第25章 一元二次方程 综合练习-【木牍中考•课时A计划】2026-2027学年九年级上册数学配套课件（人教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、应用及数学文化，通过选择、填空、解答等题型整合定义辨析、因式分解法、韦达定理、几何应用等核心内容，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于融入几何直观与数学史素材，如结合长方形弧长问题理解方程根的几何意义，引用赵爽勾股图阐释古代解法，培养学生的数学眼光和推理意识。分层设计基础题、综合应用题及高次方程拓展题，让不同水平学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

RJ 数 学 9年级 上册 题目好 分册好 服务好 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 第二十五章综合练习 (120分钟　150分) -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1.下列方程中，属于一元二次方程的是( ) A.x2－y＝6 B.＝9 C.x－2＝8 D.(x－1)(x－2)＝0 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) D 1 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2.已知一元二次方程3x2－8x＝10的一次项系数是－8，则二次项系数和常数项分别为( ) A.3，10 B.3，－10 C.3，8 D.3，－8 B 2 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 3.阳阳在解方程x2＋3x＝0时，只得一个解x＝－3，阳阳漏掉的那个解是( ) A.x＝3 B.x＝1 C.x＝0 D.x＝2 C 3 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 4.下列一元二次方程中，没有实数根的是( ) A.x2－6x＋9＝0 B.(x－1)2－1＝0 C.x2＝－2x D.x2＋3＝x D 4 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 5.已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么p＋q的值为( ) A.5 B.2 C.1 D.－1 A 5 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6.某旅游景点的游客人数逐年增加，据旅游部门统计，2024年约为120万人次，预计2026年约为170万人次.设该旅游景点游客人数的年平均增长率为x，则下列方程中正确的是( ) A.120(1＋x)＝170 B.170(1－x)＝120 C.120(1＋x)2＝170 D.120(1＋x)＋120(1＋x)2＝170 C 6 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7.已知关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足( ) A.a＞1 B.a≥1 C.a＞1且a≠5 D.a≥1且a≠5 B 7 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8.［2025·六安霍邱期中改编］若等腰三角形的两边长分别是方程x2－13x＋36＝0的两个根，则这个三角形的周长为( ) A.17 B.22 C.17或22 D.17或25 B 8 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 9.如图，在长方形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径作弧与BD交于点E；以点B为圆心，AB长为半径作弧与BD交于点F.设AB＝a，AD＝b，则方程x2＋2ax＝b2的一个正根是( )   A.DF的长 B.BE的长 C.EF的长 D.BD的长 A 9 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10.我国古代数学家赵爽(公元3~4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法.以方程x2＋5x－14＝0即x(x＋5)＝14为例，记载的方法是：构造如图面积是(x＋x＋5)2的大正方形，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52＝81，因此x＝2.则在下列四个构图中，能正确说明方程x2－3x－10＝0的解法的构图是( ) A　 B　 C　 D C 10 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11.已知x＝1是方程x2＋x－c＝0的一个根，则c的值是 .  2　 11 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12.已知(a－1)x2－5x＋3＝0是关于x的一元二次方程，则不等式3a＋6＞0的解集是　 　.  　a＞－2且a≠1　 12 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这么一道题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，长比宽多　 　步.  　12　 13 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14.［原创题］已知m是方程(x2＋2x)(x2＋2x－3)＝28的实数根. (1)代数式m2＋2m的值为　 　；  (2)代数式2 026－10m－5m2的值是　 　.  　1991　 　7　 14 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 提示：(1)设m2＋2m＝a，则原方程化为a(a－3)＝28，∴a2－3a－28＝0，∴(a－7)(a＋4)＝0，∴a1＝7，a2＝－4，即m2＋2m的值为7或－4，若m2＋2m＝－4，此方程无实数根，故m2＋2m＝7. (2)2026－10m－5m2＝2026－5(2m＋m2)＝2026－5×7＝1991. 14 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.解方程：4x2－24x＋36＝9. 解：x1＝，x2＝. 15 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16.已知A＝2x2－3x＋2，B＝x2－x－1，请比较A与B的大小，并说明理由. 解：A＞B.理由如下： ∵A－B＝2x2－3x＋2－(x2－x－1)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，∴A＞B. 16 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17.若x1，x2是关于x的一元二次方程x2－10x＋4m＝0的两个实数根，且x1＋x2＋x1x2＝26，求m的值. 解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－10x＋4m＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝10，x1x2＝4m. ∵x1＋x2＋x1x2＝26， ∴10＋4m＝26，∴m＝4. 17 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18.小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.求小刚的年龄. 解：设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为(x－2)岁，小刚的年龄为(x＋1)岁. 依题意，得(x－2)(x＋1)＝130， 解得x＝12或x＝－11(不符合题意，舍去)，∴x＋1＝13. 答：小刚的年龄为13岁. 18 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19.已知关于x的一元二次方程x2－5mx＋4m2＝0. (1)求证：无论m为何值，该方程总有实数根； 解：(1)∵Δ＝(－5m)2－4×1×4m2＝25m2－16m2＝9m2≥0， ∴无论m为何值，方程总有实数根. 19 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)若该方程实数根的差为2，求m的值. (2)设x1，x2(x1＞x2)是关于x的一元二次方程x2－5mx＋4m2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝5m，x1x2＝4m2. ∵x1－x2＝2， ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4，即(5m)2－4×4m2＝4， ∴9m2＝4，解得m1＝，m2＝－， ∴m的值为或－. 19 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)若方程x2－bx＝(a－1)x－ab的解是x1＝6，x2＝10，则a＝ 　 　，b＝　 　；  　5　 20.(1)如下表，方程1，方程2，方程3，……是按照一定规律排列的一列方程，请将方程的解(x1＜x2)填在表中的空格处： 12　 序号 方程 方程的解 1 x2－2x＝5x－12 x1＝　 　，x2＝_____　 　 2 x2－3x＝7x－24 x1＝　 　，x2＝_____　 　 3 x2－4x＝9x－40 x1＝　 　，x2＝_____　 　 … … … 　8　  　5　 　6　  　4　 　4　  　3　 20 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (3)求关于x的方程－220的解. 解：(3)设t＝，则原方程化为t2－10t＝21t－220， 解得t1＝11，t2＝20，所以x1＝，x2＝. 经检验x1＝，x2＝是原方程的解. 20 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 六、(本题满分12分) 21.某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组.在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21. (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少个小分支？ 解：(1)设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支. 根据题意，得1＋x＋x2＝21， 解得x1＝4，x2＝－5(不符合题意，舍去). 答：这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支. 21 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为10 m)，其余部分需要用总长为22 m的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1 m的门(门无需栅栏，如图所示).设种植田的宽AB为a m，若该种植田的面积为36 m2(栅栏的占地面积忽略不计)，求该种植田的宽AB. 21 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)∵栅栏的总长为22 m，且种植田的宽AB为a m， ∴种植田的长AD为(22＋1×2－3a) m. 根据题意，得(22＋1×2－3a)·a＝36，解得a1＝2，a2＝6. 当a＝2时，22＋1×2－3a＝18＞10，不符合题意； 当a＝6时，22＋1×2－3a＝6＜10，符合题意. 答：该种植田的宽AB为6 m. 21 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 七、(本题满分12分) 22.［新课标—综合与实践题］ 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解.按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解. ①因式分解法求解特殊的三次方程：x3－5x＋2＝0. 解：将x3－5x＋2＝0变形为x3－(4＋1)x＋2＝0， ∴x3－4x－x＋2＝0， ∴(x3－4x)－(x－2)＝0， ∴x(x＋2)(x－2)－(x－2)＝0， ∴(x－2)(x2＋2x－1)＝0， ∴x－2＝0或x2＋2x－1＝0， ∴原方程有三个根：x1＝2，x2＝－1＋，x3＝－1－. 22 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ②换元法求解特殊的四次方程：x4－5x2＋4＝0. 解：设x2＝y，则x4＝y2， 于是原方程可变为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4， 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2， ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2. 22 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【应用新知】(1)仿照以上方法，按照要求解方程： ①(因式分解法)x3－10x＋3＝0； 解：(1)①将x3－10x＋3＝0变形为x3－(9＋1)x＋3＝0， ∴x3－9x－x＋3＝0，∴x(x＋3)(x－3)－(x－3)＝0， ∴(x－3)(x2＋3x－1)＝0，∴x－3＝0或x2＋3x－1＝0， ∴原方程有三个根：x1＝3，x2＝，x3＝. 22 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ②(换元法)x4＋3x2－4＝0. ②设x2＝y，则x4＝y2， 于是原方程可变为y2＋3y－4＝0，解得y1＝1，y2＝－4， 因为x2≥0，所以y＝－4舍去. 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1，∴原方程有两个根：x1＝1，x2＝－1. 22 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【拓展延伸】(2)已知x2－2x－1＝0，且x＞0，请综合运用以上方法，通过“降次”求x4－2x3－3x的值. (2)∵x2－2x－1＝0，∴x2－2x＝1， ∴x4－2x3－3x＝x2(x2－2x)－3x＝x2－3x＝x2－2x－x＝1－x. 解方程x2－2x－1＝0，得x1＝1＋，x2＝1－， ∵x＞0，∴x＝1＋，∴x4－2x3－3x＝1－x＝1－(1＋)＝－. 22 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 八、(本题满分14分) 23.［2024·合肥瑶海区期末］某运动品牌公司销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y(双)与降低价格x(元)之间存在如图所示的函数关系. (1)求出y与x的函数关系式； 23 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0). 由图可知其函数图象经过点(0，200)和(10，300)， 将其代入y＝kx＋b，得解得 ∴y与x的函数关系式为y＝10x＋200. 23 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ (2)由题意，得(10x＋200)(100－x－60)＝8910，解得x1＝7，x2＝13. ∵优惠力度最大，∴取x＝13，售价为100－13＝87(元). 答：当每双运动鞋的售价定为87元时，企业平均每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大. 23 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？请说明理由. (3)公司每天能获得9000元的利润.理由如下： ∵要保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%， ∴100－60－x≥60×50%，解得x≤10. 依题意，得(100－60－x)(10x＋200)＝9000，解得x1＝x2＝10. 答：售价定为90元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 23 -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 温馨提示 本课件由安徽木牍教育图书有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ -‹#›- 第二十五章综合练习 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 $