专题26.4实际问题与二次函数（8大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版九年级上册

本讲义聚焦“实际问题与二次函数”核心知识点，系统梳理通用解题步骤、三大常考模型（销售利润、面积最值、抛物线型运动）、最值核心结论及自变量取值范围，搭建解决销售、图形、动态几何等八类问题的学习支架。 资料特色为题型贴近生活（如投球、拱桥问题），通过易错点分析（忽略自变量范围等）和技巧总结（速记口诀、区间最值判断）培养数学思维，例题变式助学生用数学语言建模，课中辅助教学，课后可查漏补缺。

专题26.4实际问题与二次函数 【新人教版】 【题型1 销售问题】...............................................................................................................................................2 【题型2 图形问题】...............................................................................................................................................6 【题型3 动态几何问题】.....................................................................................................................................11 【题型4 拱桥问题】.............................................................................................................................................16 【题型5 投球问题】.............................................................................................................................................20 【题型6 喷水问题】.............................................................................................................................................24 【题型7 增长率问题】.........................................................................................................................................27 【题型8 其他问题】.............................................................................................................................................29 1. 通用解题步骤 审题→设自变量→找等量关系→列二次函数解析式→化为顶点式求最值→检验自变量取值范围→作答 2. 三大常考模型 · 销售利润问题 单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×销售量 设涨价/降价x元，列出y=总利润的二次函数，求顶点得最大利润。 · 面积最值问题 矩形、围栏、窗框等，用一条边长表示另一条边长，构造面积二次函数，求最大面积。 · 抛物线型运动问题 抛球、拱桥、喷水，建立平面直角坐标系，设函数解析式，代入点求表达式，再求高度、水平距离。 3. 最值核心结论 y=ax2+bx+c(a≠0)，对称轴 1 a>0，开口向上，顶点处取最小值； ② a<0，开口向下，顶点处取最大值。 4. 自变量取值范围关键点 实际问题中长度、价格、数量均为正数；若对称轴不在取值区间内，最值在区间端点取得。 易错1：忽略自变量实际取值范围 直接套用顶点最值，顶点x不在取值区间时，最值不能取顶点。 易错2：利润关系式列反 涨价销量减少、降价销量增加，增减数量写反，函数式全部错误。 易错3：建立坐标系坐标标错 拱桥、球类图像顶点坐标、交点符号混淆，代入计算出错。 易错4：分不清最大、最小值 开口向上求最小，开口向下求最大，经常颠倒。 易错5：作答不带单位、不写文字总结 只算出数字，缺少完整答句扣分。 技巧1：速记口诀 利润面积抛物线，先列函数再配方； 开口向下有最大，区间之外看端点。 技巧2：利润万能列式模板 设调整价格x元 单件利润=原差价±x，销量=原销量变化量，总利润=二者相乘。 技巧3：区间最值判断方法 · 算出对称轴； · 判断对称轴是否在自变量取值范围内； · 在范围内：顶点取最值；不在范围内：两端点代入比较。 技巧4：抛物线建模步骤 · 以顶点为原点或 y 轴建立坐标系，简化计算； · 设顶点式y=a(x-h)2+k； · 代入已知点求出 a，再求解高度、距离。 技巧5：快速求最值两种方法 ①配方法：化成顶点式直接读出最值； ②公式法：代入求自变量，再代入函数算最值。题型一 销售问题 【例1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进一种畅销的红灯笼，灯笼每对的进价为35元/对，经市场调查发现，灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设灯笼每对涨价元，小明一天卖灯笼获得利润元． (1)求出与之间的函数解析式； (2)灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元 【分析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． （1）利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； （2）由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，每对灯笼的利润为元 每天的销售量为对， 因为销售单价不高于65元 所以， 得， 又因为涨价金额, ∴； 所以， （2）解： ∵， ∴二次函数的图象开口向下，函数有最大值. 对称轴为， 因为自变量的取值范围是， 所以，当时，W取得最大值 此时销售单价为（元）， 将代入解析式得（元） 答：灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 【变式1-1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）某花卉种植园原计划培育50个品种的月季，一个品种平均培育100株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育1个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少1株，要求多培育的品种数量不少于5个且不能超过30个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季？ (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗总量取最小值，最小值是多少？应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量会达到最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)应多培育10个品种的月季 (2)应多培育5个品种的月季时幼苗总量取最小值，最小值是5225株；应多培育25个品种的月季时幼苗总量取最大值，最大值是5625株 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握根据实际等量关系列方程、二次函数顶点式的转化是解题的关键． （1）设多培育的品种数为x，根据幼苗总量的等量关系列一元二次方程求解并结合限制条件即可解答； （2）设多培育的品种数为x，幼苗总量为y，构建幼苗总量的二次函数，再根据二次函数的性质以及限制条件求最值即可． 【详解】（1）解：设应多培育x个品种的月季，且， 由题意可得：， 解得：，（因，舍去）． 答：应多培育10个品种的月季． （2）解：设多培育x个品种的月季时，幼苗总量为y． 由题意可得： ， ∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y取最小值，最小值为5225； 当时，y取最大值，最大值为5625． 答：应多培育5个品种的月季时幼苗总量取最小值，最小值是5225株；应多培育25个品种的月季时幼苗总量取最大值，最大值是5625株． 【变式1-2】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）苹果是大家喜爱的水果之一．一果园年的苹果销量为吨，年销量为吨，若每年销量增长率相等． (1)求销量增长率； (2)某电商从果园以元/箱进货，再以元/箱卖出，每周可以卖出箱．该电商想提价销售，已知每提价1元，每周销量减少3箱，设每周销售苹果获利元，写出（元）与售价（元/箱）之间的函数关系式，并求出当苹果的每箱售价为多少元时，这周的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)函数关系式为，当苹果的每箱售价为元时，这周的利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设销量增长率为m，进而建立方程计算可以得解； （2）依据题意，建立关于每周销售苹果获利W元与售价x之间的函数关系式，再进行计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，设销量增长率为m， ∴． ∴或（不合题意，舍去）． ∴． 答：销量增长率为． 故答案为：． （2）解：由题意，每周销售苹果获利W元， ∴，且满足， ∴， ∴当时有W最大，最大为， ∴当每箱售价为元时，这周利润最大为元． 【变式1-3】（25-26九年级上·北京顺义·期末）因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆；第二次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆． (1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； (2)经销商发现，乙型号汽车以每辆万元的价格销售时较好，每月能售台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低万元，销售量会增加台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ 【答案】(1)甲型号新能源汽车每辆进价为万元，乙型号新能源汽车每辆进价为万元 (2)乙种型号新能源汽车定价为万元时，月销售获取的利润最大 【分析】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，利用二元一次方程组和二次函数的性质是解本题的关键． （1）根据题意，建立二元一次方程组进行求解即可； （2）根据题意，得出利润与定价的关系，将该关系式转化为顶点式，即可得出利润最大时对应的定价． 【详解】（1）解：假设甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元， 根据题意，可得方程， 解得， 故甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元． （2）解：假设乙种型号新能源汽车定价为万元， 则利润为， 当万元时，月销售乙种型号获取的利润最大． 题型二 图形问题 【例2】（2026·四川成都·一模）如图，某校准备用62米的围栏修建一边靠墙的矩形花园，已知墙体的最大可用长度为30米，设的长为x米，矩形花园的面积为y平方米． (1)请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围； (2)如果该矩形花园的面积为440平方米，求的长． 【答案】(1) (2)的长为20米． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，一元一次不等式组的应用． （1）根据围栏为62米，宽为x米，表示出矩形长为米，根据矩形面积列出关系式，根据，围墙长30米，列出关于x的不等式，求出自变量x的取值范围即可； （2）根据矩形花园的面积为440平方米，即，代入二次函数解析式，列出方程，解方程，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵围栏为62米，宽为x米， ∴长为米， ∴，即， ∵围墙长30米， ∴ ∴， 解得：， ∴矩形的面积； （2）解：由题意得：， 解得：，， 由（1）结论可知：， ∴， ∴的长为20米． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由． 【答案】(1)， (2)S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解不等式组等知识点，理解题意、找到等量关系、列出函数关系式是解题的关键． （1）设车棚宽度为，那么宽需要需用的材料为米，然后根据自行车车棚铝合金材料总长减去三条宽长度即可表示出，最后利用长乘以宽表示出面积，结合墙的长度可列出不等式表示出自变量的范围； （2）根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设车棚宽度为， ∵铝合金材料总长36米，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）， ∴， ∴． 由， 解得：． ∴S与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． （2）解：S不总随x的增大而增大，理由如下： 由（1）得：， ∵的对称轴为直线，且， ∴S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东·期末）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块矩形的劳动基地，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．设矩形中垂直于墙的边的长为，矩形的面积为（如图）． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若矩形的面积为，求的值； (3)当为何值时，矩形的面积最大？最大为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，矩形的面积最大，最大为 【分析】（）根据矩形的面积公式列出函数表达式，再根据题意求出的取值范围即可； （）把代入（）所得的函数表达式解答即可求解； （）利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且二次函数图象上的点离对称轴的距离越近函数值越大， ∵， ∴当，的值最大，， 答：当时，矩形的面积最大，最大为． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，点是线段上一点（不与点，重合），过点分别作轴、轴，垂足分别为和，设，矩形的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求矩形的面积的最大值，并由此说明点的位置． 【答案】(1) (2)最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象和性质： （1）根据题意，可设点的坐标为，因为点在直线的图象上，可得 ； （2）因为的图象开口向下，对称轴为，所以，当时，可以取得最大值． 【详解】（1）根据题意可知，点的坐标为，点的坐标为． 根据题意，可设点的坐标为． 因为点在直线的图象上，可得 ． 所以点的坐标为． 所以． 所以，即 ． （2）因为的图象开口向下，对称轴为， 所以，当时，可以取得最大值，最大值为，此时点的坐标为． 题型三 动态几何问题 【例3】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图①，在四边形中，，，，，点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点P，Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，二次函数的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察图①和图②，当点P运动到点A时，运动时间为2秒，则，结合观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒，得，根据点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，则，在秒时，则，，最后求出当时，或，即可作答． 【详解】解：理解题意，观察图①和图②，当点P运动到点A时，运动时间为2秒， ∵点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B， ∴， ∵的面积为， ∴， 故C选项不符合题意； 观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒， ∵点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C， 则， 故A选项不符合题意； 观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒， ∵点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C， 则， 故B选项符合题意； 当时， 则 ∴， 在秒时，则， ∴， 令，则， 整理得， 解得，（舍去） 综上：当时，或， 故D选项不符合题意， 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·天津·期末）如图，中，，，，动点M从点A出发，以的速度沿边匀速运动；同时动点N从点B出发，以的速度沿边匀速运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①当时，根据题意求出，，然后求出，即可判断①正确； ②首先表示出，，然后得到，然后表示出的面积，利用二次函数的性质即可判断②错误； ③根据题意得到，解得，，即可判断③正确． 【详解】解：①当时，， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②根据题意得，，， ∴， ∵， ∴的面积 ∵ ∴抛物线开口向下， ∴当时，面积的最大值为，故②错误； ③∵的面积 ∴当的面积为时， 解得， ∴t有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是2． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，三角形面积，动点问题，解题的关键是正确表示出三角形面积． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东日照·期末）四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点、的位置如图所示，有下列结论：当时，；当时，的最大面积为；有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的序号为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，三角形面积的计算，熟练应用数形结合思想和二次函数的性质是解题的关键．当时，点在上， 求出、，可判断；当时，点在上，利用三角形面积公式表示出的面积，利用二次函数的性质，可判断；分两种情况：当点在上时，当点在上时，结合的面积为，列出方程，可判断． 【详解】解：根据题意得：点在上的运动时间为，点在上的运动时间为，点在上的运动时间为， 当时，点在上， 此时，， ， ，故正确； 当时，点在上， 此时，， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故正确； 当点在上时，，此时， ， 的面积为， ， 解得，（舍去）， 当时，的面积为； 当点在上时， ， ，， ，即， 此时， 解得， 当时，的面积为； 有两个不同的值满足的面积为，故正确． 故答案为：． 题型四 拱桥问题 【例4】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 【变式4-1】（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：4． 【变式4-2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）今年元旦期间，小王一家人前往泉州西湖景区游玩，游玩时路过一个截面边缘是抛物线的景观（如图1）．喜欢动脑筋的小王对此景观模型产生了兴趣．在游船船夫与家人的帮助下，测得水面的宽，景观最高点与水面的距离为．回岸后，小王想继续知道在离水面的、处的宽是否会超过？请你根据以上信息，帮助小王解决问题． (1)若以图2中的点为顶点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)判断图2中的宽是否会超过？并说明理由． 【答案】(1) (2)宽不会超过，理由见解析 【分析】（1）设抛物线（），点在抛物线上，解答即可． （2）设点坐标为（）根据题意得，，解答即可． 本题考查了待定系数法，求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， 设抛物线（），点在抛物线上， ， 抛物线的解析式． （2）解：宽不会超过，理由如下： 离水面的高 设点坐标为（） 根据题意得， 解得： 的宽为 ， ， 的宽不超过． 【变式4-3】（25-26九年级上·山西晋城·期末）综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】(1)，． (2)． (3)这辆货车能安全通过． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求得函数表达式，进而可求解； （2）令，解方程求得x值，进而可求解； （3）求解当或时，，进而可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得， 将的坐标代入， 得，解得 抛物线的表达式为， 拱顶D到地面的距离为； （2）解：令，则， 解得，则， 所以两排灯的水平距离最小是； （3）解：由题意得货车最外侧与地面的交点为或， 当或时，， 所以这辆货车能安全通过． 题型五 投球问题 【例5】（2026九年级下·天津红桥·学业考试）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将点代入，并求出关系式，再根据最高点判断①；然后将代入关系式，求出解判断②；接下来将代入关系式，求出解判断③即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为， 当时，， ∴铅球运动的高度可以是； 当时，， 解得， ∴铅球掷出的水平距离为； 当时，， 解得， ∴它离初始位置的水平距离是或． 所以正确的有①②共2个． 【变式5-1】（25-26九年级上·广西钦州·期末）在学校科技节中，某科学兴趣小组进行了水火箭发射展示，如图所示，发射点离地面的距离米，火箭在离发射点水平距离为48米时达到最高处，此时离地面24.5米，最后火箭落在地面上的点处．火箭飞行的过程可以看作是一条抛物线．现以为原点，所在的水平线为轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式（不要求写出的取值范围）； (2)求火箭落地点到发射点的水平距离． 【答案】(1)； (2)火箭落地点到发射点的水平距离为米． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意、利用待定系数法求得抛物线解析式是解决问题的关键． （1）由题意得：，顶点坐标，设抛物线的解析式为，将代入抛物线解析式求得a的值即可； （2）将代入（1）的解析式求得x，并取符合题意x的值即可确定点B的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：，顶点坐标， 设抛物线的解析式为， 将代入抛物线解析式可得， 解得：． 所以抛物线的解析式为； （2）解：将代入可得：， 解得：（负值不符合题意舍去）， ∴火箭落地点到发射点的水平距离为米． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西安康·期末）乒乓球，作为中国的国球，承载着无数人的荣耀与梦想．现有一台乒乓球发球器，小明通过测量得到球距离台面的高度（单位：）与球距离发球器出口的水平距离（单位：）的相关数据，发现球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线；从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线L，其运动轨迹的函数关系式为（b为常数），当球距离发球器出口的水平距离为时，球距离台面的高度达到最大． (1)求图中抛物线L的函数关系式； (2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据题意得到抛物线L的对称轴为直线，进而根据对称轴公式求出即可； （2）求出抛物线L与x轴的右交点横坐标即可． 【详解】（1）解：∵当球距离发球器出口的水平距离为时，球距离台面的高度达到最大， ∴抛物线L的对称轴为直线， 即， 解得：， 即抛物线L的函数关系式为； （2）解：当时， 整理得， 解得：， 即乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为． 【变式5-3】（25-26九年级上·河北保定·期末）篮球运动是同学们非常喜爱的一项体育运动，某天下午的课外活动时间，九年级的小宇同学代表班级参加了学校举办的班级对抗赛．比赛中，小宇在三分线外果断出手，篮球划过一道优美的抛物线．由此我们得出如下实际问题：已知篮球出手时的高度约为，飞行后精准落入高度为的篮筐中；篮球在空中飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度． (1)如图，建立平面直角坐标系，抛物线的最高点的坐标为，请你求出篮球飞行过程中的最大高度h． (2)此时，如果对方球队的防守队员在小宇身前处提前起跳试图拦截，已知该队员的最大摸高为，那么这名防守队员能否成功拦截小宇的这次投球？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）设函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式为，则篮球在空中飞行的最大高度h为； （2）将代入函数解析式得，据此判断这名防守队员能否成功拦截小宇的这次投球即可． 【详解】（1）解：由顶点坐标为，可设函数解析式为， 将点，代入函数解析式， 得 解得 函数解析式为， 篮球在空中飞行的最大高度h为； （2）解：由（1）知函数解析式为， 将代入函数，得， ， 这名防守队员不能成功拦截小宇的这次投球． 题型六 喷水问题 【例6】（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 【变式6-1】（2026·甘肃武威·中考真题）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】要判断水流能否击中昆虫，只需验证点是否在抛物线上，即将代入函数解析式计算y的值，并与昆虫的高度进行比较． 【详解】解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． 【变式6-2】（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 【变式6-3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）2025年9月28日赣州瑞金机场正式通航，10时03分北京-瑞金航班平稳降落并缓缓穿过“水门”（寓意“接风洗尘”）．如图1、两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口，的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇，此时相遇点距地面20米，喷水口距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点． (1)求消防车第一次喷射水柱时抛物线解析式： (2)两辆消防车同时后退后水柱相遇点距离地面多少米？ 【答案】(1)； (2)消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米． 【分析】本题考查二次函数与实际问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式即可求出解析式； （2）利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题． 【详解】（1）解：设经过点A，B，H的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得：， 解得，， 消防车第一次喷射水柱时抛物线解析式为； （2）解：经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面19米． 题型七 增长率问题 【例7】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 【变式7-1】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：两年后的价格为：， 故y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 【变式7-2】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为________．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，2025年我国新能源汽车销售量约为万辆，则2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，列出二次函数表达式即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 【变式7-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，从9月到11月经过两个月，每月增长率为x，因此11月资金是9月资金乘以的平方． 【详解】解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元， 故． 故答案为：． 题型八 其他问题 【例8】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图1，是积水管道的圆形截面，水面为．排水过程中，设水面下降的高度为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最高点，且经过．下列选项正确的是（   ） A． B．点C的纵坐标为24 C．点在该函数图象上 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，二次函数的实际应用．设圆心为点E，过点E作于点F，交圆于点G，连接，根据题意得圆E的直径为，，可得到半径，从而得到，在中，利用勾股定理可得，从而得到，再求出抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：设圆心为点E，过点E作于点F，交圆于点G，连接， 根据题意得圆E的直径为，， ∴半径， ∴，即，故A选项错误； ∴ 在中，， ∴，即， ∴点C的纵坐标为20，故B选项错误； 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即点不在该函数图象上，故C选项错误； 当时，，即点在该函数图象上，故D选项正确； 故选：D 【变式8-1】（2026·山西朔州·模拟预测）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【答案】3.75 【分析】根据二次函数的最值问题进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，y取得最大值， ∴最佳加工时间为3.75分钟． 【变式8-2】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，某粮仓的横截面可看作是由抛物线的一部分和矩形构成的．以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中米，米，抛物线的函数解析式为（为常数，）为平行于地面的一排除湿板（点均在抛物线上）． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)已知除湿板与地面之间的距离为米，求除湿板的长度． 【答案】(1)； (2)除湿板的长度为米． 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求函数解析式、二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． （1）将点、代入抛物线解析式，利用待定系数法求解解析式即可； （2）令，则，解方程后结合函数图象分析即可． 【详解】（1）解：米，米， 点的坐标为，点的坐标为， 将点、代入中得， 解得， 该抛物线的函数解析式为； （2）解：除湿板与地面之间的距离为米， 点、的纵坐标为， 令，则， 解得，， 即点、的横坐标分别为、， （米）， 除湿板的长度为米． 【变式8-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）排队购餐是学校生活中常见的现象．某校数学兴趣小组开展以“就餐排队人数与开放窗口之间的关系”为题的综合实践活动． 【问题背景】小组某天经调查发现：该校食堂每个用餐服务窗口每分钟可服务人（每人限购份，购餐后立即不再排队），食堂用餐人数（人）与开放窗口时间（分钟）满足关系式，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到餐后立即离开．进餐厅排队用餐，任意时刻都满足：排队人数=用餐总人数-已买到餐人数，食堂开放服务窗口，就有同学买餐，空场时间忽略不计． 【构建模型】 （1）食堂先开放个服务窗口． ①直接写出排队人数（人）与开放窗口时间（分）间的函数关系式；（不需要写出的范围） ②求第几分钟不再有同学排队买餐． 【模型运用】 （2）根据学校活动安排，需要在 分钟内（包含第分钟），排队用餐的人数开始减少，若开放服务窗口为个，直接写出的取值范围． 【答案】 (1)① (1)② (2) (为正整数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图像与性质． (1)①食堂开放个服务窗口分钟时，排队人数与的函数关系式为； ②当时，可得方程，解方程可得第分钟时不再有人排队； (2)开放服务窗口为个时，可得：，因为在 分钟内（包含第分钟），排队用餐的人数开始减少，可知抛物线的对称轴为，解不等式可得的取值范围． 【详解】(1)①解：食堂开放个服务窗口分钟， 食堂就餐人数为， 已买到餐的人数为人， ； ②解：当时， 可得：， ∴， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：第分钟不再有同学排队就餐； (2)解：开放服务窗口为个，则第分钟时已买到餐的人数为人， 排队人数为， 整理得：， 需要在 分钟内（包含第分钟），排队用餐的人数开始减少， ， 解得：(为正整数)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.4实际问题与二次函数 【新人教版】 【题型1 销售问题】...............................................................................................................................................2 【题型2 图形问题】...............................................................................................................................................3 【题型3 动态几何问题】.......................................................................................................................................5 【题型4 拱桥问题】...............................................................................................................................................7 【题型5 投球问题】...............................................................................................................................................8 【题型6 喷水问题】.............................................................................................................................................10 【题型7 增长率问题】.........................................................................................................................................11 【题型8 其他问题】.............................................................................................................................................12 1. 通用解题步骤 审题→设自变量→找等量关系→列二次函数解析式→化为顶点式求最值→检验自变量取值范围→作答 2. 三大常考模型 · 销售利润问题 单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×销售量 设涨价/降价x元，列出y=总利润的二次函数，求顶点得最大利润。 · 面积最值问题 矩形、围栏、窗框等，用一条边长表示另一条边长，构造面积二次函数，求最大面积。 · 抛物线型运动问题 抛球、拱桥、喷水，建立平面直角坐标系，设函数解析式，代入点求表达式，再求高度、水平距离。 3. 最值核心结论 y=ax2+bx+c(a≠0)，对称轴 1 a>0，开口向上，顶点处取最小值； ② a<0，开口向下，顶点处取最大值。 4. 自变量取值范围关键点 实际问题中长度、价格、数量均为正数；若对称轴不在取值区间内，最值在区间端点取得。 易错1：忽略自变量实际取值范围 直接套用顶点最值，顶点x不在取值区间时，最值不能取顶点。 易错2：利润关系式列反 涨价销量减少、降价销量增加，增减数量写反，函数式全部错误。 易错3：建立坐标系坐标标错 拱桥、球类图像顶点坐标、交点符号混淆，代入计算出错。 易错4：分不清最大、最小值 开口向上求最小，开口向下求最大，经常颠倒。 易错5：作答不带单位、不写文字总结 只算出数字，缺少完整答句扣分。 技巧1：速记口诀 利润面积抛物线，先列函数再配方； 开口向下有最大，区间之外看端点。 技巧2：利润万能列式模板 设调整价格x元 单件利润=原差价±x，销量=原销量变化量，总利润=二者相乘。 技巧3：区间最值判断方法 · 算出对称轴； · 判断对称轴是否在自变量取值范围内； · 在范围内：顶点取最值；不在范围内：两端点代入比较。 技巧4：抛物线建模步骤 · 以顶点为原点或 y 轴建立坐标系，简化计算； · 设顶点式y=a(x-h)2+k； · 代入已知点求出 a，再求解高度、距离。 技巧5：快速求最值两种方法 ①配方法：化成顶点式直接读出最值； ②公式法：代入求自变量，再代入函数算最值。题型一 销售问题 【例1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进一种畅销的红灯笼，灯笼每对的进价为35元/对，经市场调查发现，灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设灯笼每对涨价元，小明一天卖灯笼获得利润元． (1)求出与之间的函数解析式； (2)灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【变式1-1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）某花卉种植园原计划培育50个品种的月季，一个品种平均培育100株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育1个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少1株，要求多培育的品种数量不少于5个且不能超过30个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季？ (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗总量取最小值，最小值是多少？应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量会达到最大值，最大值是多少？ 【变式1-2】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）苹果是大家喜爱的水果之一．一果园年的苹果销量为吨，年销量为吨，若每年销量增长率相等． (1)求销量增长率； (2)某电商从果园以元/箱进货，再以元/箱卖出，每周可以卖出箱．该电商想提价销售，已知每提价1元，每周销量减少3箱，设每周销售苹果获利元，写出（元）与售价（元/箱）之间的函数关系式，并求出当苹果的每箱售价为多少元时，这周的利润最大，最大利润是多少？ 【变式1-3】（25-26九年级上·北京顺义·期末）因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆；第二次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆． (1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； (2)经销商发现，乙型号汽车以每辆万元的价格销售时较好，每月能售台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低万元，销售量会增加台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ 题型二 图形问题 【例2】（2026·四川成都·一模）如图，某校准备用62米的围栏修建一边靠墙的矩形花园，已知墙体的最大可用长度为30米，设的长为x米，矩形花园的面积为y平方米． (1)请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围； (2)如果该矩形花园的面积为440平方米，求的长． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东·期末）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块矩形的劳动基地，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．设矩形中垂直于墙的边的长为，矩形的面积为（如图）． (1)求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若矩形的面积为，求的值； (3)当为何值时，矩形的面积最大？最大为多少？ 【变式2-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，点是线段上一点（不与点，重合），过点分别作轴、轴，垂足分别为和，设，矩形的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求矩形的面积的最大值，并由此说明点的位置． 题型三 动态几何问题 【例3】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式3-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图①，在四边形中，，，，，点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点P，Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【变式3-2】（25-26九年级上·天津·期末）如图，中，，，，动点M从点A出发，以的速度沿边匀速运动；同时动点N从点B出发，以的速度沿边匀速运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-3】（25-26九年级上·山东日照·期末）四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点、的位置如图所示，有下列结论：当时，；当时，的最大面积为；有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的序号为___________． 题型四 拱桥问题 【例4】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 【变式4-1】（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【变式4-2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）今年元旦期间，小王一家人前往泉州西湖景区游玩，游玩时路过一个截面边缘是抛物线的景观（如图1）．喜欢动脑筋的小王对此景观模型产生了兴趣．在游船船夫与家人的帮助下，测得水面的宽，景观最高点与水面的距离为．回岸后，小王想继续知道在离水面的、处的宽是否会超过？请你根据以上信息，帮助小王解决问题． (1)若以图2中的点为顶点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)判断图2中的宽是否会超过？并说明理由． 【变式4-3】（25-26九年级上·山西晋城·期末）综合与实践 问题情境： 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的C点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． 问题解决： (1)求b、c的值，并计算出拱顶D到地面的距离； (2)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ (3)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 题型五 投球问题 【例5】（2026九年级下·天津红桥·学业考试）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-1】（25-26九年级上·广西钦州·期末）在学校科技节中，某科学兴趣小组进行了水火箭发射展示，如图所示，发射点离地面的距离米，火箭在离发射点水平距离为48米时达到最高处，此时离地面24.5米，最后火箭落在地面上的点处．火箭飞行的过程可以看作是一条抛物线．现以为原点，所在的水平线为轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式（不要求写出的取值范围）； (2)求火箭落地点到发射点的水平距离． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西安康·期末）乒乓球，作为中国的国球，承载着无数人的荣耀与梦想．现有一台乒乓球发球器，小明通过测量得到球距离台面的高度（单位：）与球距离发球器出口的水平距离（单位：）的相关数据，发现球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线；从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线L，其运动轨迹的函数关系式为（b为常数），当球距离发球器出口的水平距离为时，球距离台面的高度达到最大． (1)求图中抛物线L的函数关系式； (2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离． 【变式5-3】（25-26九年级上·河北保定·期末）篮球运动是同学们非常喜爱的一项体育运动，某天下午的课外活动时间，九年级的小宇同学代表班级参加了学校举办的班级对抗赛．比赛中，小宇在三分线外果断出手，篮球划过一道优美的抛物线．由此我们得出如下实际问题：已知篮球出手时的高度约为，飞行后精准落入高度为的篮筐中；篮球在空中飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度． (1)如图，建立平面直角坐标系，抛物线的最高点的坐标为，请你求出篮球飞行过程中的最大高度h． (2)此时，如果对方球队的防守队员在小宇身前处提前起跳试图拦截，已知该队员的最大摸高为，那么这名防守队员能否成功拦截小宇的这次投球？ 题型六 喷水问题 【例6】（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·甘肃武威·中考真题）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【变式6-2】（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【变式6-3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）2025年9月28日赣州瑞金机场正式通航，10时03分北京-瑞金航班平稳降落并缓缓穿过“水门”（寓意“接风洗尘”）．如图1、两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图2，当两辆消防车喷水口，的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇，此时相遇点距地面20米，喷水口距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米（两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系），此时两条水柱相遇点． (1)求消防车第一次喷射水柱时抛物线解析式： (2)两辆消防车同时后退后水柱相遇点距离地面多少米？ 题型七 增长率问题 【例7】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【变式7-2】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为________．（不用写自变量的取值范围） 【变式7-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 题型八 其他问题 【例8】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图1，是积水管道的圆形截面，水面为．排水过程中，设水面下降的高度为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最高点，且经过．下列选项正确的是（   ） A． B．点C的纵坐标为24 C．点在该函数图象上 D．点在该函数图象上 【变式8-1】（2026·山西朔州·模拟预测）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【变式8-2】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，某粮仓的横截面可看作是由抛物线的一部分和矩形构成的．以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中米，米，抛物线的函数解析式为（为常数，）为平行于地面的一排除湿板（点均在抛物线上）． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)已知除湿板与地面之间的距离为米，求除湿板的长度． 【变式8-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）排队购餐是学校生活中常见的现象．某校数学兴趣小组开展以“就餐排队人数与开放窗口之间的关系”为题的综合实践活动． 【问题背景】小组某天经调查发现：该校食堂每个用餐服务窗口每分钟可服务人（每人限购份，购餐后立即不再排队），食堂用餐人数（人）与开放窗口时间（分钟）满足关系式，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到餐后立即离开．进餐厅排队用餐，任意时刻都满足：排队人数=用餐总人数-已买到餐人数，食堂开放服务窗口，就有同学买餐，空场时间忽略不计． 【构建模型】 （1）食堂先开放个服务窗口． ①直接写出排队人数（人）与开放窗口时间（分）间的函数关系式；（不需要写出的范围） ②求第几分钟不再有同学排队买餐． 【模型运用】 （2）根据学校活动安排，需要在 分钟内（包含第分钟），排队用餐的人数开始减少，若开放服务窗口为个，直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $