精品解析：2022年辽宁省营口市老边区实验中学九年级下学期线上测试数学试题

九年数学测试卷（满分150分） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 据中国教育报近期报道，年来全国在义务教育阶段经费累计投入万亿元，数据万亿用科学记数法表示为（ ）亿 A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是(　　　) A. ﹣3(a﹣1)=3a+1 B. (x﹣3)2=x2﹣9 C. 5y3•3y2=15y6 D. x3÷x2=x 4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ） A. 70° B. 75° C. 80° D. 85° 6. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　） A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 7. 八年级二班在一次体重测量中，小明体重54.5kg，低于全班半数学生的体重，分析得到结论所用的统计量是（　　） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 8. 如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 9. 已知点，、，在直线上，当时，，且，则在直角坐标系内，该直线大致是 ( ) A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，x过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围为 _____． 12. 分解因式：________________． 13. 已知圆锥的高为，母线长为，则该圆锥侧面展开的扇形的圆心角为_________°． 14. 有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 __． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是__． 16. 如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为_____． 三．解答题（共102分） 17. 先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值． 18. 某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图． 请结合以上信息解答下列问题： （1）m=　　； （2）请补全上面的条形统计图； （3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为　　； （4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有　　名学生最喜爱足球活动． 19. 为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 20. “七一”建党节前夕，某校决定购买，两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的3倍． （1）求，奖品的单价； （2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于720元，，两种奖品共100件．求购买，两种奖品的数量，有哪几种方案？ 21. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东方向，然后他由B地沿北偏东方向骑行到达C地． （1）求A地与信号发射塔P之间的距离； （2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号） 22. 如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点M，与的另一个交点为E，过M作，垂足为N． （1）求证：是的切线； （2）若的直径为5，，求的长． 23. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销售将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式； （2）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 24. 结合图形，解决问题： （1）如图1，是正方形边上一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点． ①线段和的数量关系是 ； ②写出线段，和之间的数量关系． （2）当四边形为菱形，，点是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点． ①如图2，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，，直接写出线段的长度． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7． （1）求此抛物线的解析式． （2）求点N的坐标． （3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝时，求点F的坐标． （4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤），请直接写出S与t的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年数学测试卷（满分150分） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置几何体判断出主视图图形即可． 【详解】从正面看所得到的图形为 故选 【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键． 2. 据中国教育报近期报道，年来全国在义务教育阶段经费累计投入万亿元，数据万亿用科学记数法表示为（ ）亿 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：由题可得：万亿亿亿． 故选：． 【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键． 3. 下列运算正确的是(　　　) A. ﹣3(a﹣1)=3a+1 B. (x﹣3)2=x2﹣9 C. 5y3•3y2=15y6 D. x3÷x2=x 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的乘法、除法和乘方的计算解答即可． 【详解】解：A．﹣3(a﹣1)=﹣3a+3，选项错误，不符合题意； B．(x﹣3)2=x2﹣6x+9，选项错误，不符合题意； C．5y3•3y2=15y5，选项错误，不符合题意； D．x3÷x2=x，选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查整式的混合计算，关键是根据整式的乘法、除法和乘方的计算解答． 4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且，从而求解． 【详解】解：根据题意得：a≠0且，即 ， 解得：且， 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 5. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ） A. 70° B. 75° C. 80° D. 85° 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形外角性质或者三角形内角和以及平行线的性质解题即可． 【详解】解：如图 ， ， 直尺上下两边互相平行， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一副三角板多对应的角度以及平行线的性质，本题难度小，解法比较灵活． 6. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　） A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：在RT△ABF中，∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，利用直角三角形斜边中线性质可得AB=2DF=8，再由AD=DB，AE=EC，可得DE∥BC，∠ADE=∠ABF=30°，所以AF=AB=4，由勾股定理可得BF=4．故选D． 考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线． 7. 八年级二班在一次体重测量中，小明体重54.5kg，低于全班半数学生的体重，分析得到结论所用的统计量是（　　） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数的意义求解可得． 【详解】解：八年级二班在一次体重排列后，最中间一个数或最中间两个体重数的平均数是这组体重数的中位数， 半数学生的体重位于中位数或中位数以下， 小明低于全班半数学生的体重所用的统计量是中位数， 故选：A． 【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是熟练掌握并区分中位数、众数、平均数及方差的含义． 8. 如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，交于点，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果． 【详解】解：过点作，交于点， 是的外接圆，， ， 又，， ，， 在中，， ，， ， 故选：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键． 9. 已知点，、，在直线上，当时，，且，则在直角坐标系内，该直线大致是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据点，、，在直线上，当时，，且，可以得到、的正负情况，然后根据一次函数的性质，即可得到直线经过哪几个象限．解答本题的关键是求出、的正负． 【详解】解：点，、，在直线上，当时，，且， ，， 直线经过第一、二、三象限， 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，x过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先设出A的坐标，根据题意得出C的坐标，表示出CE的长度，过点B作BF垂直x轴，证明，由题目条件得出相似比，代换出点B的纵坐标，即可求出B的横坐标． 【详解】设点A的坐标为，设AC与x轴的交点为E，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，如图： ∵点C在函数的图象上，且AC⊥x轴， ∴C的坐标为， ∴EC=k， ∵BF⊥x轴，CE⊥x轴， ∴ , ∴ , 又∵， ∴ , ∴， 即, ∴点B的纵坐标为，代入反比例函数解析式： 当时，， ∴B点的横坐标是2， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数及相似三角形，解题关键是将线段比转化为两个相似三角形的相似比，由相似三角形的对应边得出点的坐标． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围为 _____． 【答案】且 【解析】 【分析】分式有意义需要同时满足二次根式有意义和分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴且． 12. 分解因式：________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可分解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查了整式的因式分解，因式分解的一般步骤是“一提二看三检查”，熟知提公因式法和乘法公式是解题关键． 13. 已知圆锥的高为，母线长为，则该圆锥侧面展开的扇形的圆心角为_________°． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出圆锥的底面圆的半径，再根据面积公式即可得出答案． 【详解】解：圆锥的高为，母线长为， 圆锥的底面圆的半径为， 则，， ， 故答案为． 【点睛】考查圆锥的侧面展开图公式熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键． 14. 有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 __． 【答案】 【解析】 【分析】卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，再根据概率公式=满足条件的样本个数总体的样本个数，可求出最终结果． 【详解】解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形， 根据概率公式，（轴对称图形）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率问题，属于基础题，掌握轴对称图形的性质以及概率公式是解题关键． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是__． 【答案】. 【解析】 【分析】由折叠的性质可得AM=A'M=1，可得点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值，由勾股定理可求MC的长，即可求A′C的最小值． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2， ∵M是AD边的中点， ∴AM＝MD＝1 ∵将△AMN沿MN所在直线折叠， ∴AM＝A'M＝1 ∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上， ∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值， 的最小值 故答案为 【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，解题关键在于利用折叠的性质得到AM=A'M=1. 16. 如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为_____． 【答案】60 【解析】 【详解】分析：首先证明△AEF≌△BEC，推出AF=BC=10，设DF=x．由△ADC∽△BDF，推出，构建方程求出x即可解决问题； 详解：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°， ∵∠BAC=45°， ∴AE=EB， ∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBE， ∴△AEF≌△BEC， ∴AF=BC=10，设DF=x． ∵△ADC∽△BDF， ∴， ∴， 整理得x2+10x﹣24=0， 解得x=2或﹣12（舍弃）， ∴AD=AF+DF=12， ∴S△ABC=•BC•AD=×10×12=60． 故答案为60． 点睛：本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共102分） 17. 先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】2a-6，当a=0时，原式=-6；当a=1时，原式=-4． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算可得答案． 【详解】 = = = = =2a-6， ∵a≠3且a≠-1， ∴a=0，a=1， 当a=0时，原式=2×0-6=-6； 当a=1时，原式=2×1-6=-4． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 18. 某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图． 请结合以上信息解答下列问题： （1）m=　　； （2）请补全上面的条形统计图； （3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为　　； （4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有　　名学生最喜爱足球活动． 【答案】（1）150，（2）36°，（3）240． 【解析】 【分析】（1）根据图中信息列式计算即可； （2）求得“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图即可； （3）360°×乒乓球”所占的百分比即可得到结论； （4）根据题意计算即可． 【详解】（1）m=21÷14%=150， 故答案为：150； （2）“足球“的人数=150×20%=30人， 补全上面的条形统计图如图所示； （3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×=36°； 故答案为：36°； （4）1200×20%=240人， 答：估计该校约有240名学生最喜爱足球活动． 故答案为150，36°，240． 【点睛】本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键． 19. 为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 【答案】不公平，见解析 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之积小于4的情况，再利用概率公式求出合唱《大海啊，故乡》和合唱《红旗飘飘》的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】解：根据题意画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中数字之积小于4的有5种结果， ∴合唱《大海啊，故乡》的概率是， ∴合唱《红旗飘飘》的概率是， ∵， ∴游戏不公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 20. “七一”建党节前夕，某校决定购买，两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的3倍． （1）求，奖品的单价； （2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于720元，，两种奖品共100件．求购买，两种奖品的数量，有哪几种方案？ 【答案】（1）A，奖品的单价分别是40元，15元；（2）购买A奖品23件，B奖品77件；购买A奖品24件，B奖品76件；购买A奖品25件，B奖品75件． 【解析】 【分析】（1）设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，根据“购买奖品的数量是奖品的3倍”，列出分式方程，即可求解； （2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，列出一元一次不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元， 由题意得：， 解得：x=15， 经检验：x=15是方程的解，且符合题意， 15+25=40， 答：A，奖品的单价分别是40元，15元； （2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件， 由题意得：， 解得：22.5≤a≤25， ∵a取正整数， ∴a=23，24，25， 答：购买A奖品23件，B奖品77件；购买A奖品24件，B奖品76件；购买A奖品25件，B奖品75件． 【点睛】本题主要考查分式方程以及一元一次不等式组的实际应用，找准数量关系，列出方程和不等式组，是解题的关键． 21. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东方向，然后他由B地沿北偏东方向骑行到达C地． （1）求A地与信号发射塔P之间的距离； （2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用—方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解． （1）过点B作于D点，依题意知：，求得，进而得到，于是得到结论； （2）过点P作于E，先求得，得到，，再求出，然后根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：过点B作于D点， 依题意知：， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 过点P作于E，过点B作正北方向射线， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点M，与的另一个交点为E，过M作，垂足为N． （1）求证：是的切线； （2）若的直径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）连接，求出，求出，根据切线的判定推出即可； （2）连接和，求出，解直角三角形求出和，再求出答案即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图1， ， ， 在中，是斜边上的中线， ∴， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ， 即， 由（1）知：， ∴M为的中点， ， ∴， 在中，， ， 在中， ， ∴． 23. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销售将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式； （2）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）；（2）；当为12时，日销售利润最大，最大利润960元． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到函数解析式； （2）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）根据题意得，， 故与的函数关系式为； （2）根据题意得，， ， 当时，随的增大而增大， 当时，W最大， 答：当为12时，日销售利润最大，最大利润960元． 【点睛】本题考查了二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键． 24. 结合图形，解决问题： （1）如图1，是正方形边上一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点． ①线段和的数量关系是 ； ②写出线段，和之间的数量关系． （2）当四边形为菱形，，点是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点． ①如图2，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，，直接写出线段的长度． 【答案】（1）①；② （2）①证明：，理由如下： 如图，过点作于点， 根据题意可知，， ∵在菱形中，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 可得， ∴， ∴， ∴， ∴． ②． 【解析】 【分析】（1）①利用旋转性质得到等角，结合正方形性质，判定为等腰三角形，得到；②先证，然后通过等量代换得，再结合等腰直角三边关系推出； （2）①由旋转、菱形角度条件证，得，进而得到，再利用的三边关系，得到；②先证明全等三角形得，然后利用平行线构造相似三角形求出​，再利用旋转的性质算出，最后利用线段位置关系求出​． 【小问1详解】 ①解：∵绕点逆时针旋转， 由旋转可知，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ②解：由①知，在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据题意可知，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即 可得， 即． 【小问2详解】 ①略； ②解：如图，过点作于，过点作于， 根据题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7． （1）求此抛物线的解析式． （2）求点N的坐标． （3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝时，求点F的坐标． （4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤），请直接写出S与t的函数关系式． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：（3，2）或（，﹣）；（4）． 【解析】 【分析】（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解； （2）抛物线的对称轴为：x＝，点N的横坐标为：，即可求解； （3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可； （4）分0≤t≤、当＜t≤、＜t≤三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线y＝﹣x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0）， 则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx+2， 将点C坐标代入上式并解得：b＝， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2…①； （2）抛物线的对称轴为：x＝， 点N的横坐标为： ， 故点N的坐标为（5，-3）； （3）∵tan∠ACO＝＝tan∠FAC＝， 即∠ACO＝∠FAC， ①当点F在直线AC下方时， 设直线AF交x轴于点R， ∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR， 设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝， 即点R的坐标为：（，0）， 将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：， 解得：， 故直线AR的表达式为：y＝﹣x+2…②， 联立①②并解得：x＝，故点F（，﹣）； ②当点F在直线AC的上方时， ∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴， 则点F′（3，2）； 综上，点F的坐标为：（3，2）或（，﹣）； （4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝，则sinα＝，cosα＝； ①当0≤t≤时（左侧图）， 设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S， 则∠DST＝∠ACO＝α，过点T作TL⊥KH， 则LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α， 则DT＝，DS＝， S＝S△DST＝DT×DS＝； ②当＜t≤时（右侧图）， 同理可得： S＝＝DG×（GS′+DT′）＝3+（+﹣）＝； ③当＜t≤时，同理可得S=； 综上，S＝． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等，其中（3）、（4），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $