第十三章 三角形 03讲 三角形的内角与外角（3大知识点+7大常考题型+巩固练习）2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦三角形内角与外角核心知识点，系统梳理内角和定理（180°及拼减法、平行线性质两种证明方法），直角三角形两锐角互余及判定，三角形外角定义、性质（等于不相邻内角和、大于不相邻内角、外角和360°），构建从基础到特殊再到延伸的学习支架。 资料以7大题型（含内角和证明、平行线综合、角平分线、折叠等）为主线，搭配例题与变式，结合手推车、台球等生活情境，培养几何直观与推理能力，课中助力教师分层教学，课后通过巩固练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

第十三章 三角形 03讲 三角形的内角与外角 题型归纳 【题型1. 三角形内角和定理的证明 3】 【题型2. 与平行线有关的三角形内角和问题 5】 【题型3. 与角平分线有关的三角形内角和问题 6】 【题型4. 三角形中的折叠问题 8】 【题型5. 三角形内角和定理的应用 9】 【题型6. 直角三角形的两个锐角互余 11】 【题型7. 三角形外角的定义及性质 13】 【巩固练习 15】 知识清单 知识点1 三角形的内角 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明： 法一：拼减法 法二：利用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图13.3-2，过点A作直线l，使l∥BC. ∵ l∥BC ∴ ∠2=∠4（两直线平行，内错角相等） 同理∠3=∠5 ∵ ∠1，∠4，∠5组成平角 ∴ ∠1+∠4+∠5=180°（平角定义） ∴ ∠1+∠2+∠3=180°（等量代换） 知识点2 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点3 三角形的外角 1.定义：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°； ∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B； ∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 题型专练 题型1. 三角形内角和定理的证明 【例1】在学习了平行线的性质以后，我们可以用几何推理的方法证明三角形的内角和等于．如图，已知，求证：． 【变式1】小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作 交于点D，作 交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 【变式2】回答下列问题： (1)填空（在括号中注明理由）：如图1所示：直线经过点，，求证：． 证明：∵ ∴，（ ① ） ∵（ ② ） ∴（ ③ ） (2)如图2所示，，求证：． (3)由（1）和（2），你能得出什么结论？_________________． 【变式3】数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明． (1)如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明； (2)如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明； (3)如图③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明． 题型2. 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 【例2】如图，直线，若，，则∠B的度数为________． 【变式1】如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线，，，则的度数为_________． 【变式3】如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【变式4】如图，在四边形中，，，，求证：．      题型3. 与角平分线有关的三角形内角和问题 【例1】如图中，，的平分线相交于点，，的度数是（   ） A． B． C． D．无法确定 【例2】如图，的和的角平分线和相交于点O，，则____度． 【变式1】如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，平分，若，则_________． 【变式3】如图，在中，是的平分线，，垂足为，，求的度数． 【变式4】如图，在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的数量关系，并证明． 题型4. 三角形中的折叠问题 【例1】如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点，均落于边上一点处，线段，为折痕．若，则________． 【变式1】如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，当时，______．    【变式4】（1）如图1，若；则_______； （2）把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为为． ①如图2，与的数量关系是_______； ②如图3，与的数量关系是_______； （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中_______． 题型5. 三角形内角和定理的应用 【例1】如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，是，，三个便民核酸采样点和小亮家（点）的平面图，已知，，三点在同一条东西方向的路段上，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且点到，两点的距离相等，试求出从小亮家（点）观测检测点，两处的视角的度数． 【变式1】三角形三个内角度数的比是，这是个（   ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 【变式2】如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若，，，则的度数为___________． 【变式3】阅读下列材料并解答问题：在三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“倍角三角形”．例如：某三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“倍角三角形”．反之，若某三角形是“倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)在中，，判断是否是“倍角三角形”，并说明理由； (2)若某“倍角三角形”有一个角为，求这个“倍角三角形”的最小内角的度数； (3)如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，且．若是“倍角三角形”，直接写出的度数． 【变式4】如图1，在一场台球比赛中，母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球．（桌角，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，即，）    (1)求证：． (2)如图2，在简易球台上，母球撞击球，球以角击出后，在桌子边缘回弹若干次后，进入球袋，问球会进入哪个球袋（，，，四个角各有一个球袋）？并在图2中画出球经过的路径． 题型6. 直角三角形的两个锐角互余 【例1】如图，，是的中点，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为__________． 【例3】如图，平分，，．求的度数． 【变式1】在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式2】如图，是的角平分线，，垂足为D，，则__________． 【变式3】如图，是的高，点E、F在、上，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 题型7. 三角形外角的定义及性质 【例1】如图所示，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为________． 【例3】如图，在中，是的角平分线，，，求和的度数． 【变式1】已知直线，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】一副三角尺，如图所示叠放在一起，则图中的度数是___________． 【变式3】已知． (1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若，求的度数． 【变式4】如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，，，的周长为22，则的周长为_____． 巩固练习 1．（2026·广东深圳·二模）如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形中，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）在中，，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 3．（2026·江苏扬州·一模）如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建泉州·二模）如图，中，借助直角三角板作边上的高，将三角板按如图所示摆放，其中点A，B，E在同一直线上，点E，C，D在同一直线上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川南充·一模）将一副三角板如图摆放，，，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在四边形中，，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①：②；③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，点是延长线上一点，若，，则__________． 10．（25-26八年级下·福建厦门·期中）五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（，，，，）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为__________． 11．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，平分交于点，若，，则的度数是_________． 12．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，与、分别交于点、，则______ 13．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点D、E分别为、边上的点，平分，平分，、相交于点O，若，则______． 14．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，，点、分别是直线、上的两点，在、处分别存在两个反射镜面和：现有一个激光发射装置位于直线上的点处，从点发出两束激光分别经、反射后交于点，已知入射角，则___．（光的反射定律：反射角等于入射角，即，） 15．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)如图，点E是线段上一点，若，且，求的度数． 16．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 17．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，已知中，，，将沿射线方向平移后，得到，连接． (1)若，求的长度； (2)若恰好平分，求的度数． 18．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是30，则的面积为___________． 19．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，，是的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)求的度数． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 03讲 三角形的内角与外角 题型归纳 【题型1. 三角形内角和定理的证明 3】 【题型2. 与平行线有关的三角形内角和问题 7】 【题型3. 与角平分线有关的三角形内角和问题 10】 【题型4. 三角形中的折叠问题 14】 【题型5. 三角形内角和定理的应用 19】 【题型6. 直角三角形的两个锐角互余 24】 【题型7. 三角形外角的定义及性质 29】 【巩固练习 33】 知识清单 知识点1 三角形的内角 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明： 法一：拼减法 法二：利用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图13.3-2，过点A作直线l，使l∥BC. ∵ l∥BC ∴ ∠2=∠4（两直线平行，内错角相等） 同理∠3=∠5 ∵ ∠1，∠4，∠5组成平角 ∴ ∠1+∠4+∠5=180°（平角定义） ∴ ∠1+∠2+∠3=180°（等量代换） 知识点2 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点3 三角形的外角 1.定义：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°； ∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B； ∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 题型专练 题型1. 三角形内角和定理的证明 【例1】在学习了平行线的性质以后，我们可以用几何推理的方法证明三角形的内角和等于．如图，已知，求证：． 【答案】见详解 【分析】过作，根据平行线的性质和平角定义即可完成证明．本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线构造出平行线是解题的关键． 【详解】证明：过作， ， ，， ， ． 【变式1】小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作 交于点D，作 交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程进行证明即可． 【详解】解； ， ，． ， ． ， ， ． ， ． 【变式2】回答下列问题： (1)填空（在括号中注明理由）：如图1所示：直线经过点，，求证：． 证明：∵ ∴，（ ① ） ∵（ ② ） ∴（ ③ ） (2)如图2所示，，求证：． (3)由（1）和（2），你能得出什么结论？_________________． 【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②平角定义；③等量代换； (2)证明见解析； (3)三角形内角和等于． 【分析】本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握并灵活运用平行线的性质是本题的关键． （1）根据平行线的性质结合平角定义解答即可； （2）根据平行线的性质结合平角定义解答即可； （3）能得出结论：三角形内角和等于． 【详解】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∵（平角定义）， ∴（等量代换）； 故答案为：已知；两直线平行，内错角相等；平角定义；等量代换； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴； （3）解：由（1）和（2），你能得出结论：三角形内角和等于． 故答案为：三角形内角和等于． 【变式3】数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明． (1)如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明； (2)如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明； (3)如图③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明； （1）如图，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为． （2）根据平行线的性质，将三个内角转化为，根据平角的定义，即可求得证； （3）作的延长线，过点作射线 ．根据平行线的性质得出＝，＝，进而根据平角的定义，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，过点A作，    则，．(两直线平行，内错角相等） ∵点，，在同一条直线上， ∴．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， （3）证明：作的延长线，过点作射线 ． ＝，＝ ＋＋＝ ＋＋＝ 题型2. 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ， 故选： B． 【例2】如图，直线，若，，则∠B的度数为________． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线和三角形内角和；解题的关键是熟练掌握平行线和对顶角的性质，从而完成求解． 根据平行线的性质得，再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】 ， ， ，， ， 故答案为：． 【变式1】如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线,三角形的内角和定理等知识点，由垂直的定义得，可得，由平行线的性质推出，熟练掌握平行线的性质，垂线,三角形的内角和的综合应用是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 【变式2】如图，直线，，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】先利用平行线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 【变式4】如图，在四边形中，，，，求证：．      【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理以及平行线的判定与性质，先由三角形内角和定理证明，由平行线的性质得，等量代换可得，即可证明． 【详解】证明：在和中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 题型3. 与角平分线有关的三角形内角和问题 【例1】如图中，，的平分线相交于点，，的度数是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于．先根据三角形的内角和求出的度数，再根据角平分线的定义得出，，进而求出的度数，最后再根据三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：， ， 、分别是平分、， ，， ， ． 故选：C． 【例2】如图，的和的角平分线和相交于点O，，则____度． 【答案】120 【分析】本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理．根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵和的角平分线和相交于点O， ∴， ∴， ∴． 故答案为：120 【变式1】如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．利用三角形内角和以及角平分线的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 两锐角的角平分线、交于点F， ，， ， ， 故选：A． 【变式2】如图，在中，，平分，若，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了与高和角平分线有关的三角形内角和的运算，先算出，通过角的运算，得出，结合三角形的内角和180度进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则 故答案为：。 【变式3】如图，在中，是的平分线，，垂足为，，求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，垂直得到的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴，， ∴． 【变式4】如图，在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）先由三角形内角和定理求出的度数，进而由角平分线的定义求出的度数，则可利用三角形内角和定理求出的度数； （2）同（1）求解过程即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 题型4. 三角形中的折叠问题 【例1】如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，先求出，再利用翻折变换的性质求出，再根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 沿向内折叠得到， ，，， 在中，， ， ， ， 故选：C． 【例2】如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点，均落于边上一点处，线段，为折痕．若，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，图形的折叠问题，平角的定义等知识点，根据三角形的内角和定理可得，再由折叠的性质可得,,从而得到,进而即可得解，熟练掌握三角形的内角和定理，图形的折叠的性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：, ， 由折叠的性质得：, , ， 故答案为：． 【变式1】如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴． 在中，，， ∴． 故选：． 【变式2】如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可得：，，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，在中，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，当时，______．    【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质．分当在上方，时，当在下方，时，两种情况，先利用平行线的性质得到，再由折叠的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，当在上方，时，    ∴， 由翻折可知：； 如图，当在下方，时，    ∴， ∴ 由翻折可知：． 故答案为：或． 【变式4】（1）如图1，若；则_______； （2）把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为为． ①如图2，与的数量关系是_______； ②如图3，与的数量关系是_______； （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中_______． 【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【分析】本题考查了翻着变换（折叠问题），以及三角形内角和定理．根据题意给出的条件，折叠角相等以及三角形内角相加为等知识即可推导出答案． 【详解】解：（1）∵，∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①题图2中，由折叠得， ∵ ∴， ， 故答案为：． ②题图3中，∵， ∴，由折叠得， ∴， ∴． 故答案为：． （3）由（2）知， 同理得，， ∴ ． 故答案为：． 题型5. 三角形内角和定理的应用 【例1】如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据题意得，，再根据三角形内角和定理求即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴． 故选：C． 【例2】如图，是，，三个便民核酸采样点和小亮家（点）的平面图，已知，，三点在同一条东西方向的路段上，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且点到，两点的距离相等，试求出从小亮家（点）观测检测点，两处的视角的度数． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是方向角、三角形的内角和定理，解题关键是正确理解方位角的定义． 根据在的北偏东方向，在的北偏西方向，得，，根据推得，再根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：由题意可知： ，，，， ，，， ， 在中，， ． 【变式1】三角形三个内角度数的比是，这是个（   ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形形状的判断，比的应用，先根据三角形内角和定理求出三角形的最大角的度数，然后判断三角形的形状即可． 【详解】解：∵三角形三个内角度数的比是， ∴三角形最大的内角度数为：， ∴这是个钝角三角形， 故选：C． 【变式2】如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若，，，则的度数为___________． 【答案】/85度 【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，根据平行线的性质可得，利用三角形内角和定理得出的度数，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式3】阅读下列材料并解答问题：在三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“倍角三角形”．例如：某三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“倍角三角形”．反之，若某三角形是“倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)在中，，判断是否是“倍角三角形”，并说明理由； (2)若某“倍角三角形”有一个角为，求这个“倍角三角形”的最小内角的度数； (3)如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，且．若是“倍角三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)是“倍角三角形”，理由见解析 (2) (3)的度数为或 【分析】本题是三角形综合题，主要考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定及性质，弄清定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）分别求出的三个内角，再由定义进行判断即可； （2）设最小内角为，另一个内角为，分两种情况讨论：当时，（不符合题意，舍去）；当时，； （3）证明，再分两种情况讨论：当时，；当时，． 【详解】（1）解：是“倍角三角形”， 理由如下： 在中，， ∴， ∴，即， ∴是“倍角三角形”； （2）解：设最小内角为，另一个内角为， 当时，， ∴（不符合题意，舍去）； 当时，则， 解得； 综上所述：最小内角为的度数为； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“倍角三角形”， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述：的度数为或． 【变式4】如图1，在一场台球比赛中，母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球．（桌角，球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，即，）    (1)求证：． (2)如图2，在简易球台上，母球撞击球，球以角击出后，在桌子边缘回弹若干次后，进入球袋，问球会进入哪个球袋（，，，四个角各有一个球袋）？并在图2中画出球经过的路径． 【答案】(1)证明见解析 (2)球袋，见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行性的判定等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的内角和定理可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证； （2）结合网格特点，根据球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等画图即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵桌角， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵球每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等， ∴画出球经过的路径如下：    所以球会进入球袋． 题型6. 直角三角形的两个锐角互余 【例1】如图，，是的中点，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余， 先根据角平分线的定义求出，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴． 在中，， ∴． 故选：B． 【例2】把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由三角形内角和定理可求，再由平行线的性质可求，进而可求． 【详解】解：如图所示， 根据直角三角形的性质，得， 直尺的对边平行， ， ， ， 故答案为：． 【例3】如图，平分，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能求出的度数是解此题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，求出，再求出答案即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【变式1】在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ②∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故本小题不符合题意； ④∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ⑤∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个． 故选：B． 【变式2】如图，是的角平分线，，垂足为D，，则__________． 【答案】/58度 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上性质． 根据垂直得出直角三角形，利用直角三角形的两个锐角互余得到角的度数关系，然后利用三角形的内角和定理得出，求出，然后利用角平分线的定义和直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【变式3】如图，是的高，点E、F在、上，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查平行线性质及判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先利用三角形内角和定理求出，继而利用平行线性质得出本题结论； （2）证明出，然后得到，即可得到本题结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型7. 三角形外角的定义及性质 【例1】如图所示，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的外角的性质解题即可． 【详解】解：∵， ∴． 【例2】如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【例3】如图，在中，是的角平分线，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质即可得出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 是的角平分线， ， ． 【变式1】已知直线，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由得结合三角形外角即可解答． 【详解】解：如图： ∵，，， ∴， ∴， 故选D． 【变式2】一副三角尺，如图所示叠放在一起，则图中的度数是___________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，三角板中的角度计算，根据三角尺可知，，由三角形外角的定义可知，进而可求出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：根据三角尺可知：，， 由三角形外角的定义可知：， 即 ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】已知． (1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据内错角相等两直线平行可求解； （2）延长线段交于点H，由平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，延长线段交于点H， ， ． ， ． ， ， ． 【变式4】如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，，，的周长为22，则的周长为_____． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形中线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得的度数，再由三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义可得，则可由三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为的中线， ∴， ∵的周长为22， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长． 巩固练习 1．（2026·广东深圳·二模）如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形中，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作射线，根据三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，作射线， ∵，，而， ∴ ． 2．（25-26七年级下·四川成都·期中）在中，，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】根据三个内角的比例设未知数，利用三角形内角和为180°求出最大角的度数，进而判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，， ∴设， ， ∵三角形内角和为 ∴ 解得 ∴ ∴是直角三角形． 3．（2026·江苏扬州·一模）如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得：，则，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·福建泉州·二模）如图，中，借助直角三角板作边上的高，将三角板按如图所示摆放，其中点A，B，E在同一直线上，点E，C，D在同一直线上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的外角进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 5．（2026·四川南充·一模）将一副三角板如图摆放，，，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角板的性质得出，，利用角的和差关系计算，进而求出； 【详解】解：在中，，， ， ， ， 在中，， ． 6．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，得到，求出，以及，再根据即可得到答案． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 7．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在四边形中，，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设相交于点G，证明，得到，求出，则，根据三角形内角和求出，根据 进行解答即可． 【详解】解：如图，设相交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 8．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①：②；③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用余角性质可得，即可判定①；由角平分线的定义得，由三角形外角性质得，，进而可得，即可判定②；由角平分线的定义和三角形外角性质得，进而可得，即可判定③，综上即可求解． 【详解】解：①∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上，结论正确的有个． 9．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，点是延长线上一点，若，，则__________． 【答案】/100度 【详解】解：∵，， ∴． 10．（25-26八年级下·福建厦门·期中）五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中．如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（，，，，）的度数必须相等．设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为__________． 【答案】 /36度 【分析】设，利用三角形外角的性质将转化到与所在的三角形中，构建关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设， 设与的交点为F，与的交点为G，如图所示， 则，， 在中，由三角形内角和定理得， 即，解得， 那么这个角的度数应为． 11．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，平分交于点，若，，则的度数是_________． 【答案】 【分析】先根据外角性质得出的度数，再结合角平分线定义得出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：是的外角， ， 即， 平分， ， 中，． 12．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，与、分别交于点、，则______ 【答案】 180 【分析】根据三角形外角的性质可得，再根据平角的定义和三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：∵和分别是和的外角， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点D、E分别为、边上的点，平分，平分，、相交于点O，若，则______． 【答案】/125度 【分析】首先由三角形内角和定理求出，然后结合角平分线求出，然后证明，即可得到． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 14．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，，点、分别是直线、上的两点，在、处分别存在两个反射镜面和：现有一个激光发射装置位于直线上的点处，从点发出两束激光分别经、反射后交于点，已知入射角，则___．（光的反射定律：反射角等于入射角，即，） 【答案】 【分析】根据光的反射定律得出，从而求出的度数，利用平行线的性质得出，设，在中利用三角形外角的性质表示出，再利用三角形外角的性质表示出，最后求和即可． 【详解】 解：不妨设交于点，如图所示： ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 又， ， ． 15．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)如图，点E是线段上一点，若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质证明即可； （2）根据得到，结合三角形的外角的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 16．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和即可解答； （2）根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴； （2）解：在中，由三角形外角的性质得． 17．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，已知中，，，将沿射线方向平移后，得到，连接． (1)若，求的长度； (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移，可知，根据全等三角形的性质对应边相等，可得出答案； （2）根据平移，可得，那么，结合角平分线，可得，最后结合三角形内角和定理，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵将沿射线方向平移后，得到， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵将沿射线方向平移后，得到， ∴， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是30，则的面积为___________． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）由为的高，可得，再由可得，再由平分，可以求出，最后由是三角形的外角便可求出； （2）由中线的性质可得，再根据可得，进一步可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：是的高， ， ， ， 平分， ， 是外角， ． （2）解：是的中线， ， ， ， ， ， ． 19．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，，是的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由高的定义得到，然后利用三角形内角和定理求解； （2）首先求出，然后由角平分线求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】（1）解：∵是的高 ∴，即 ∵ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∵，即 ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $