30.2 三角形的内切圆 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形的内切圆及内心，通过“三角形公共绿地设计圆形喷泉水池”的实际问题导入，引导学生从直线与圆相切的已有知识出发，探究圆心确定方法，搭建从实际问题到数学概念的学习支架。 其亮点在于以问题情境激发数学眼光，通过对比外心与内心的表格培养推理意识，例题结合边长计算体现模型应用。课堂小结结构化梳理定义、性质和作图步骤，帮助学生系统掌握知识，提升抽象能力和应用意识，也为教师提供清晰的教学流程和多样化训练素材。

第三十章 直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆 人教版九年级上册 某市规划局有一块三角形的公共绿地，现在要向全市设计师公开招标，设计一个圆形喷泉水池，要求如下： 很多设计师投了方案，但都被驳回了. 因为他们的圆心位置不对，导致喷泉要么偏向一边，要么离某条人行道太远. 现在，你们就是最终入围的设计师团队，如何帮市政府找到那个“刚刚好”的圆心呢？ ① 水池必须完全建在绿地内部； ② 水池要尽可能大； ③ 水池的边缘要与三条人行道（三角形的三条边）都恰好相切. 课堂导入 A B C 假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形三边的距离都等于半径. 如何确定这个圆的圆心和半径呢？ · 思考：如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切？ 因为三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等，所以只需作出三角形两个内角的平分线，它们的交点即这个圆的圆心. 圆心到任意一边的距离即这个圆的半径. 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 如图 ，分别作 ， 的平分线 ，，设它们相交于点 ，那么点  到 ，， 的距离都相等. 过点  作  的垂线，垂足为 . 以点  为圆心， 为半径作圆，则  与  的三条边都相切.  即所求作的圆. A B C M N I D · 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心.这个三角形叫作圆的外切三角形. 注意 一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 三角形内心的性质： (1)三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于三角形内切圆的半径. (2)三角形的内心与三角形三个顶点的连线分别平分三角形的三个内角. 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 如图，△ABC 的内切圆 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB = 9，BC = 14，CA = 13. 求 AF，BD，CE 的长. 例1 解：设 AF = x，则 AE = x. 则 BD = BF = AB AF = 9 x. CD = CE = AC AE = 13 x. 由 BD + CD = BC， 可得 解得 因此 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 名称 三角形的外心 三角形的内心 形成 三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点. 三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点. 图形 性质 外心到三角形三个顶点的距离相等， 即 OA=OB=OC. 内心到三角形三条边的距离相等，即 ID=IE=IF. 位置 外心不一定在三角形的内部. 内心一定在三角形的内部. 角度关系 ∠BOC=2∠BAC. ∠BIC=90°+ ​∠A. 思考：你能说出三角形外心、内心的区别吗？ 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 如图，点  是  的内切圆的圆心，若 ， 则  的度数为（ ） A.  B.  C.  D.  跟踪训练 解析：∵ 点  是  的内切圆的圆心， ∴  分别平分 ， ∴ ，，， ∴ . C 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 三角形的内切圆 三角形的内切圆 三角形的内心 尺规作图 定义：三角形三条角平分线的交点. 性质：(1)三角形的内心到三角形三条边的距离相等； (2)三角形的内心与三角形三个顶点的连线分别平分三角形的三个内角. 定义：与三角形各边都相切的圆 步骤： (1)定圆心：作三角形任意两内角的平分线，其交点为圆心； (2)定半径：以圆心到任意一边的距离为半径画圆. 课堂小结 1. 如图，☉O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝ 50°，∠C＝60°，则∠DOE＝ ⁠°. 第1题图 110　 随堂练习 A层 基础练 2. 如图，☉O是△ABC的内切圆，∠BOC＝117°，则∠A的 度数为(　A　) A. 54° B. 55° C. 56° D. 60° 第2题图 A A层 基础练 3. 如图，☉O内切于四边形ABCD，且AB＝8，CD＝5，则四 边形ABCD的周长为 ⁠. 第3题图 26　 A层 基础练 4. 如图，张老师计划在一个直角三角形花坛ABC(∠C＝90°) 内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切.设切 点分别为D，E，F，已知AC＝12 m，BC＝9 m，则圆形喷 泉的半径为(　C　) A. 2 m B. 2.5 m C. 3 m D. 4 m 第4题图 C A层 基础练 5. 如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，点O 是△ABC的内心.求∠BOC的度数. 解：∵点O是△ABC的内心，∠ABC＝50°， ∠ACB＝75°， ∴∠OBC＝ ∠ABC＝ ×50°＝25°， ∠OCB＝ ∠ACB＝ ×75°＝37.5°. ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－25°－37.5° ＝117.5°. A层 基础练 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，请根据下列要求解 决问题： (1)利用尺规作出△ABC的内切圆☉O(不写作法，保留作图痕 迹)； 解：(1)如图，作∠CAB，∠CBA的平分线，交点即为圆心 O，过O作OD⊥AB于点D，以O为圆心，OD长为半径画 圆，☉O即为△ABC的内切圆. 解：(1)如图，作∠CAB，∠CBA的平分线，交点即为圆心 O，过O作OD⊥AB于点D，以O为圆心，OD长为半径画 圆，☉O即为△ABC的内切圆. 答图 B层 提升练 A层 基础练 (2)若S△ABC＝6，内切圆☉O的半径为1，求△ABC的周长. 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，请根据下列要求解 决问题： (2)如图，连接OC. ∴S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC， 即6＝ AB·1＋ AC·1＋ BC·1. ∴AB＋AC＋BC＝12. ∴△ABC的周长为12. 答图 B层 提升练 A层 基础练 7. (教材P160习题T4)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB，BC，CA的长分别为c，a，b，则△ABC的内切圆半径 r为 ⁠. 　 C层 拓展练 A层 基础练 8.如图，☉O是Rt△ABC的外接圆，BC是直径，点E是△ABC的内心，连接BE，CE. (1)求∠BEC的度数. 解： (1)∠BEC＝135°. B层 提升练 A层 基础练 (2)若BC＝10，BE＝2，求AB的长. (2)延长CE交☉O于点D，连接BD，OD，OD交AB于点F. ∵BC是☉O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°. 由(1)可知∠BED＝45°， ∴△BDE是等腰直角三角形. ∵BC＝10，BE＝2，∴OB＝OD＝5，BD＝2. ∵CE平分∠ACB，∴D是的中点，∴OD⊥AB. 设DF＝x，则OF＝5－x.由勾股定理，得BF2＝OB2－OF2＝BD2－DF2， 即52－(5－x)2＝(2)2－x2，解得x＝2， ∴BF＝4，∴AB＝2BF＝8. B层 提升练 A层 基础练 $