则∠F=∠G=90°.在△ABF和△ACG中， ∠F=∠G ∠FAB=∠GAC,.△ABF≌△ACG(AAS),∴.BF=CG.在 AB=AC, CG=BF, 练习4根据ASA、AAS判定三角形全等 Rt△CGD和Rt△BFE中， .Rt△CGD≌Rt△BFE CD=BE, 1.可行.证明如下：由题意，得∠ABO=∠FEO=90°.：O(HL),∠CDG=∠BEF,即∠ADC=∠AEB 是BE的中点，0B=0E=名BE,在△AOB和△FOE中， [∠ABO=∠FEO, D OB=OE, .△AOB≌△FOE(ASA),.AB=FE,即 ∠AOB=∠FOE, 只要测得EF的长就是所求河宽AB的长. 练习6全等三角形中的“一线三垂直”模型 2.(1)证明：：PM⊥AC,QN⊥AC,∴.∠AMP=∠CNQ= 1.B解析：AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠ADC=∠E=90° 42 :∠ACB=90,∴.∠ACD十∠BCE=∠BCE十∠CBE=90°，80时，△ADE是等腰三角形. [∠ADC=∠E, 练习8全等三角形中的“半角”模型 ∴.∠ACD=∠CBE.在△ACD和△CBE中， ∠ACD=∠CBE, 1.B解析：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°至 AC=CB, △ABG位置，则△ABG≌△ADF,∴.BG=DF,AG=AF, ∴.△ACD≌△CBE(AAS),∴.CE=AD=3,CD=BE=1,∴.DE= ∠ABG=∠D=∠ABE=90°，∠BAG=∠DAF.∴.∠ABG+ CE-CD=3-1=2. ∠ABE=180°，.G、B、E三点共线.，正方形ABCD的边长 2.0或6或12或18解析：分情况讨论：①当点P在线 为I,△ECF的周长是2，∴.EF+CE+CF=CF+DF+ 段BC上，AC=PB时，△ACB≌△PBN,:AC=3cm, CE十BE=2.∴.EF=DF十BE=BE十BG=EG.又，AE= PB=3cm,∴.CP=BC-PB=9-3=6(cm).点P的运AE,△AEF≌△AEG(SSS)..∠EAF=∠EAG.又 动时间t=6÷1=6(s);②当点P在线段BC上，AC=NB时， △ACB≌△NBP,此时PB=BC=9cm,CP=O,故点P的运 :∠FAG=∠EAF+∠EAG,∠EAP=是∠FAG.又 动时间为0s;③当点P在射线BQ上，AC=PB时，△ACB≌：∠FAG=∠BAF十∠BAG=∠BAF+∠DAF=90°， △PBN,此时PB=AC=3cm,CP=BC+PB=9+3= ∠EAF=2×90=45 12(cm),故点P的运动时间t=12÷1=12(s);④当点P在射 D 线BQ上，AC=NB时，△ACB≌△NBP,此时BP=CB= 9cm,CP=CB+BP=9+9=18(cm),故点P的运动时间t= F 18÷1=18(s).综上所述，t的值为0或6或12或18. 3.(1)①△ADC≌△CEB②DE=AD+BE(2)证 明：∠ACB=90°，AD⊥MN,BE⊥MN,.∠ADC= --B ∠CEB=∠ACB=90°，.∠ACD+∠ECB=∠ECB+ 2.= ∠CBE=90°，.∠ACD=∠CBE.在△ADC和△CEB中， 3.证明：(1)如图，延长EB至点G,使BG=DF,连接AG在 ∠ADC=∠CEB, (AB-AD, ∠ACD=∠CBE,.△ADC≌△CEB(AAS),.CE=AD, △ABG和△ADF中，{∠ABG=∠D=90°，.△ABG≌△ADF AC=CB, BG=DF, CD=BE.又DE=CE一CD,.DE=AD-BE.(3)同理 (2),可证△ACD≌△CBE,'.CD=BE=3,CE=AD=1. (SAS),∠1=∠2，AG=AR.:∠EAF=2∠BAD, .DE=CD-CE=3-1=2. :∠2+∠3=∠BAD=∠1+∠3=∠EAG,∠EAP= 练习7全等三角形中的“一线三等角”模型 ∠EAG.又AE=AE,.△AEG≌△AEF(SAS),.EF= 1.AB=BE+AD解析：，·∠A+∠D+∠ACD= EG,∠G=∠AFE..EG=BE+BG=BE+DF,.EF= ∠ACD+∠DCE+∠ECB=180°，∠DCE=∠A,∴.∠D= BE+FD. ∠BCE.又·∠A=∠B,CD=CE,∴.△ACD≌△BEC (AAS),..AD=CB,AC=BE.AB=AC+CB,..AB= BE+AD. 2.(1)2565(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE.理由 如下：DC=2,AB=2,.AB=DC.∠C=40°， ∴.∠DEC+∠EDC=140°.：∠ADE=40°，∴∠EDC+ G ∠ADB=140°..∠ADB=∠DEC.又∠B=∠C, (2)由(1)，得∠G=∠AFE,△ABG≌△ADF,·∠G= ∴△ABD≌△DCE(AAS).(3)当∠BDA的度数为110°或 ∠AFD,.∠AFE=∠AFD,即AF平分∠DFE 80°时，△ADE是等腰三角形.理由如下：①当DA=DE时， 练习9线段垂直平分线的性质与判定 ∠DAE=∠DEA=70°，.∠BDA=∠DAE+∠C=70°+ 1.5或11解析：过点A作AM⊥BC于点M.:点A到 40°=110°；②@当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°，BC的距离为8，.AM=8.AB=AC,.AM垂直平分BC. ∴∠DAE=100°.此时点D与点B重合，不符合题意；③当又OB=OC,∴点O在直线AM上.点O到BC的距离为 EA=ED时，∠DAE=∠EDA=40°，.∠BDA=∠EAD+3,∴.OM=3.如图1，当点O在△ABC内时，AO=AM- ∠C=40°+40°=80°.综上所述，当∠BDA的度数为110°或OM=8一3=5；如图2，当点O在△ABC外时，AO=AM十 《43 OM=8十3=11.综上所述，A0的长为5或11. 练习10角平分线的性质与判定 1.D解析：BP平分∠ABC,PF⊥BD,PG⊥BE, PF=PG,SSA=(合AB·PF）:(合BC· 1 PG=AB:BC,故①正确；如图，过点P作PH⊥AC于点H, :CP平分∠ACE,.PH=PG,PF=PH,.AP平分 图1 图2 ∠CAF.·BP平分∠ABC,.∠CAF=∠ABC+∠ACB= 2.(1)40°(2)2a-180°(3)证明：如图，连接AF、BF. 由题意可得，AF=CF,BF=CF,AM=CM,BN=CN, 2∠PAF,∠PAF=∠ABC+∠APB,∠ACB=2∠APB. ∴.AF=BF,∠ACF=∠CAF,∠BCF=∠CBF,∠CAM= :∠ACB+∠ACE-180,Z∠ACB+号∠ACE- ∠ACM,∠CBN=∠BCN,∴.∠BAF=∠ABF.:∠MCF= ∠ACF-∠ACM=∠CAF-∠CAM=∠BAF,∠NCF= ∠APB十∠ACP=90°，故@正确；：PF⊥AB,PG⊥BC, ∴.∠ABC+90°+∠FPG+90°=360°，∴.∠ABC+∠FPG= ∠BCF-∠BCN=∠CBF-∠CBN=∠ABF,.∠MCF= ∠NCF,即FC平分∠MCN. (PA=PA, 180°.在Rt△PAF和Rt△PAH中， .Rt△PAF≌ PF=PH, D Rt△PAH(HL),.∠APF=∠APH,同理，Rt△PCH≌ Rt△PCG(HL),∴.∠CPH=∠CPG,∴.∠FPG=∠APF+ ∠APH+∠CPH+∠CPG=2∠APH+2∠CPH=2∠APC, ∴.∠ABC+2∠APC=180°，故③正确.综上所述，正确的有 3个. 3.(1)AB=PB解析：如图1，连接BQ.:BC垂直平分 D OQ,∴.BO=BQ,.∠BOQ=∠BQO.:OF平分∠MON, ∴∠AOB=∠BOQ,∴.∠AOB=∠BQO,即∠AOB=∠PQB. 又，OA=PQ,.△AOB≌△PQB(SAS),∴.AB=PB.(2)存 在证明如下：如图2，连接BQ.BC垂直平分OQ,∴BQ= BO,∴.∠BOQ=∠BQO.OF平分∠MON,∠BOQ=∠FON, H CGE ∴.∠AOF=∠FON=∠BOQ=∠BQO,∴.180°-∠BQO= 2.OP是∠AOB的平分线.证明如下：如图，过点P分别 180°-∠AOF,即∠BQP=∠BOA.又.OA=PQ,∴.△AOB≌ 作PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,则∠PCA=∠PDB= △PQB(SAS),AB=PB. 90°..'∠PAO+∠PBO=180°，∠PAO+∠PAC=180°， M ·∠PBO=∠PAC,即∠PBD=∠PAC.在△PCA和△PDB I∠PCA=∠PDB, 中，{∠PAC=∠PBD,.△PCA≌△PDB(AAS),.PC= PA=PB, PD.PC⊥OA,PD⊥OB,.OP是∠AOB的平分线. P C 图1 M A DB 3.(1)125(2)∠B+∠C+2∠D0E=360°.理由如下： ■ N AE,D0分别平分∠BAD、∠ADC,:∠OAD=号∠BAD, B ∠0DA-7∠ADC.:∠DOE-∠0AD+∠ODA, 图2 ∴.2∠DOE=∠BAD+∠ADC.:∠B+∠C+∠BAD+ 44》 ∠ADC=360°，.∠B+∠C十2∠DOE=360°.(3)∠B十度之和为20. ∠C=2∠DOE,理由如下：：∠BAD的平分线交边BC于点 E,∠ADC的平分线交直线AE于点O,∴∠OAD= M ∠BAD,∠AD0=是∠ADC,在四边形ABCD中， :∠BAD+∠ADC=360°-（∠B+∠C),∠OAD+ ∠AD0=2(∠BAD+∠ADC)=180-2(∠B+∠C), E B 3.证明：(1)如图，过点P分别作PT⊥BC于点T,PS⊥ ∴.∠D0E=180°-（∠0AD+∠AD0)=180° AC于点S,PQ⊥BA于点Q.:∠ABC的平分线与∠ACN [1s0-2(∠B+∠c]-2(∠B+∠c,∠B+∠c= 的平分线相交于点P,PQ=PT,PS=PT,PQ=PS, 2∠DOE. ∴.AP平分∠DAC,即AP平分∠CAM. 练习11三角形的内角与外角平分线 1.4∠BPC-360°解析：：BP平分∠ABC,CP平分 ∠ACB,·∠PBC=2∠ABC,∠PCB= ?∠ACB, 1 ∠BPC=18o'-(∠Pc+∠PcB)=18o-(合∠Ac+ B CT 2∠ACB）=180°-2（∠ABC+∠ACB)=180- 2(180° (2):AP平分∠CAM,∴∠CAE=∠DAE.:CE⊥AP, .∠AEC=∠AED=90.在△AEC和△AED中， ∠BAC)=90°+2∠BAC,即∠BAC=2∠BPC-180.如图，连 I∠CAE=∠DAE, 接AO.,O是这个三角形三边垂直平分线的交点，.OA AE=AE, ∴.△AEC≌△AED(ASA),∴.CE=DE. OB=OC,∴.∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,∠OBC= ∠AEC=∠AED, ∠OCB,.∠AOB=180°-2∠OAB,∠AOC=180° 练习12等腰三角形的性质 2∠OAC,..∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC)=360° 1.(1)不能(2)203040解析：小木棒长度都相等， (180°-2∠OAB+180°-2∠OAC)=2∠OAB+2∠OAC= .∠BAC=∠AA2A1,∠A2A1A=∠A2A3A1,∠A3A2A4= 2∠BAC=2(2∠BPC-180)=4∠BPC-360°. ∠A3A4A2.由三角形外角的性质得，01=20,02=30,03=40. (3)”只能摆放4根小木棒，：40<90，。 解得18≤0<22.5°. 150≥90°， 2.(1)证明：AF平分∠DAC,∴∠DAF=∠CAF. PO :AF∥BC,∴.∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB,.∠B= ∠ACB,.AB=AC,.△ABC是等腰三角形.(2)，AB= B C AC,∠B=40°，.∠ACB=∠B=40°，.∠BAC=100, 2.(1)证明：如图，过点P作PC⊥OA,垂足为C,过点P 作PD⊥MN,垂足为D,过点P作PE⊥OB,垂足为E.MP ∠ACE=140.:CG平分∠ACE,∠ECG=号∠ACE= 平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,∴PC=PD.:NP平分70.：AF∥BC,∠AGC=∠ECG=70°. ∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,.PD=PE.∴.PC=PE, 3.(1)BA=BD,∠B=40°，.∠BAD=∠BDA= ∴OP平分∠AOB.(2),△PMN的面积是16，MN=8, 2180-∠B)=2×(180-40)=70.CA=CE,∠C= 2MN·PD=16,PD=4,PC=PE=4.:△OMN的 60°，∴.△AEC是等边三角形，∴∠AEC=∠EAC=60. 面积是24，∴.四边形MONP的面积=△PMN的面积+：∠AEC=∠B+∠BAE,.∠BAE=∠AEC-∠B=60°- △OMN的面积=16+24=40，∴.△POM的面积+△PON40°=20°，∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=70°-20°=50°. 的面积=40，号0M·PC+号ON·PE=0名×2)证明：BA=BD,CA=GE∠BAD=∠BDA= 4OM+ON)=40,:OM+ON=20,即线段OM与ON的长号180-∠B),∠AEC=∠EAC=号180-∠C). 《45 ∠BAD+∠EAC-∠BAc=180-名（∠B+∠C) 180°-∠OAB-∠OBA=180°-12°-30°=138°，∴.∠AC0+ ∠BAC=180-1s0-∠BAC)-∠BAC=90 ∠AOB=72°+138°=210°. 2∠BAC=90-2.3)90解析：由(2)可知，∠DAE= 90°-号∠BAC,∠BAC=180°-2∠DAE=180°2X A B D 45°=90. 3.(1)AB=AC,∠ABC=∠ACB.由三角形的外角性 练习13等腰三角形的判定 质，得∠BDC=∠A十∠ACD.:∠ACB=∠BCD+∠ACD, 1.C解析：如图，延长BD、AC交于点H,设AD交BE ∠BCD=∠A,∴.∠BDC=∠ACB,.∠ABC=∠BDC. 于点O.AD⊥BH,∠ADB=∠ADH=90°，∴.∠ABD+ .CD=CB.(2)①BE⊥AC,∠BEC=90°，.∠CBE+ ∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°.：AD平分∠BAC, ∠ACB=90°.设∠CBE=a,则∠ACB=90°-a,∴.∠ACB= ∴∠BAD=∠HAD,∠ABD=∠H,∴AB=AH,.BD= ∠ABC=∠BDC=90°-a,.∠BCD=180°-∠BDC- DH..DC=AC,.∠CDA=∠CAD..∠CAD+∠H=90°， ∠ABC=180°-(90°-a)-(90°-a)=2a,.∠BCD= ∠CDA+∠CDH=90°，∴∠CDH=∠H,∴.CH=CD=AC. 2∠CBE.②.∠BFD是△CBF的一个外角，∴.∠BFD= :E为AC的中点，AE=EBC,AE=子AH,SAE=∠CBE+∠BCD=a+2a=3a.分三种情况：当BD=BF时， ∠BDC=∠BFD=3Q,:∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°- SaABm,5acm=SaBn,iSaAE=SAaD,iSAaD 1 a,.90°-a=3a,.a=22.5°，∠A=∠BCD=2a=45°；当 S△AOE=S△ADB-SAABE=SAADH-SACDH=S△ACD.:AC=DB=DF时，∠DBE=∠BFD=3a,'∠DBE=∠ABC- DC=3,.当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，即两个阴影部∠CBE=90°-a-a=90°-2a,.90°-2a=3a,.a=18°， 分的面积之差最大，最大值为？×3X3=号， .∠A=∠BCD=2a=36°；当FB=FD时，∠DBF= ∠BDF,,∠BDF=∠ABC>∠DBF,.不存在FB=FD.综 上所述，如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36. 练习14等边三角形 1.A解析：如图1，连接OB,AB=AC,AD⊥BC, BD=CD,∠BAD=∠CAD=号∠BAC=号X120=60, 2.D解析：如图，过点C作CD⊥AB,垂足为D,延长 B0交CD于点P,连接AP.∠OBC=18°，∠CBA=48°， .OB=OC,∠ABD=90°-∠BAD=90°-60°=30°.OP= 六∠PBA=∠CBA-∠0BC=48°-18°=30.：∠CAB=OC,.OB=OC=OP,∠AP0=∠AB0,∠DC0= ∠CBA=48,CA=CB.:CD⊥AB,∴CD是AB的垂直平∠DBO,∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD= 分线，PA=PB,·∠PAB=∠PBA=30,:∠CAP=30,放①正确：由①知，∠AP0=∠AB0,∠DC0=∠DB0, ∠CAB-∠PAB=48°-30°=18.：∠AOP是△AOB的一个0是线段AD上一点，∴∠AB0与∠DB0不一定相等，则 外角，∠AOP=∠OAB+∠OBA=12°+30°=42°.∠AP0与∠DC0不一定相等，故②不正确；：∠APC+ ∠CDA=90°，∠ACD=90°-∠CAD=90°-48°=42°，即∠DCP+∠PBC=180°，.∠APC+∠DCP=150°， ∠ACP=42°，∴∠AOP=∠ACP.:∠PAB=30°，∠OAB='∠AP0+∠DC0=30°，·∠OPC+∠OCP=120, 12°，∠0AP=∠PAB-∠0AB=30°-12°=18，∠CAP=.∠P0C=180°-（∠OPC+∠OCP)=60°.OP=0C, [∠ACP=∠AOP,.△OPC是等边三角形，故③正确；如图2，在AC上截取 ∠OAP.在△ACP和△AOP中， ∠CAP=∠OAP,AE=PA,连接PE,:∠PAE=180°-∠BAC=180°- AP=AP, 120°=60°，.△APE是等边三角形，∴.∠PEA=∠APE= ∴.△ACP≌△AOP(AAS),∴.AC=AO.:∠CAO=60°，PE=PA,.∠APO+∠OPE=60°，又：∠OPE+ ∠CAP+∠OAP=18°+18°=36°，∴.∠AC0=∠AOC=∠CPE=∠CPO=60°，.∠APO=∠EPC,在△OPA和 46》 PA=PE, AE、CE的中点，.AF=EF,EG=CG.又AD=DE,BC= △CPE中，{∠APO=∠EPC,.△OPA≌△CPE(SAS), BE,∴.DF⊥AE,BG⊥EC,∴.∠DFB=∠DGB=90°.，H是 OP=CP, BD的中点，.DH=BH,∴.FH=DH=BH=GH, ∴.AO=EC,∴.AB=AC=AE十EC=AP+AO,故④正确.综 ∠HFB=∠HBF,∠HDG=∠HGD.DA=DE, 上所述，正确的有①③④， ∠DEA=∠A=Q.∠DEA=∠EDB+∠EBD,.∠EDB+ p ∠EBD=a,∴.∠FHG=180°-∠FHD-∠GHB=180° 2∠EBD-2∠EDB=180°-2（∠EDB+∠EBD)=180°-2a. D B D 图1 图2 2.(1)△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，∠APC= ∠BAP+∠B=20°+60°=80°.又AP=AQ,,.∠AQB= B ∠APC=80°.(2)①补全图形如图所示. 2.证明：如图，取DE的中点F,连接AF.AD∥BC, ,∴.∠D=∠CBE,∠DAE=∠C=90°.，F是DE的中点， AF=DF=2DE,:∠D=∠DAF,∠AFB=∠D+ B PHO C ∠DAF=2∠D=2∠CBE.:AB=DE,AB=AF, ②证明：如图，过点A作AH⊥BC于点H.:△ABC为等边 .∠ABF=∠AFB=2∠CBE,∴.∠CBA=∠ABF+ 三角形，∴.∠BAC=∠B=∠C=60°.：AP=AQ,∴∠APQ= ∠CBE=3∠CBE ∠AQP,.∠APQ-∠B=∠AQP-∠C,即∠PAB= D ∠QAC.:点Q、M关于直线AC对称，.∠MAC=∠QAC, AM=AQ,.∠PAB=∠MAC,AP=AM,,∴.∠PAM= ∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=∠BAC=60°.：AP= E AM,∴.△APM为等边三角形，∴.PA=PM. 3.(1)证明：∠ABC=∠ADC=90°，E为AC的中点， 3.(1)=(2)=证明如下：过点E作EF∥BC,交AC 1 于点F.:△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形， DE=2AC=BE,'F为BD的中点，EF⊥BD. ∴.AE=EF,∴.AB一AE=AC-AF,即BE=CF.ED= EC,∴.∠D=∠ECD.,∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°一 (2)36°解析：在Rt△ABC和Rt△ADC中， (AC=AC, AB=AD, ∠ECD,.∠DEB=∠ECF,在△DBE和△EFC中， .Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),.∠BAC=∠DAC.设 DE=EC, ∠BAC=a,:E为AC的中点，AE=BE=DE, ∠DEB=∠ECF,.△DBE≌△EFC(SAS),.DB=EF, '.∠BAE=∠ABE=∠EAD=∠ADE=a.∴.∠BGE= BE=FC, ∠GAD+∠ADG=3a,.'BG=EG,.∠GEB=∠EBG=a, 则AE=DB.(3)点E在AB延长线上时，作EF∥AC,则 在△BGE中，3a+a+a=180°，∴.a=36°，即∠BAC=36° △EFB为等边三角形，如图所示，易证得△DBE≌△CFE, .AB=1,AE=2,..BE=1,.DB=FC=FB+BC=2, 练习16等腰三角形复习课 CD=BC+DB=3. 1.D解析：如图，连接AF.AB=AD,F是BD的中 点，∴.AF⊥BD.在Rt△ACF中，，∠AFC=90°，E是AC的 中点，EF=3,.AC=2EF=2×3=6. 练习15直角三角形斜边中线的性质 B 1.180°-2a解析：如图，连接DF、BG.F、G分别是2.120°解析：如图，取AB的中点F,连接CF、DF. 《47 ∠ACB=∠ADB=90,CF=BF=号AB,DF=AF=22=0a十1=0,6-2=0，解得a=-1,6=2,a0 (-1)2=1. 2ABCF=DF.又CD=m,AB=2m,∴CD=AB, 2.(1)一18、一8、一2这三个数是“完美组合数”.理由如 ∴.CF=DF=CD,∴.△CDF是等边三角形，.∠CFD=60°，下：”V(-18)X(-8)=12,√-18)×(-2)=6， .∠AFC+∠BFD=120.:CF=BF,AF=DF,√-8)X(-2)=4,∴.-18、-8、-2这三个数是“完美组合 ∠AFC=2∠ABE,∠BFD=2∠BAE,∴.∠BAE+ 数”.(2)：√（一3）×（一12）=6，.分两种情况讨论：①当 ∠ABE=号∠BFD+号∠AFC=号（∠BFD+∠APC)= /一3m=12时，-3m=144,.m=-48;②当√/-12m=12 号×12m=60,∠AEB=18o-(∠BAE+∠ABE) 时，一12m=144,.m=-12(不符合题意，舍去).综上所述， m的值是-48. 180°-60°=120°. 3.(1)0.020.2220(2)求一个数的算术平方根时， 若被开方数扩大为原来的100倍，则它的算术平方根扩大为原 来的10倍；若被开方数缩小为原来的00，则算术平方根缩小 F 为原来的0 (3)①26.38②3800 A B 3.(1)证明：EH⊥AB,.∠AHF=∠EHB=90°， 练习18平方根的概念及计算 ∴∠ABC+∠BEH=90°，∠BAC+∠AFH=90, ∴∠BEH=∠AFH.又：∠AFH=∠EFC,∴.∠EFC= 11)2x-1+4红+3=0，解得x=-号m=(2x ∠BEH,即∠EFC=∠FEC.(2)①35°70°解析： :∠ABC=∠BAC=30°，∴∠ACD=∠ABC+∠BAC=60°. -x)刂-答az=-日1- :∠CAD=50°，.B=∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD= 1一9×（合）=4，：4的平方根为士2,1一9x的平方根为 180°-50°-60°=70°AE平分∠CAD,∴.∠EAC= 士2. 号∠DAC=XS0-2S,∠EAH=∠EAC+∠BAC 2.3或6或7解析：根据题意，得7-x≥0，∴x≤7.：x 25°+30°=55.：∠AHE=90°，a=∠AEH=90°-为正整数，∴.x可能为1、2、3、4、5、6、7.：√7-x为整数， ∠EAH=90°-55°=35°.②B=2a.理由如下：设∠DAE=x=3或x=6或x=7. ∠CAE=x,∠ABC=∠BAC=y,∴.B=∠ADC=180°- 3.:正数x的平方根分别是n和n十a,.(n十a)2=x, 2(x十y).∠AHE=90°，∴a=∠AEH=90°-(x+y),n2=x.n2+(n十a)2=8,.x十x=8,x=4.a>0,.n十 ∴g=2a.(3)补全图形如图所示.结论：2a十B=180°.理由如a>n,n=-2,n十a=2,n十a的平方根是士√2. 下：设∠ABC=∠BAC=x,∠EAH=y.:AE平分∠CAD, 4.(1)-i1解析：i3=·i=一i,=记·=-1× ∠CAE=∠DAE=x-y,.∠BAD=x-y-y=x-2y. (-1)=1.（2)原式=3-4i+3i-42=3-+4=7-i. :∠ABC=∠ADC+∠BAD,dz=B+z-2,∴y=A.(8)原式=(i-1-i计1++(i-1-)=-1. EH⊥AB,∴.∠AHE=90°，.∠AEH+∠EAH=90, 练习19立方根的概念及计算 1 1.(1),5x-1的平方根是士2,3x+8y的立方根是3， a+2B=90°，2a+B=180. .5x-1=4,3x+8y=27,.x=1,y=3,.x+5y=16,.16 的算术平方根为4，.x十5y的算术平方根为4.(2)，y= √x-24+√24-x-8,∴.x=24,y=-8,∴./x-5y= 8/24-5×(-8)=9/64=4. D 3 6 36 2.(1)第⑤个等式是√6+2=6√2i 练习17算术平方根的概念及计算 +=… 1.1解析：：√a+I+b-4b+4=0,即√a+I+(b- 3.(1)两解析：1000<59319<1000000，.10< 48》