精品解析：辽宁省丹东市元宝区丹东市第十七中学2021—2022学年九年级下学期线上教学质量监测 数学试卷

丹东十七中2021—2022学年度（下）线上教学质量监测 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 第一部分 客观题 请将所选答案填写在答题卡相应的空格内． 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 2022 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下面计算错误的是（　　） A.   B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据积的乘方，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】A、 ，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 3. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的前提．根据简单组合体的三视图的画法画出它的左视图即可． 【详解】解：这个组合体的左视图的底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：A． 4. 世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将0.00000012写成a×10n（1＜|a|＜10，n为整数）的形式即可． 【详解】解：0.00000012=． 故选A． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成a×10n（1＜|a|＜10，n为整数）的形式，确定a和n的值成为解答本题的关键． 5. 某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占40%，演讲的成绩占60%，小新同学的民主测评和演讲的成绩分别为80分和90分，则他的最终成绩是（　　） A. 83分 B. 84分 C. 85分 D. 86分 【答案】D 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：他的最终成绩为（分， 故选：． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 6. 已知：的顶点，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图： ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，交于点N． ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点E． ③画射线，交于点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得：OE平分∠AOC，结合AD∥OC，可得AO=AF，设AH=m，则AO=AF=2+m，根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知：OE平分∠AOC， ∴∠AOF=∠COF， ∵在中，AD∥OC， ∴∠COF=∠AFO， ∴∠AOF=∠AFO， ∴AO=AF， ∵， ∴FH=2，OH=3， 设AH=m，则AO=AF=2+m， ∵在中，AH2+OH2=AO2， ∴m2+32=(2+m) 2，解得：， ∴A， 故选A． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，尺规作角平分线，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，推出AO=AF，利用勾股定理列出方程，是解题的关键． 7. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案． 【详解】解：直线与相交于点， ， ， ， 当时，， 关于的方程的解是， 故选：B． 8. 如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（ ） ①当时，是等边三角形． ②在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有3个． ③当时，． ④当时，． ⑤当时，． A. ①③④ B. ①③⑤ C. ①②④ D. ③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH=AB=6cm，利用四边形ABCD是矩形可知CD=AB=6cm；当6≤t≤9时，S=且保持不变，说明点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，可得HC=3cm，即点H为CD的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论． 【详解】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图， ①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s， ∴AH=AB=6cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=6cm． ∵当t=6s时，S=cm2， ∴×AB×BC=． ∴BC=． ∵当6≤t≤9时，S=且保持不变， ∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒， ∴HC=3cm，即点H为CD的中点． ∴BH=． ∴AB=AH=BH=6， ∴△ABM为等边三角形． ∴∠HAB=60°． ∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s， ∴AM=AN， ∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形． 故①正确； ②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形： 此时有两个符合条件的点； 当AD=AM时，△ADM为等腰三角形，如图： 当DA=DM时，△ADM为等腰三角形，如图： 综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个． ∴②不正确； ③过点M作ME⊥AB于点E，如图， 由题意：AM=AN=t， 由①知：∠HAB=60°． 在Rt△AME中， ∵sin∠MAE=， ∴ME=AM•sin60°=t， ∴S=AN×ME=． ∴③正确； ④当t=9+时，CM=，如图， 由①知：BC=， ∴MB=BC-CM=． ∵AB=6， ∴tan∠MAB=， ∴∠MAB=30°． ∵∠HAB=60°， ∴∠DAH=90°-60°=30°． ∴∠DAH=∠BAM． ∵∠D=∠B=90°， ∴△ADH∽△ABM． ∴④正确； ⑤当9＜t＜9+时，此时点M在边BC上，如图， 此时MB=9+-t， ∴S=． ∴⑤不正确； 综上，结论正确的有：①③④． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键． 第二部分 主观题 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 10. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】#### 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件． 11. 在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋中随机摸出一个球是白球的概率为，则袋中黄球的个数为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】设黄球个数为x个，根据概率公式得：，解得x的值即可． 【详解】解：设黄球个数为x个， 解得， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12. 关于x的一元二次方程x2＋2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是________． 【答案】k≥﹣1 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4×（﹣k）≥0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得Δ＝22﹣4×（﹣k）≥0， 解得k≥﹣1． 故答案为k≥﹣1． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 13. 关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据题意得到关于a的方程，解之可得． 【详解】解：解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2， 解不等式a﹣x＞﹣1，得：x＜a+1， ∵不等式组的解集为2＜x＜4， ∴a+1＝4，即a＝3， 故答案为3． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 14. 如图，△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上C，D分别为AB，OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE，OE，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A．若△AOE的面积为2，则k的值是___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等腰△AOB，中位线CD得出AD⊥OB，S△AOE＝S△AOD＝2，应用|k|的几何意义求k． 【详解】解：如图：连接AD， △AOB中，AO＝AB，OB在x轴上，C、D分别为AB，OB的中点， ∴AD⊥OB，AO∥CD， ∴S△AOE＝S△AOD＝2， ∴k＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质． 15. 如图，四边形中，，，，点是四边形内的一个动点，满足，连接、，则面积的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，平行线的性质以及解直角三角形，解题的关键是学会用转化思想思考问题． 取的中点连接，过点作于点，过点作于点，交于点，则，根据垂线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，从而求得面积的最小值． 【详解】解：取的中点．连接，过点作于点，过点作于点，交于点， 则， ，，， ， ，， ，， ， ， ，，， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 面积的最小值是：． 故答案为：． 16. 在直角坐标系中，直线与轴交于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线l于点B3，以为边长作等边，…，则等边的中心坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线求出点的坐标，利用三角函数得出与之间的数量关系，得到等边的边长，利用等边得到点的坐标，解得直线的解析式，根据轴，知道点与点的纵坐标相等，两点之间的距离等于横坐标之差求解出点的坐标，再根据等边三角形中心的定义求出答案． 【详解】解：设直线与轴的交点为点，过点作交于点， 令，则，解得， ∴点的坐标为， ∵是等边三角形， ∴的边长为1，， 令，则， ∴， 则， ∴，则， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 同理可得， 研究规律可得， ∴的边长， ∵是等边三角形，， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点代入，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴令点与点的纵坐标为， 则点的横坐标为，点的横坐标标， 则， ∵， ∴，则 点的横坐标为； 等边三角形的中心在其三条边的垂直平分线上，如下图所示， ∴， ∴， ∴， ∴等边中心的横坐标为， 纵坐标为， ∴等边中心的坐标为． 三、（每小题8分，共16分） 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】；． 【解析】 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】原式 = = ， 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则． 18. 如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到E．使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）①若，，则四边形的面积 ； ②若，则 时，四边形是正方形． 【答案】（1）证明见解析 （2）①120；② 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据三角形的中位线定理可得，则可证四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证； （2）①先根据等腰三角形的三线合一可得，再利用勾股定理可得，然后根据矩形的面积公式计算即可得； ②设，则，再根据正方形的判定可得要使四边形是正方形，则需，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 证明：∵是等腰底边上的高， ∴， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：①∵是等腰底边上的高，且， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴四边形的面积为， 故答案为：120． ②设， ∵是等腰底边上的高， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴要使四边形是正方形，则需， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 所以若，则时，四边形是正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定、正方形的判定、等腰三角形的三线合一、勾股定理、三角形的中位线定理、利用平方根解方程，熟练掌握矩形和正方形的判定是解题关键． 四、（每小题10分，共20分） 19. 丹东十七中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：．机器人，．围棋，．羽毛球，．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中A所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有________人； （2）求出所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整； （3）若学校共有学生加入了社团，请你估计这名学生中有多少人参加了羽毛球社团； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：类有人，所占扇形的圆心角为， 这次被调查的学生有： （人）． 【小问2详解】 解：项目有人，对应的圆心角为： ； 项目对应的人数为：（人）， 补充条形图略； 【小问3详解】 解：项目有人，占被调查人数的比值为：， 参加羽毛球社团的人数是：（人）． 答：估计有人参加了羽毛球社团． 20. 一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球． （1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性； （2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1）所有可能性如下表： 甲 乙 红1 红2 白1 白2 红1 （红，红） （白，红） （白，红） 红2 （红，红） （白，红） （白，红） 白1 （红，白） （红，白） （白，白） 白2 （红，白） （红，白） （白，白） 总共12种情况． （2）这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高 【解析】 【分析】（1）列表格列出所有可能性； （2）分别求出甲乙获胜的情况个数后比较大小即可． 【详解】（1）略 （2）摸到两个小球的颜色相同有4种，摸到两个小球颜色不同有8种 ∴甲获胜概率=，乙获胜概率= ∴这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 五、（每小题10分，共20分） 21. 某水果商从批发市场用8万元购进一批大樱桃若干千克，很快销售一空．于是该水果商又用17.6万元购进第二批大樱桃，所购质量是第一批的3倍，但每千克便宜了4元．求该水果商购进第一批大樱桃每千克多少元？ 【答案】 该水果商购进第一批大樱桃每千克元 【解析】 【分析】设第一批大樱桃的单价为未知数，根据第二批购进质量是第一批的倍的等量关系列分式方程求解． 【详解】解：设该水果商购进第一批大樱桃每千克元，则第二批每千克元， 由题意得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该水果商购进第一批大樱桃每千克元． 22. 如图，在中，，于点，是上一点，以为直径的交于点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明，得到，即可得证； （2）连接、，得到，再根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，准确计算是解题的关键． 六、（每小题10分，共20分） 23. 如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行1000米到达C处，测得小区M位于点C的北偏西75°方向，试在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使其到该小区铺设的管道最短，并求AN的长．（精确到1米，≈1.414，≈1.732） 【答案】634 【解析】 【详解】试题分析：首先过点M作MN⊥AC于点N，由题意可求得∠MAN=30°，∠MCN=45°，然后设MN=x，由三角函数的性质，可表示出AN与CN，继而可得方程：x+x=1000，解此方程即可求得答案． 试题解析：解：如图：过点M作MN⊥AC于点N．根据题意得：∠MAN=60°﹣30°=30°，∠BCM=75°，∠DCA=60°，∴∠MCN=180°﹣75°﹣60°=45°．设MN=x米．在Rt△AMN中，AN==x（米）．在Rt△CMN中，CN==x（米）．∵AC=1000米，∴x+x=1000，解得：x=500（﹣1），∴AN=x≈634（米）． 答：AN的长为634米． 点睛：本题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是关键，注意数形结合思想与方程思想的应用． 24. 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80元． 销售单价（元） 销售量（袋） （1）请直接写出y与x之间的函数关系式； （2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？ （3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y与x之间的函数关系式为y=﹣80x+560；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元． 【解析】 【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120分别代入求出k、b的值即可得； （2）根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用列出方程进行求解即可得； （3）根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用列出函数关系式，然后利用二次函数的性质进行解答即可得． 【详解】解：（1）设y=kx+b，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120代入， 得， 解得， 则y与x之间的函数关系式为y=﹣80x+560； （2）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80=160， 整理，得x2﹣10x+24=0， 解得x1=4，x2=6， ∵3.5≤x≤5.5， ∴x=4， 答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元； （3）由题意得：w=（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80 =﹣80x2+800x﹣1760 =﹣80（x﹣5）2+240， ∵3.5≤x≤5.5， ∴当x=5时，w有最大值为240， 故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用等，读懂题意，找准数量关系列出函数关系式、找准等量关系列出方程是解题的关键． 七、（本题12分） 25. 如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF． （1）求证：； （2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论； （2）连接AF，由（1）得，，，推出，然后根据现有条件说明 在中，，点A，D，C，E四点共圆，F为圆心，则，在中，推出，即可得出答案； （3）在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，证明点P位于线段CE上，同理得到点P位于线段BF上，证明∠BPC=120°，进而得到，设PD为， 得出，，得出，解出a，根据即可得出答案． 【详解】解：（1）证明如下：∵， ∴， ∵，， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 在中，F为DE中点（同时），， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）连接AF，由（1）得，，， ∴， 在中，， ∵F为DE中点， ∴， 在四边形ADCE中，有，， ∴点A，D，C，E四点共圆， ∵F为DE中点， ∴F为圆心，则， 在中， ∵， ∴F为CG中点，即， ∴， 即； （3）如图1，在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，得到△BPD为等边三角形，所以PD=BP， ∴AP+BP+CP=DE+DP+CP， ∴当的值取得最小值时，点P位于线段CE上； 如图2，将三角形ACP绕点C顺时针旋转60°得到△FCG，得到△PCG为等边三角形，所以PC=GP， ∴AP+BP+CP=GF+GP+BP， ∴当的值取得最小值时，点P位于线段BF上； 综上所述：如图3，以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF，连接CE、BF，则交点P为求作的点， ∴△AEC≌△ABF， ∴∠AEC=∠ABF， ∴∠EPB=EAB=60°， ∴∠BPC=120°， 如图4，同理可得，， ∴， 设PD为， ∴， 又， ∴， 又 ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解本题的关键． 八、（本题14分） 26. 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为D（﹣1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标； （3）连结AD、CD，求cos∠ADC的值； （4）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）点M的坐标为（﹣1，2）；（3）cos∠ADC=；（4）存在以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣5，﹣12）或（3，﹣12）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的表达式； （2）根据轴对称最短路径问题得到点M的位置，利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，代入计算得到答案； （3）连结AC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACD=90°，根据余弦的定义计算即可； （4）根据平行四边形的判定定理画出图形，根据二次函数图象上点的坐标特征解答． 【详解】（1）∵抛物线的顶点为D（﹣1，4）， ∴设函数表达式为， ∵图象过点C（0，3）， ∴当x=0时，y=3， ∴， 解得，， ∴函数表达式为，即； （2）由， ， ∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）， ∵A、B关于对称轴x=﹣1对称，点M在对称轴x=﹣1上， ∴MA=MB， ∴△BCM的周长=BC+CM+BM=BC+CM+AM， 当A、M、C在同一直线上时，△BCM的周长最小， 设直线AC的函数解析式为， 则， 解得，， ∴直线AC的函数解析式为， ∵点M的横坐标为， 所以点M的坐标为（﹣1，2）； （3）如图1，连结AC， 由勾股定理，得： ，，， ∴， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， ∴cos∠ADC=； （4）如图2， 当点P与点D重合，点Q与点P关于x轴对称时，四边形AQBP的对角线互相平分， ∴四边形AQBP是平行四边形，此时点P的坐标为（﹣1，4）； 当P′Q′∥AB，P′Q′=AB=4时，四边形AP′Q′B是平行四边形， 此时P′点的横坐标为﹣1﹣4=﹣5， ∴P′的纵坐标为：， ∴点P′的坐标为（﹣5，﹣12）； 根据抛物线的对称性，点P′′的坐标为（3，﹣12）； 综上所述：以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣5，﹣12）或（3，﹣12）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、平行四边形的判定、锐角三角函数的定义，灵活运用分情况讨论思想、掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹东十七中2021—2022学年度（下）线上教学质量监测 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 第一部分 客观题 请将所选答案填写在答题卡相应的空格内． 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 2022 C. D. 2. 下面计算错误的是（　　） A.   B. C. D. 3. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占40%，演讲的成绩占60%，小新同学的民主测评和演讲的成绩分别为80分和90分，则他的最终成绩是（　　） A. 83分 B. 84分 C. 85分 D. 86分 6. 已知：的顶点，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图： ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，交于点N． ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点E． ③画射线，交于点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（ ） ①当时，是等边三角形． ②在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有3个． ③当时，． ④当时，． ⑤当时，． A. ①③④ B. ①③⑤ C. ①②④ D. ③④⑤ 第二部分 主观题 请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 分解因式：________． 10. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 11. 在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋中随机摸出一个球是白球的概率为，则袋中黄球的个数为__________． 12. 关于x的一元二次方程x2＋2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是________． 13. 关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为_____． 14. 如图，△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上C，D分别为AB，OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE，OE，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A．若△AOE的面积为2，则k的值是___． 15. 如图，四边形中，，，，点是四边形内的一个动点，满足，连接、，则面积的最小值为______． 16. 在直角坐标系中，直线与轴交于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线l于点B3，以为边长作等边，…，则等边的中心坐标是_____． 三、（每小题8分，共16分） 17. 先化简，再求值：，其中 18. 如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到E．使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）①若，，则四边形的面积 ； ②若，则 时，四边形是正方形． 四、（每小题10分，共20分） 19. 丹东十七中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：．机器人，．围棋，．羽毛球，．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中A所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有________人； （2）求出所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整； （3）若学校共有学生加入了社团，请你估计这名学生中有多少人参加了羽毛球社团； 20. 一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球． （1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性； （2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由． 五、（每小题10分，共20分） 21. 某水果商从批发市场用8万元购进一批大樱桃若干千克，很快销售一空．于是该水果商又用17.6万元购进第二批大樱桃，所购质量是第一批的3倍，但每千克便宜了4元．求该水果商购进第一批大樱桃每千克多少元？ 22. 如图，在中，，于点，是上一点，以为直径的交于点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 六、（每小题10分，共20分） 23. 如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行1000米到达C处，测得小区M位于点C的北偏西75°方向，试在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使其到该小区铺设的管道最短，并求AN的长．（精确到1米，≈1.414，≈1.732） 24. 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80元． 销售单价（元） 销售量（袋） （1）请直接写出y与x之间的函数关系式； （2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？ （3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 七、（本题12分） 25. 如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF． （1）求证：； （2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长． 八、（本题14分） 26. 已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为D（﹣1，4），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），如图． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标； （3）连结AD、CD，求cos∠ADC的值； （4）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $