第25章一元二次方程暑假自学提升基础过关训练2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心概念与解法，以定义-形式-根的性质-解法-关系为逻辑链条，通过基础选择训练强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次方程的定义|3题|判断方程类型、确定系数|从概念本质出发，建立符号意识| |一元二次方程式|3题|化为一般式并识别系数|衔接定义，构建方程形式认知| |根的判断与解的验证|3题|判别式应用、解的代入验证|深化根的性质理解，培养推理意识| |由定义/解求参数|3题|参数取值范围及计算|结合定义与解的意义，提升逻辑推理| |配方法|4题|配方变形及最值应用|转化思想训练，强化代数变形能力| |公式法|6题|判别式判断、求根公式应用|系统掌握公式法步骤，培养运算能力| |因式分解法|6题|因式分解变形、换元法应用|体现转化与降次思想，提升解题灵活性| |根与系数的关系|3题|韦达定理简单应用|关联根与系数的内在联系，深化方程认知|

2026-2027学年九年级数学暑假自学提升基础巩固 夯实基础，巩固提升 第25章一元二次方程 选择题基础过关训练 知识点明细表 一元一次方程的定义 一元二次方程式 判断是否一元二次方程的解、判别式判断一元二次方程根的情况 由一元二次方程的定义求参数 由一元二次方程的解求参数 解一元二次方程——配方法 解一元二次方程——公式法 解一元二次方程——因式分解法 一元二次方程的根与系数的关系 · 一元一次方程的定义 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、含有，两个未知数，故A不符合题意； B、是分式，方程不是整式方程，故B不符合题意； C、含有，两个未知数，且未知数最高次数为1，是二元一次方程，故C不符合题意； D、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故D符合题意． 2．用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】一元二次方程的一般形式为， ∵给定方程为，符合一般形式， ∴对比可得，，． 3．一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】一元二次方程一般形式中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程为，对应一般形式可得， ∴一次项系数为． · 一元二次方程式 4．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 5．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 6．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． · 判断是否一元二次方程的解、判别式判断一元二次方程根的情况 7．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 8．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 9．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． · 由一元二次方程的定义求参数 10．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 11．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 12．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程， ∴， 对于一元二次方程 ，，代入得： ， 由得 ，解得， 由得， 因此a的取值范围是且， 结合选项，只有B选项的满足该范围. · 由一元二次方程的解求参数 13．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，方程的根满足原方程，将代入原方程变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 14．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】将代入原方程求出的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 解得， ∴． 15．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． · 解一元二次方程——配方法 16．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 17．一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ． 18．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 19．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用完全平方公式对二次代数式配方，再根据平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． · 解一元二次方程——公式法 20．关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】通过计算判别式并判断其符号即可确定方程根的情况即可 【详解】解：对于一元二次方程， 其中，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此方程无实数根 21．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：将原方程整理得， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 22．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 23．若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式关系列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ，解得， 观察四个选项，只有． 24．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 25．当用公式法解方程时，若，则的值为（   ） A．16 B． C．17 D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键． 将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论． 【详解】解：∵原方程可变形为， ， ， 故选：A． · 解一元二次方程——因式分解法 26．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 27．已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 【详解】A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 28．一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了换元法． 通过变量代换将原方程化为完全平方形式，再比较选项即可． 【详解】解：设，则原方程化为， ∴， ∴， 故原方程可化为． 故选：C． 29．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程，变形为，再根据题意可得一元二次方程有一个根为，然后求解即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴一元二次方程有一个根为，解得， 故选：． 30．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 31．设，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式化简，解分式方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，进行等量代换．将原方程中的换成，再去分母化简即可． 【详解】解：根据题意，得， 两边同乘，消去分母：， 移项整理得：． 故选：C． · 一元二次方程的根与系数的关系 32．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 33．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 34．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学暑假自学提升基础巩固 夯实基础，巩固提升 第25章一元二次方程 选择题基础过关训练 知识点明细表 一元一次方程的定义 一元二次方程式 判断是否一元二次方程的解、判别式判断一元二次方程根的情况 由一元二次方程的定义求参数 由一元二次方程的解求参数 解一元二次方程——配方法 解一元二次方程——公式法 解一元二次方程——因式分解法 一元二次方程的根与系数的关系 · 一元一次方程的定义 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． · 一元二次方程式 4．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 5．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 6．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， · 判断是否一元二次方程的解、判别式判断一元二次方程根的情况 7．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 8．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 9．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， · 由一元二次方程的定义求参数 10．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 11．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． · 由一元二次方程的解求参数 13．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 14．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 15．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． · 解一元二次方程——配方法 16．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 17．一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 18．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 19．将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 · 解一元二次方程——公式法 20．关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 21．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 22．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 23．若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 24．某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 25．当用公式法解方程时，若，则的值为（   ） A．16 B． C．17 D． · 解一元二次方程——因式分解法 26．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 27．已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 28．一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 29．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 30．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 31．设，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． · 一元二次方程的根与系数的关系 32．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 33．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 34．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $