第04讲 三角形中的两大角度模型：飞镖模型与“8”字模型（暑假预习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第04讲 三角形中的两大角度模型: 飞镖模型与“8”字模型 （2大考点2大题型） ( 学习目标 ) 1. 掌握两个重要角度模型的图形特征和结论，以及证明过程； 2. 初步建立几何模型思维，利用几何模型的结论提升识图能力和解题速度. ( 考点整理 ) 一、飞镖模型 （一）模型详解 如图1所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C。因为此图的形状像“飞镖”、“燕尾”，因此被成为飞镖模型或燕尾模型。 图1 【证明】如图，延长 BD交 AC 于点E. ∵∠BEC是△ABE 的外角， ∴∠BEC=∠A+∠B. 又∵∠BDC 是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. （二）模型拓展 1.如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC； 则有结论：∠O=（∠A+∠C）。 图2 2.如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD； 则有结论：∠O=（∠D-∠B）。 图3 3.证明飞镖模型其他添加轴助线的方法 二、“8”字模型 （一）模型简介 如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A+∠B+∠1=180° 在△CDO中，∠C+∠D+∠2=180°， ∵∠1=∠2, ∴∠A+∠B=∠C+∠D. （二）模型拓展 1：若 BP，DP分别是∠ABC，∠ADC的平分线，则∠P=（∠A＋∠C）. 2：若∠CBP=∠ABC,∠CDP=∠ADC，则∠P=∠A+∠C 3： AB+BC+CD+AD＞AC+BD ( 题型归纳 ) 【题型1 飞镖模型的应用】 1．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 2．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　） A．24° B．25° C．30° D．36° 4．如图，若，则____________． 5．如图，在中，，，平分，平分，则______. 6．如图所示，已知四边形，求证． 7．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 8．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 9．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．118° C．100° D．90° 10．如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型2】 “8”字模型的应用 1.如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 2.线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是 ．    3.如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 4.如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为　　 A． B． C． D． 5.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__． 6.下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度． 7.如图，，，，，求和的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 三角形中的两大角度模型: 飞镖模型与“8”字模型 （2大考点2大题型） ( 学习目标 ) 1. 掌握两个重要角度模型的图形特征和结论，以及证明过程； 2. 初步建立几何模型思维，利用几何模型的结论提升识图能力和解题速度. ( 考点整理 ) 一、飞镖模型 （一）模型详解 如图1所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C。因为此图的形状像“飞镖”、“燕尾”，因此被成为飞镖模型或燕尾模型。 图1 【证明】如图，延长 BD交 AC 于点E. ∵∠BEC是△ABE 的外角， ∴∠BEC=∠A+∠B. 又∵∠BDC 是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. （二）模型拓展 1.如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC； 则有结论：∠O=（∠A+∠C）。 图2 2.如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD； 则有结论：∠O=（∠D-∠B）。 图3 3.证明飞镖模型其他添加轴助线的方法 二、“8”字模型 （一）模型简介 如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A+∠B+∠1=180° 在△CDO中，∠C+∠D+∠2=180°， ∵∠1=∠2, ∴∠A+∠B=∠C+∠D. （二）模型拓展 1：若 BP，DP分别是∠ABC，∠ADC的平分线，则∠P=（∠A＋∠C）. 2：若∠CBP=∠ABC,∠CDP=∠ADC，则∠P=∠A+∠C 3： AB+BC+CD+AD＞AC+BD ( 题型归纳 ) 【题型1 飞镖模型的应用】 1．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答． 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴40°-90°=50° 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 2．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 3．如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　） A．24° B．25° C．30° D．36° 【答案】B 【详解】∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠ABC+∠ACB=160°， ∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1， ∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACB ∵∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2， ∴∠ABD2=∠ABD1 =∠ABC，∠ACD2=∠ACD1 =∠ACB， 同理可得：∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB， ∴∠ABD5+∠ACD5=×160°=5°， ∴∠BCD5+∠CBD5=155°， ∴∠BD5C=180°-∠BCD5-∠CBD5=25°， 故选：B 4．如图，若，则____________． 【答案】230° 【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论． 【详解】解：如图 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质． 5．如图，在中，，，平分，平分，则______. 【答案】 【分析】先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解. 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键. 6．如图所示，已知四边形，求证． 【答案】见解析 【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果； 方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论； 方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】方法1如图所示，连接BC. 在中，，即. 在中，， ； 方法2如图所示，连接AD并延长. 是的外角， . 同理，. . 即. 方法3如图所示，延长BD，交AC于点E. 是的外角， . 是的外角， . . 【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理. 7．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 8．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答． 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴140°-90°=50° 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 9．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．118° C．100° D．90° 【答案】B 【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论． 【详解】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°． 由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED， ∴∠CED＝＝99°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°， ∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键． 10．如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果． 【详解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=160°， ∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB， ∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD， ∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1， ∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB， 同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB， ∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°， ∴∠BCD5+∠CBD5=155°， ∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题． 【题型2】 “8”字模型的应用 1.如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可． 【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D， ∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°， ∴∠2+∠3=120°， 即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°， ∵∠B+∠C=120°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起． 2.线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是 ．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 3.如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D， ∴∠2＞∠D， 故选项A，B，C正确， 故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 4.如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵如图可知，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 故选． 点睛：本题主要考查了三角形内角和定理即三角形外角与内角的关系，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此题难度不大． 5.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__． 【答案】1080° 【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数． 【详解】解：连KF，GI，如图， ∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°． 故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°． 故答案为：1080°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 6.下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度． 【答案】     减少     10 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 7.如图，，，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】由，可得，根据三角形外角性质可得，因为，即可求得的度数；根据三角形外角的性质可得，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，，， ∴， ， ∴ ， ∴． ∴，． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，采用了数形结合的思想方法．找到相应等量关系的角是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $