第2讲与三角形有关的线段（知识点+题型精讲）2026年人教版八年级数学上册暑假预习讲义

第2讲 与三角形有关的线段 目录 知识点1 三角形三边关系（必考核心） 2 知识点2 三角形的稳定性 2 知识点3 三角形的中线与重心 2 知识点4 三角形的角平分线 3 知识点5 三角形的高 3 题型1 构成三角形的条件 4 题型2 确定第三边的取值范围 4 题型3 三角形三边关系的应用 5 题型4 三角形的稳定性及应用 6 题型5 根据三角形的中线求长度 7 题型6 根据三角形的中线求面积 8 题型7 重心的概念 10 题型8 三角形角平分线的定义 11 题型9 画三角形的高 12 题型10 与三角形的高有关的计算问题 14 1. 知识目标：熟练掌握三角形三边关系定理及推论，明确三角形三条重要线段（中线、角平分线、高）的定义、特征与画法；理解三角形重心的概念与核心性质；掌握三角形稳定性的几何特点及实际应用场景，熟记各类线段的基础结论与易错点。 2. 能力目标：能利用三边关系判断三条线段能否组成三角形、精准求解第三边取值范围；熟练运用三角形中线的长度、面积平分性质解题；规范掌握三角形高的画法，能解决各类与高相关的长度、面积计算问题；准确辨析重心、角平分线的概念并灵活应用。 3. 素养目标：建立几何模型思维、数形结合思想与逻辑推理能力，熟练掌握几何作图规范，夯实三角形线段类计算、作图、应用题型基础，为后续全等三角形、三角形综合题型学习铺垫核心能力。 知识点1 三角形三边关系（必考核心） 定理内容：三角形任意两边之和大于第三边； 推论：三角形任意两边之差小于第三边。 最简判定方法：只需判断较短两条线段的和大于最长线段，即可构成三角形，无需三组全部验证。 第三边取值范围万能公式：两边之差 < 第三边 < 两边之和。 知识点2 三角形的稳定性 1. 几何特性：三角形三边固定，形状、大小完全固定，具有稳定性； 2. 对比特性：四边形、五边形等多边形不具有稳定性，容易变形； 3. 实际应用：桥梁支架、屋顶桁架、自行车车架、起重机吊臂等。 知识点3 三角形的中线与重心 1. 中线定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形有三条中线，均在三角形内部。 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 2. 中线核心性质：① 平分对边，将对边分为两条相等线段；② 平分三角形面积，一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 3. 重心定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 4. 重心必考性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍（重心分中线为2:1两段）；重心始终在三角形内部。 知识点4 三角形的角平分线 1. 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 2. 核心特征：三角形三条角平分线均在三角形内部，且交于一点（内心）；角平分线可将对应内角平分为两个相等的角。 3. 区分易错：三角形角平分线是线段，角的平分线是射线，二者不可混淆。 知识点5 三角形的高 1. 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高。 三角形的高的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 2. 位置规律（高频考点）： ① 锐角三角形：三条高全部在三角形内部； ② 直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在三角形内部； ③ 钝角三角形：钝角所对边上的高在内部，另外两条高在三角形外部。 3. 核心公式：三角形面积 ，同一三角形不同底高组合面积相等。 题型1 构成三角形的条件 解题技巧（最简判定秒杀法） 1. 排序：将三条线段长度从小到大排序； 2. 单次验证：只需检验短边+中边 > 长边； 3. 判定结论：满足即可构成三角形，不满足则不能构成； 4. 避坑要点：无需验证三组不等式，节省做题时间，避免计算失误。 秒杀口诀：小加大于大，三边可围它。 【典例1】．下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】．小明有两根长度分别为的木棒，他想钉一个三角形木框架，则第三根木棒的长度可以是___________cm．（只写一个即可） 【变式3】．等腰三角形的两边长为4和9，则该三角形的周长为________． 题型2 确定第三边的取值范围 解题技巧（固定区间公式法） 1. 提取已知两边长度，计算两边之差、两边之和； 2. 直接套万能范围：两边之差 < 第三边 < 两边之和； 3. 整数取值题型：在取值范围内筛选整数，注意端点不可取（无法构成三角形）； 4. 易错提醒：范围左边为差、右边为和，不可写反，无等号。 【典例2】．已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【变式2】．若一个三角形的两边长分别是4和9，则第三条边长x的取值范围是_________． 【变式3】．一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 题型3 三角形三边关系的应用 解题技巧（综合推理应用法） 1. 周长取值问题：先求第三边范围，再结合周长公式求周长取值范围； 2. 等腰三角形分类讨论：已知两边求周长，分“已知边为腰、已知边为底边”两种情况，再用三边关系验证取舍； 3. 化简绝对值题型：利用三边和差关系，判断式子正负，去绝对值化简； 4. 最值问题：固定两边，第三边大于差值、小于和值，确定最值边界。 【典例3】．如图，为估计池塘两岸间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 【变式2】．已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 【变式3】．已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 题型4 三角形的稳定性及应用 解题技巧（特征辨析法） 1. 识图判断：图形含有三角形结构即具备稳定性，纯四边形结构不稳定； 2. 加固原理：在四边形等不稳定图形中，添加对角线构造三角形，实现加固； 3. 实际应用题：直接根据“三角形具有稳定性、四边形易变形”解答原理类问题； 4. 易错区分：区分稳定性应用与对称性、全等性质应用。 【典例4】．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和等于 C．三角形两边的和大于第三边 D．三角形的稳定性 【变式1】．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【变式2】．如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 【变式3】．如图，在松动的板凳上斜钉两根木条即可加固，其中蕴含的数学原理是________． 题型5 根据三角形的中线求长度 解题技巧（中点等分+重心比例法） 1. 基础中线题型：中线平分对边，直接得两条线段长度相等，等量代换求值； 2. 重心题型：牢记重心分中线2:1的比例关系，已知总长求分段、已知分段求总长； 3. 周长计算：利用中线等分线段性质，替换边长，化简三角形周长； 4. 核心要点：所有中线长度计算，依托中点等分、重心比例两大核心结论。 【典例5】．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 【变式3】．如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比的周长多__________． 题型6 根据三角形的中线求面积 解题技巧（中线等积秒杀法） 1. 核心结论：三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； 2. 双中线题型：两条中线可将三角形分为四块面积相等的小区域，逐层推导； 3. 重心面积结论：重心与三顶点连线，将大三角形分成三个面积相等的小三角形； 4. 解题套路：已知大三角形面积可秒求小三角形面积，反向亦可。 【典例6】．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，四边形的面积是，各边的中点分别为，，，，与相交于点，图中阴影部分的总面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，点在上，，点是的中点，连接，若的面积为5，则的面积为_____． 【变式3】．如图，中，点是的中点，点是的中点，连接，．若阴影部分的面积之和是10，则的面积是____________． 题型7 重心的概念 解题技巧（概念锁定+性质辨析法） 1. 精准定义：三角形三条中线的交点，唯一交点，恒在三角形内部； 2. 三心区分：重心（中线交点）、内心（角平分线交点）、外心（垂直平分线交点），杜绝混淆； 3. 核心性质：分中线为2:1、三等分面积，是重心专属考点； 4. 概念判断题：只有中线交点为重心，其余线段交点均不是。 【典例7】．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【变式1】．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 【变式3】．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 题型8 三角形角平分线的定义 解题技巧（定义辨析+等角代换法） 1. 概念区分：三角形角平分线是线段，区别于无限延伸的射线型角平分线； 2. 核心功能：将三角形内角平分为两个完全相等的角，直接等量代换角度； 3. 识图判定：顶点出发、交对边、平分内角，三条件满足即为三角形角平分线； 4. 基础计算：结合三角形内角和，求解平分后角度大小。 【典例8】．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【变式1】．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【变式3】．如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 题型9 画三角形的高 解题技巧（分类型标准作图法） 1. 作图核心：过顶点向对边所在直线作垂线，顶点到垂足的线段即为高； 2. 锐角三角形：三条高全部向内部作，垂足均在对边上； 3. 直角三角形：直角边互为高，只需作斜边上的高； 4. 钝角三角形：钝角对边高作内部，另外两条高需延长对边，向外部作垂线； 5. 得分要点：标注垂直直角符号、保留作图痕迹，高为线段，不可画成射线直线。 【典例9】．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【变式1】．如图，在中，，则边上的高是___________． 【变式2】．图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 【变式3】．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（小正方形的顶点）上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点作线段且； (4)线段，则点到直线的距离为___________个单位长度． 题型10 与三角形的高有关的计算问题 解题技巧（等面积法万能通解） 1. 核心思想：同一个三角形面积恒定，不同底、不同高组合面积相等； 2. 公式列等式：，化简得底和高成反比； 3. 边长、高互求：已知一组底高和另一组底（高），快速求未知高（底）； 4. 综合计算：结合直角三角形、钝角三角形高的位置特征，求解线段长度与面积； 5. 压轴基础：等面积法是三角形求高、求边长的万能方法，通用所有题型。 【典例10】．如图，直角三角形的直角边，，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，交于点E，，三角形的面积是，下列结论：①三角形平移的距离是6；②；③；④四边形的面积为16．其中正确的结论是（     ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【变式1】．如图，，与交于点，，，，则的长是______． 【变式2】．如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【变式3】．阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 1．若长度分别为3，6，m的三条线段能组成一个三角形，则m的值可以是（     ） A．2 B．3 C．6 D．10 2．已知三角形三边长为、、，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 4．如图是厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 5．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．已知，如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．如图，，，分别是的中线、角平分线和高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，是的高，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 10．如图，对面积为1的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长，，至点，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为；……按此规律继续下去，可得到，则其面积为（   ） A． B． C． D． 11．如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________．    12．若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 13．如图，在三角形中，，三角形的面积为16，则点到直线的距离为________． 14．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______． 15．如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 16．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 17．已知，，满足． (1)求，，的值； (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 18．如图，已知的三边长分别为，将沿方向平移至的位置，与交于点． (1)若，则的度数为_____； (2)直接写出化简结果：_____； (3)若分别是的中点，，连接，求四边形的面积． 19．若三个正整数，，恰好能够构成一个三角形的三条边，则称这三个正整数，，构成“和雅三数组”，构成的三角形叫做“和雅三角形”． (1)下列各组数中，能构成“和雅三角形”的是（    ） A．       B．2，5，8        C．3，3，6        D．2，3，4 (2)已知，，构成“和雅三数组”，且满足，试求构成“和雅三角形”的周长； (3)已知关于的不等式组的所有整数解中存在“和雅三数组”，且它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，试求的取值范围． 20．发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案： (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：____________（填、或）； (2)如图3，点是的重心，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理．猜想、之间的数量关系为？请说明理由； (3)如图3，点为的重心，被三条中线分成六个小三角形，则___________； (4)如图4，点、在的边、上，、交于，是的重心，，直接写出四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 与三角形有关的线段 目录 知识点1 三角形三边关系（必考核心） 2 知识点2 三角形的稳定性 2 知识点3 三角形的中线与重心 2 知识点4 三角形的角平分线 3 知识点5 三角形的高 3 题型1 构成三角形的条件 4 题型2 确定第三边的取值范围 5 题型3 三角形三边关系的应用 7 题型4 三角形的稳定性及应用 9 题型5 根据三角形的中线求长度 11 题型6 根据三角形的中线求面积 14 题型7 重心的概念 17 题型8 三角形角平分线的定义 20 题型9 画三角形的高 23 题型10 与三角形的高有关的计算问题 26 1. 知识目标：熟练掌握三角形三边关系定理及推论，明确三角形三条重要线段（中线、角平分线、高）的定义、特征与画法；理解三角形重心的概念与核心性质；掌握三角形稳定性的几何特点及实际应用场景，熟记各类线段的基础结论与易错点。 2. 能力目标：能利用三边关系判断三条线段能否组成三角形、精准求解第三边取值范围；熟练运用三角形中线的长度、面积平分性质解题；规范掌握三角形高的画法，能解决各类与高相关的长度、面积计算问题；准确辨析重心、角平分线的概念并灵活应用。 3. 素养目标：建立几何模型思维、数形结合思想与逻辑推理能力，熟练掌握几何作图规范，夯实三角形线段类计算、作图、应用题型基础，为后续全等三角形、三角形综合题型学习铺垫核心能力。 知识点1 三角形三边关系（必考核心） 定理内容：三角形任意两边之和大于第三边； 推论：三角形任意两边之差小于第三边。 最简判定方法：只需判断较短两条线段的和大于最长线段，即可构成三角形，无需三组全部验证。 第三边取值范围万能公式：两边之差 < 第三边 < 两边之和。 知识点2 三角形的稳定性 1. 几何特性：三角形三边固定，形状、大小完全固定，具有稳定性； 2. 对比特性：四边形、五边形等多边形不具有稳定性，容易变形； 3. 实际应用：桥梁支架、屋顶桁架、自行车车架、起重机吊臂等。 知识点3 三角形的中线与重心 1. 中线定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形有三条中线，均在三角形内部。 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 2. 中线核心性质：① 平分对边，将对边分为两条相等线段；② 平分三角形面积，一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 3. 重心定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 4. 重心必考性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍（重心分中线为2:1两段）；重心始终在三角形内部。 知识点4 三角形的角平分线 1. 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 2. 核心特征：三角形三条角平分线均在三角形内部，且交于一点（内心）；角平分线可将对应内角平分为两个相等的角。 3. 区分易错：三角形角平分线是线段，角的平分线是射线，二者不可混淆。 知识点5 三角形的高 1. 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高。 三角形的高的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 2. 位置规律（高频考点）： ① 锐角三角形：三条高全部在三角形内部； ② 直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在三角形内部； ③ 钝角三角形：钝角所对边上的高在内部，另外两条高在三角形外部。 3. 核心公式：三角形面积 ，同一三角形不同底高组合面积相等。 题型1 构成三角形的条件 解题技巧（最简判定秒杀法） 1. 排序：将三条线段长度从小到大排序； 2. 单次验证：只需检验短边+中边 > 长边； 3. 判定结论：满足即可构成三角形，不满足则不能构成； 4. 避坑要点：无需验证三组不等式，节省做题时间，避免计算失误。 秒杀口诀：小加大于大，三边可围它。 【典例1】．下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，判断能否组成三角形，只需验证两条较短线段的长度和是否大于最长线段的长度，满足条件即可组成三角形，反之不能． 【详解】解：A、， 不能组成三角形，不符合题意； B、， 能组成三角形，符合题意； C、， 不能组成三角形，不符合题意； D、， 不能组成三角形，不符合题意． 【变式1】．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】选取每组中较短的两条线段求和，与最长线段比较，判断能否组成三角形. 【详解】解：A.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； B.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； C.∵，∴能组成三角形，故符合题意； D.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意. 【变式2】．小明有两根长度分别为的木棒，他想钉一个三角形木框架，则第三根木棒的长度可以是___________cm．（只写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求出第三根木棒长度的取值范围，选取范围内任意一个值即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形三边关系可得：， 计算得， 在范围内选取，符合要求．（答案不唯一，满足即可） 【变式3】．等腰三角形的两边长为4和9，则该三角形的周长为________． 【答案】22 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，解题时需分情况讨论腰长，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合的情况后即可计算得到周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长为和，分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形三边长为，因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，因此舍去该情况； 当腰长为时，三角形三边长为，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时三角形周长为． 题型2 确定第三边的取值范围 解题技巧（固定区间公式法） 1. 提取已知两边长度，计算两边之差、两边之和； 2. 直接套万能范围：两边之差 < 第三边 < 两边之和； 3. 整数取值题型：在取值范围内筛选整数，注意端点不可取（无法构成三角形）； 4. 易错提醒：范围左边为差、右边为和，不可写反，无等号。 【典例2】．已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再判断选项即可得到结果． 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 即， 四个选项中只有在该范围内，因此第三边长可以是． 【变式1】．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 【变式2】．若一个三角形的两边长分别是4和9，则第三条边长x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：此三角形的两边长分别为和， 第三边长的取值范围是， 即． 【变式3】．一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵三角形任意一边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和，已知三角形三边长为，，， ∴， 解得. 题型3 三角形三边关系的应用 解题技巧（综合推理应用法） 1. 周长取值问题：先求第三边范围，再结合周长公式求周长取值范围； 2. 等腰三角形分类讨论：已知两边求周长，分“已知边为腰、已知边为底边”两种情况，再用三边关系验证取舍； 3. 化简绝对值题型：利用三边和差关系，判断式子正负，去绝对值化简； 4. 最值问题：固定两边，第三边大于差值、小于和值，确定最值边界。 【典例3】．如图，为估计池塘两岸间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”求解． 【详解】解：由题意知，点组成为角形， ∴， ∵， ∴， 只有不在范围内． 【变式1】．若，，是的三边，化简：（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形三边关系确定绝对值内式子的符号，再去绝对值号化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵是的三边， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴原式 ． 【变式2】．已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系得到第三边的取值范围，再结合第三边为奇数的条件确定第三边的长度． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 可得 ， 即 ， ∵ 为奇数， ∴ ． 【变式3】．已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，找出范围内符合条件的正整数，统计其个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，，， ，即， 为正整数， 可以为、、、、，共个． 题型4 三角形的稳定性及应用 解题技巧（特征辨析法） 1. 识图判断：图形含有三角形结构即具备稳定性，纯四边形结构不稳定； 2. 加固原理：在四边形等不稳定图形中，添加对角线构造三角形，实现加固； 3. 实际应用题：直接根据“三角形具有稳定性、四边形易变形”解答原理类问题； 4. 易错区分：区分稳定性应用与对称性、全等性质应用。 【典例4】．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和等于 C．三角形两边的和大于第三边 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性，将四边形结构转化为三角形结构即可防止变形，判断即可． 【详解】解：门框原本是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形．钉上斜拉的木条后，门框的结构中被分割出了三角形． ∵三角形具有稳定性， ∴这样做的根据是三角形的稳定性． 【变式1】．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性． 【变式2】．如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：当汽车前机盖打开时，支撑杆、车身与机盖之间形成了一个三角形，这是利用了三角形的稳定性． 【变式3】．如图，在松动的板凳上斜钉两根木条即可加固，其中蕴含的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：由图可知，斜钉两根木条后，木条与板凳腿构成了三角形，而三角形具有稳定性， 斜钉两根木条即可加固，所以其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 题型5 根据三角形的中线求长度 解题技巧（中点等分+重心比例法） 1. 基础中线题型：中线平分对边，直接得两条线段长度相等，等量代换求值； 2. 重心题型：牢记重心分中线2:1的比例关系，已知总长求分段、已知分段求总长； 3. 周长计算：利用中线等分线段性质，替换边长，化简三角形周长； 4. 核心要点：所有中线长度计算，依托中点等分、重心比例两大核心结论。 【典例5】．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中线的定义解题． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 【变式1】．如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到与的周长之差为，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴与的周长之差为 ； ∵，， ∴周长之差为. 【变式2】．如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 【答案】 5 12 【分析】（1）先得出，再根据三角形的周长公式可得，与联立求解即可； （2）根据三角形的中线性质即可得； （3）过点作于点，先求出的面积为，再根据垂线段最短求出的最大值即可． 【详解】解：（1）∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大4， ∴， ∴，即， ∵， ∴联立， 解得． （2）∵在中，为边上的中线，且的面积为17， ∴． （3）如图，过点作于点， ∵， ∴的面积为， ∴要使得的面积最大，则需的值最大， 由垂线段最短可知，（当且仅当点重合时，等号成立）， ∵， ∴， ∴的最大值为4， ∴的面积的最大值为． 【变式3】．如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比的周长多__________． 【答案】2 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长的差就是与的差． 【详解】解：∵是中边上的中线， ∴， ∴ ． 题型6 根据三角形的中线求面积 解题技巧（中线等积秒杀法） 1. 核心结论：三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； 2. 双中线题型：两条中线可将三角形分为四块面积相等的小区域，逐层推导； 3. 重心面积结论：重心与三顶点连线，将大三角形分成三个面积相等的小三角形； 4. 解题套路：已知大三角形面积可秒求小三角形面积，反向亦可。 【典例6】．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是中边上的中线，的面积为， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴． 【变式1】．如图，四边形的面积是，各边的中点分别为，，，，与相交于点，图中阴影部分的总面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接， ， ， ， 根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ∵各边中点分别为，，，， ∴，，，， ∴， ， ， ， ∴ ， ∵， ∴． 【变式2】．如图，在中，点在上，，点是的中点，连接，若的面积为5，则的面积为_____． 【答案】30 【分析】利用三角形的中线平分面积，以及等高三角形的面积比等于底边之比进行求解是解题的关键． 【详解】解：点是的中点， ， ， ， ， ， 与的高相等， ∴（等高三角形的面积比等于底边的比） ． 【变式3】．如图，中，点是的中点，点是的中点，连接，．若阴影部分的面积之和是10，则的面积是____________． 【答案】20 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识，建立阴影部分面积与总面积的数量关系即可． 【详解】解：点是的中点， ， 点是的中点， 在中，， 在中，， ， 阴影部分的面积之和是10， ， ． 题型7 重心的概念 解题技巧（概念锁定+性质辨析法） 1. 精准定义：三角形三条中线的交点，唯一交点，恒在三角形内部； 2. 三心区分：重心（中线交点）、内心（角平分线交点）、外心（垂直平分线交点），杜绝混淆； 3. 核心性质：分中线为2:1、三等分面积，是重心专属考点； 4. 概念判断题：只有中线交点为重心，其余线段交点均不是。 【典例7】．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【详解】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 【变式1】．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 【变式2】．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 根据网格结构判断出点D是边的中点，从而确定是的中线，进而得出重心的位置． 【详解】解：由图可知，点在边上，且点到点、点的水平距离均为2个单位长度，垂直距离均为1个单位长度， ，即点是边的中点， 是的中线， 三角形三条中线的交点是三角形的重心， 的重心在线段上． 【变式3】．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【分析】根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 题型8 三角形角平分线的定义 解题技巧（定义辨析+等角代换法） 1. 概念区分：三角形角平分线是线段，区别于无限延伸的射线型角平分线； 2. 核心功能：将三角形内角平分为两个完全相等的角，直接等量代换角度； 3. 识图判定：顶点出发、交对边、平分内角，三条件满足即为三角形角平分线； 4. 基础计算：结合三角形内角和，求解平分后角度大小。 【典例8】．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 【变式1】．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 【变式2】．如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】．如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 【答案】 【分析】先分别过点、作直线，，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想即可解答． 【详解】解：如图，分别过点、作直线，， ． ， ， ， ． 平分，平分， ，， 同理可得，， 以此类推，，，，． 题型9 画三角形的高 解题技巧（分类型标准作图法） 1. 作图核心：过顶点向对边所在直线作垂线，顶点到垂足的线段即为高； 2. 锐角三角形：三条高全部向内部作，垂足均在对边上； 3. 直角三角形：直角边互为高，只需作斜边上的高； 4. 钝角三角形：钝角对边高作内部，另外两条高需延长对边，向外部作垂线； 5. 得分要点：标注垂直直角符号、保留作图痕迹，高为线段，不可画成射线直线。 【典例9】．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 【变式1】．如图，在中，，则边上的高是___________． 【答案】 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边对应的高，即可解答． 【详解】 解：已知中，可得， 顶点到边的垂线就是线段， 因此边上的高是． 【变式2】．图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． 【分析】（1）根据网格特征，找出中点，连接即可； （2）根据网格特征，在上找出格点，连接，使即可； 【详解】（1）解：略 （2）解：略 【变式3】．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（小正方形的顶点）上，请利用格点解决下列问题： (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)过点作线段且； (4)线段，则点到直线的距离为___________个单位长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）借助网格作高即可； （2）取的中点E，连接即可； （3）取格点F，利用平移的性质连接即可； （4）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：的边上的高如图所示； （2）解：的边上的中线如图所示； （3）解：如图，线段即为所作； （4）解：的面积， 设点到直线的距离为h，则，即 解得． 题型10 与三角形的高有关的计算问题 解题技巧（等面积法万能通解） 1. 核心思想：同一个三角形面积恒定，不同底、不同高组合面积相等； 2. 公式列等式：，化简得底和高成反比； 3. 边长、高互求：已知一组底高和另一组底（高），快速求未知高（底）； 4. 综合计算：结合直角三角形、钝角三角形高的位置特征，求解线段长度与面积； 5. 压轴基础：等面积法是三角形求高、求边长的万能方法，通用所有题型。 【典例10】．如图，直角三角形的直角边，，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，交于点E，，三角形的面积是，下列结论：①三角形平移的距离是6；②；③；④四边形的面积为16．其中正确的结论是（     ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】直接利用平移的性质，结合三角形及梯形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意，直角三角形的直角边，，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，， ∴三角形的平移距离是4，故①错误； 根据平移得：， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 由平移的性质可得，故③正确； 根据题意得：，，， ，故④错误； 综上可得：正确的结论为②③． 【变式1】．如图，，与交于点，，，，则的长是______． 【答案】 【分析】以为底、为高表示面积，再以为底、为高表示面积，根据同一个三角形面积相等建立等式，代入已知线段长度，求出的长． 【详解】解：，即， 以为底时，的高为， ， ，即， 以为底时，的高为， ， ∴， ∴， 把，，代入得： ． 【变式2】．如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 【变式3】．阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 【答案】(1)15； (2)． 证明：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴． (3)5 【分析】（1）根据点是边上的中点，可得，再代入已知数据求解即可； （2）过点A作于点E，根据推出，再通过面积公式求证即可； （3）根据是的中线，可得，再利用三角形面积公式，代入已知数据求解的长度． 【详解】（1）解：∵点是边上的中点， ∴． （2）略 （3）解：∵是的中线， ∴， ∵是的高线， ∴， 又∵， ∴． 1．若长度分别为3，6，m的三条线段能组成一个三角形，则m的值可以是（     ） A．2 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 即， 选项中只有6满足， 2．已知三角形三边长为、、，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断三边大小，根据三角形任意两边之和大于第三边列出不等式，只需较短两边之和大于最长边，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形三边长为、、，且，最长边为， ∴， 解得：． 3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 【答案】D 【分析】先根据三边关系确定第三边的取值范围，再分情况讨论符合“倍长”定义的边长，舍去不能构成三角形的情况即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三条边的长为， 根据三角形三边关系，得， ， 若第三条边是已知边的2倍： 当，满足，符合题意； 当，，不满足三边关系，舍去； 若已知边中有一条是第三条边的2倍： 当，得，不满足，不能构成三角形，舍去； 当，得，满足，符合题意； 综上，第三条边的长为或． 4．如图是厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【详解】解：厂房建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性． 5．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 6．已知，如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴． 7．如图，，，分别是的中线、角平分线和高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线和高线，掌握相关定义及结论即可求解； 【详解】解：∵是的中线， ∴，不是，故A错误； ∵是的角平分线， ∴，故D正确； ∵是的高线， ∴，不是，故C错误； 无法推出，故B错误； 故选：D 8．如图，是的高，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，涉及了三角形的高线和角平分线． 求出，进而得，结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴， ∴的边上的高为， ∴． 故选：D ． 10．如图，对面积为1的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长，，至点，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为；……按此规律继续下去，可得到，则其面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解题关键． 根据等高的三角形推出，，推出，可得，依此类推可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作，交延长线于点， ，， ，， ，， ，， ， ， 同理可得：， ， 同理可得， 依此类推：． 故选：A． 11．如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________．    【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：这种设计应用了一个重要的数学原理是三角形具有稳定性． 12．若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系可得，再去绝对值 ，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴ ． 13．如图，在三角形中，，三角形的面积为16，则点到直线的距离为________． 【答案】 8 【分析】根据三角形面积公式，面积等于底与高乘积的一半，已知面积和底边长，可求出边上的高． 【详解】 解：设点到直线的距离为， ∵， ∴， 解得，故点到直线的距离为8． 14．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______． 【答案】①③④ 【分析】利用三角形面积公式计算，即可判断①正确；根据的值不确定，即可判断②错误；根据同角的余角相等即可判断③正确；由垂线段最短，并结合三角形面积公式计算即可判断④正确． 【详解】解：∵在中，，为边上的高，， ∴，故①正确，符合题意； ∵P为上一动点， ∴的值不确定， ∴不一定与相等，故②错误，不符合题意； 当时，， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 由垂线段最短得，当时，的值最小，此时， ∴， ∴的最小值为，故④正确； 综上所述，正确结论的序号是①③④． 15．如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 【答案】10 【分析】连接，设、，根据四边形的面积得到，利用和等高求出，同理求出和利用的面积列出方程，求出的面积，从而求出边上的高即可． 【详解】解：连接， 、， ， 解得：， ， ， ， 设、， 四边形的面积为7， ，即， 、和等高， ， ， 和同高、， ， ， ， 和同高、， ， 和同高、， ， ， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， 中边上的高为：． 16．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，得；，得；，得， ∴原式 ． 17．已知，，满足． (1)求，，的值； (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能构成三角形，周长为 【详解】（1）由题意得，，，， 解得，，； （2）， 以、、为边能构成三角形， 周长． 18．如图，已知的三边长分别为，将沿方向平移至的位置，与交于点． (1)若，则的度数为_____； (2)直接写出化简结果：_____； (3)若分别是的中点，，连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质即可解答； （2）利用三角形三边关系即可解答； （3）根据平移可得四边形的面积等于梯形的面积． 【详解】（1）解：根据平移可得， ； （2）解：根据三角形三边关系可得，， ， ； （3）解：根据平移可得，，， ，即， 分别是的中点， ， ． 19．若三个正整数，，恰好能够构成一个三角形的三条边，则称这三个正整数，，构成“和雅三数组”，构成的三角形叫做“和雅三角形”． (1)下列各组数中，能构成“和雅三角形”的是（    ） A．       B．2，5，8        C．3，3，6        D．2，3，4 (2)已知，，构成“和雅三数组”，且满足，试求构成“和雅三角形”的周长； (3)已知关于的不等式组的所有整数解中存在“和雅三数组”，且它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，试求的取值范围． 【答案】(1)D (2)22 (3) 【分析】（1）根据定义，计算判断即可； （2）用z表示，，根据三角形三边关系构造不等式组，求得解集，结合定义，求得正整数解即可； （3）根据定义，不等式组的整数解，三角形三边关系求解即可． 【详解】（1）解：A．中，三个数都不是正整数，不符合要求；   B．2，5，8中，三个数都是正整数，但是，构不成三角形，不符合要求； C．3，3，6中，三个数都是正整数，但是，构不成三角形，不符合要求；       D．2，3，4中，三个数都是正整数，且，构成三角形，符合要求； （2）解： 得，， 得，，即， ∴， 解得 ∵，，构成“和雅三角形”， ∴， ∴， 解得， 又，为正整数， ∴正整数， ∴， ∴， ∴“和雅三角形”的周长为22； （3）解： 由①解得， 由②解得，， ∴， ∵所有整数解中存在“和雅三数组”， ∴不等式组的整数解中必包含5，6，7 ∴， ∴ ∵它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，又， ∴不等式组的最大整数解必小于11， ∴ ∴ ∴的取值范围为． 20．发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案： (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：____________（填、或）； (2)如图3，点是的重心，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理．猜想、之间的数量关系为？请说明理由； (3)如图3，点为的重心，被三条中线分成六个小三角形，则___________； (4)如图4，点、在的边、上，、交于，是的重心，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论； （2）根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可； （3）设，，求出，得到，再由求解即可； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：是的中线，与等底等高， ； （2）解：，理由如下： ∵是的中线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵ ∴ ∴ （4）解：∵G是的重心， ∴由（3）可得， ∵，， ， ∵， ， 由（3）可得， ∵ ∴ ∴由（2）可得， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $