第1讲三角形的概念（知识点+题型精讲）2026年人教版八年级数学上册暑假预习讲义

第1讲 三角形的概念 目录 知识点1 三角形的定义与基本要素 2 知识点2 三角形的两种分类（必考基础） 2 知识点3 等腰三角形核心定义与要素 3 知识点4 三角形的基本特征 3 题型1 三角形的识别与有关概念 3 题型2 三角形的个数问题 4 题型3 三角形的分类 6 题型4 等腰三角形的定义 7 1. 知识目标：精准掌握三角形的严格定义、三大基本要素（顶点、边、内角）及规范表示方法；掌握三角形两种分类标准（按角、按边），明晰各类三角形的特征；熟练掌握等腰三角形的定义、组成要素及特殊性质，区分等腰、等边、不等边三角形的从属关系。 2. 能力目标：能精准识别各类三角形，排除易错干扰图形；掌握复杂图形中数三角形个数的有序计数方法，做到不重不漏；能根据边长、角度条件准确对三角形分类；熟练运用等腰三角形定义进行判断和简单推理。 3. 素养目标：建立几何图形辨识、分类讨论、有序计数的数学思维，夯实初中几何入门基础，培养严谨的识图能力和逻辑辨析能力，为后续三角形三边关系、全等三角形学习铺垫核心基础。 知识点1 三角形的定义与基本要素 严格定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形，叫做三角形。 三大核心要素：1. 顶点：相邻两边的公共端点，一个三角形有3个顶点；2. 边：组成三角形的三条线段；3. 内角：相邻两边组成的角（简称三角形的角），共3个内角。 规范表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作△ABC，读作三角形ABC。 易错要点：三条线段必须满足“不共线、首尾顺次相接、封闭图形”，三点共线无法构成三角形。 知识点2 三角形的两种分类（必考基础） 1. 按内角大小分类 （1）锐角三角形：三个内角都是锐角（均小于90°）； （2）直角三角形：有一个内角是直角（等于90°），可记作Rt△； （3）钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90°小于180°）。 核心结论：任意三角形最多1个直角或1个钝角，至少2个锐角。 2. 按边长关系分类 （1）不等边三角形：三条边长度都不相等； （2）等腰三角形：有两条边相等的三角形； （3）等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形。 从属关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，属于等腰三角形的范畴。 知识点3 等腰三角形核心定义与要素 1. 定义：有且仅有两条边相等或三条边都相等的三角形统称为等腰三角形； 2. 组成要素：相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角； 3. 基础性质：等腰三角形的两个底角相等（后续重点学习，本讲熟记定义即可）； 4. 特殊说明：等边三角形三腰相等，三个底角相等，是最特殊的等腰三角形。 知识点4 三角形的基本特征 1. 稳定性：三角形是具有稳定性的图形，不易变形，是几何核心特性； 2. 封闭性：必须是封闭图形，开口图形、线段交叉图形均不是三角形。 题型1 三角形的识别与有关概念 解题技巧（三条件锁定法） 1. 识别三要素：严格核对三点，三条线段、不共线、首尾顺次封闭相接，缺一不是三角形； 2. 排除易错图形：剔除三点共线、线段交叉、首尾不连接、开口不封闭的干扰图形； 3. 概念辨析要点：区分三角形的边、顶点、内角，不混淆线段、射线、直线构成的图形； 4. 规范书写：识别后统一用△+顶点字母规范表示，杜绝书写错误。 秒杀口诀：三线不共线，首尾紧相连，封闭是三角。 【典例1】．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【变式3】．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【变式4】．（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 题型2 三角形的个数问题 解题技巧（有序枚举不重不漏法） 1. 固定顶点法：选定一个固定顶点，依次搭配底边线段，逐个计数，避免混乱； 2. 分层计数法：先数单个小三角形，再数两个组合的三角形，再数多个组合的大三角形，逐层累加； 3. 线段公式法：若一条底边有n个分点，底边线段总数量即为三角形总个数； 4. 核心禁忌：禁止乱数、跳数、重复数，遵循“从小到大、从左到右”的有序原则； 5. 验算技巧：数完后反向复查，剔除重复、漏数图形，确保计数准确。 【典例2】．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【变式3】．如图所示，图中共有三角形______个． 【变式4】．下图中有_________个三角形． 题型3 三角形的分类 解题技巧（双标准分类辨析法） 1. 按角分类判断：看最大内角，最大角为锐角→锐角三角形，最大角为直角→直角三角形，最大角为钝角→钝角三角形； 2. 按边分类判断：三边全不等→不等边三角形，两边相等→等腰三角形，三边全相等→等边三角形； 3. 双重分类答题：题目未指定分类标准时，需同时按角、按边双重分类作答； 4. 易错规避：牢记等边三角形属于等腰三角形，不可单独并列分类；直角三角形、钝角三角形也可能是等腰三角形。 秒杀口诀：看角找最大，看边比长短，等边归等腰。 【典例3】．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【变式1】．在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【变式2】．如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【变式3】．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【变式4】．在中，的补角为，则是_______三角形． 题型4 等腰三角形的定义 解题技巧（定义判定+要素拆分法） 1. 判定核心：只要三角形有两条及以上边相等，即可判定为等腰三角形； 2. 要素区分：已知边长，快速区分腰、底边、顶角、底角，杜绝概念混淆； 3. 特殊判定：三边相等的等边三角形，满足等腰三角形定义，属于特殊等腰三角形； 4. 基础推理：根据等腰三角形定义，可直接得出两腰相等、两底角相等的基础结论； 5. 易错点：避免认为“等腰三角形只有两条边相等”，忽略等边三角形的特殊属性。 【典例4】．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，已知，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】．已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【变式4】．如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 1．下列说法正确的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．等腰三角形是轴对称图形 C．相等的角是对顶角 D．打开电视机，它正在播广告 2．在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 4．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 5．若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 6．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 7．已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 9．如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 11．从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则__________． 12．如图，，，图中的等腰三角形有__________个． 13．一个等腰三角形的周长是36厘米，一条腰与底边长之比是，这个三角形的底边长是____厘米． 14．（1）图①中直角三角形共有______个； （2）如图②，已知，，则图中共有______个等腰三角形，______个等边三角形． 15．如图，点都在的边上． (1)如图①，当边上只有点时，共有______个三角形． (2)如图②，当边上有点时，共有______个三角形． (3)如图③，当边上有点时，共______有个三角形． 16．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长度． 17．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 18．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 19．如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 20．数轴上从左到右四个点位置如图所示，点，分别表示整数，，点，分别表示数，将数轴沿，折叠，使点，重合于点，构成． (1)当为等腰三角形时， 若，则______； 若，则______； 若，则______（用含的式子表示）． (2)当取一个确定值时，写出符合条件的个数． 21．小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 22．通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：    统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … (1)________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； (2)观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； (3)请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 三角形的概念 目录 知识点1 三角形的定义与基本要素 2 知识点2 三角形的两种分类（必考基础） 2 知识点3 等腰三角形核心定义与要素 3 知识点4 三角形的基本特征 3 题型1 三角形的识别与有关概念 3 题型2 三角形的个数问题 6 题型3 三角形的分类 9 题型4 等腰三角形的定义 11 1. 知识目标：精准掌握三角形的严格定义、三大基本要素（顶点、边、内角）及规范表示方法；掌握三角形两种分类标准（按角、按边），明晰各类三角形的特征；熟练掌握等腰三角形的定义、组成要素及特殊性质，区分等腰、等边、不等边三角形的从属关系。 2. 能力目标：能精准识别各类三角形，排除易错干扰图形；掌握复杂图形中数三角形个数的有序计数方法，做到不重不漏；能根据边长、角度条件准确对三角形分类；熟练运用等腰三角形定义进行判断和简单推理。 3. 素养目标：建立几何图形辨识、分类讨论、有序计数的数学思维，夯实初中几何入门基础，培养严谨的识图能力和逻辑辨析能力，为后续三角形三边关系、全等三角形学习铺垫核心基础。 知识点1 三角形的定义与基本要素 严格定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形，叫做三角形。 三大核心要素：1. 顶点：相邻两边的公共端点，一个三角形有3个顶点；2. 边：组成三角形的三条线段；3. 内角：相邻两边组成的角（简称三角形的角），共3个内角。 规范表示方法：顶点为A、B、C的三角形记作△ABC，读作三角形ABC。 易错要点：三条线段必须满足“不共线、首尾顺次相接、封闭图形”，三点共线无法构成三角形。 知识点2 三角形的两种分类（必考基础） 1. 按内角大小分类 （1）锐角三角形：三个内角都是锐角（均小于90°）； （2）直角三角形：有一个内角是直角（等于90°），可记作Rt△； （3）钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90°小于180°）。 核心结论：任意三角形最多1个直角或1个钝角，至少2个锐角。 2. 按边长关系分类 （1）不等边三角形：三条边长度都不相等； （2）等腰三角形：有两条边相等的三角形； （3）等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形。 从属关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，属于等腰三角形的范畴。 知识点3 等腰三角形核心定义与要素 1. 定义：有且仅有两条边相等或三条边都相等的三角形统称为等腰三角形； 2. 组成要素：相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角； 3. 基础性质：等腰三角形的两个底角相等（后续重点学习，本讲熟记定义即可）； 4. 特殊说明：等边三角形三腰相等，三个底角相等，是最特殊的等腰三角形。 知识点4 三角形的基本特征 1. 稳定性：三角形是具有稳定性的图形，不易变形，是几何核心特性； 2. 封闭性：必须是封闭图形，开口图形、线段交叉图形均不是三角形。 题型1 三角形的识别与有关概念 解题技巧（三条件锁定法） 1. 识别三要素：严格核对三点，三条线段、不共线、首尾顺次封闭相接，缺一不是三角形； 2. 排除易错图形：剔除三点共线、线段交叉、首尾不连接、开口不封闭的干扰图形； 3. 概念辨析要点：区分三角形的边、顶点、内角，不混淆线段、射线、直线构成的图形； 4. 规范书写：识别后统一用△+顶点字母规范表示，杜绝书写错误。 秒杀口诀：三线不共线，首尾紧相连，封闭是三角。 【典例1】．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1】．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 【变式2】．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式3】．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较三个角的大小． 【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在中，边的对角为，边的对角为，边的对角为， ， ． 【变式4】．（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 【答案】 ，，， ，， ，， 【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，； （2）的3个内角是，，，三条边是，，. 题型2 三角形的个数问题 解题技巧（有序枚举不重不漏法） 1. 固定顶点法：选定一个固定顶点，依次搭配底边线段，逐个计数，避免混乱； 2. 分层计数法：先数单个小三角形，再数两个组合的三角形，再数多个组合的大三角形，逐层累加； 3. 线段公式法：若一条底边有n个分点，底边线段总数量即为三角形总个数； 4. 核心禁忌：禁止乱数、跳数、重复数，遵循“从小到大、从左到右”的有序原则； 5. 验算技巧：数完后反向复查，剔除重复、漏数图形，确保计数准确。 【典例2】．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 【变式1】．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 【变式2】．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 【变式3】．如图所示，图中共有三角形______个． 【答案】5/五 【详解】解：图中有：，，，，，共个． 【变式4】．下图中有_________个三角形． 【答案】 【分析】先确定公共顶点三角形的个数，然后再确定线段交叉的三角形个数，二者相加即可求出． 【详解】解：以最上方顶点为公共顶点的三角形，分为两层，如下： 上层：， 下层：． 以点为顶点，有； 以点为顶点，有； 以点为顶点，有； 以点为顶点，有； 图中三角形的个数为：． 题型3 三角形的分类 解题技巧（双标准分类辨析法） 1. 按角分类判断：看最大内角，最大角为锐角→锐角三角形，最大角为直角→直角三角形，最大角为钝角→钝角三角形； 2. 按边分类判断：三边全不等→不等边三角形，两边相等→等腰三角形，三边全相等→等边三角形； 3. 双重分类答题：题目未指定分类标准时，需同时按角、按边双重分类作答； 4. 易错规避：牢记等边三角形属于等腰三角形，不可单独并列分类；直角三角形、钝角三角形也可能是等腰三角形。 秒杀口诀：看角找最大，看边比长短，等边归等腰。 【典例3】．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 【变式1】．在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形． 【变式2】．如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】利用大边对大角的性质，判断最大角的类型，即可确定三角形的类型． 【详解】∵在同一个三角形中，大边对大角，最长边所对的角是三角形的最大角，又已知最长边所对的角是锐角，即三角形的最大角是锐角， ∴三角形其余两个角都小于最大角，也都是锐角， ∴三个内角均为锐角的三角形是锐角三角形， ∴这个三角形是锐角三角形． 【变式3】．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】由最大内角的度数，即可确定三角形的形状． 【详解】解：∵在中， ， 即三角形的最大内角为钝角，故此三角形是钝角三角形． 【变式4】．在中，的补角为，则是_______三角形． 【答案】钝角 【分析】本题主要考查补角的定义、三角形内角和定理．根据补角的定义求出的度数，再根据三角形的分类判断即可． 【详解】的补角是， ， ， 是钝角， 是钝角三角形． 故答案为：钝角． 题型4 等腰三角形的定义 解题技巧（定义判定+要素拆分法） 1. 判定核心：只要三角形有两条及以上边相等，即可判定为等腰三角形； 2. 要素区分：已知边长，快速区分腰、底边、顶角、底角，杜绝概念混淆； 3. 特殊判定：三边相等的等边三角形，满足等腰三角形定义，属于特殊等腰三角形； 4. 基础推理：根据等腰三角形定义，可直接得出两腰相等、两底角相等的基础结论； 5. 易错点：避免认为“等腰三角形只有两条边相等”，忽略等边三角形的特殊属性。 【典例4】．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 【变式1】．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论． 【详解】解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， 只能是顶角，底角为， 故选：B． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，已知，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，的长为半径画圆，以B为圆心，的长为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与x轴的交点即为C点的位置． 【详解】解：∵， ∴； 如图所示，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点，可构成等腰， 以点B为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点，可构成等腰， 作线段的垂直平分线与x轴交于点（与原点重合），可构成等腰， 综上所述，一共有4个点C满足题意， 故选：C． 【变式3】．已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【答案】 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质，计算三边长度和即可得到周长． 【详解】解：等腰三角形底边长为，腰长为， 这个三角形的周长为 ． 【变式4】．如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 【答案】65 【详解】解：如图， ∵平行于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 1．下列说法正确的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．等腰三角形是轴对称图形 C．相等的角是对顶角 D．打开电视机，它正在播广告 【答案】B 【分析】根据平行线性质，轴对称图形定义，对顶角定义和事件概念逐一判断选项． 【详解】解：A、只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，该选项未说明两直线平行，故本选项的说法错误； B、等腰三角形沿底边的垂直平分线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，符合轴对称图形的定义，即等腰三角形是轴对称图形，故本选项的说法正确； C、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，如两平行线被第三条直线所截，同位角相等但不是它们对顶角，故本选项的说法错误； D、“打开电视机，它正在播广告”没有对事情作出判断，故本选项的说法错误． 2．在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据点的坐标判断边的位置关系，计算边长，结合垂直和边长关系判断三角形形状． 【详解】解：如图， ∵点、、， ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形， 选项C符合题意． 3．如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】根据“大角对大边，小角对小边”进行求解即可． 【详解】解：在一个三角形中，根据大角对大边，小角对小边可知：在中，，则有，故①是真命题； 若，则有， ∵， ∴， ∴， ∴，故②是假命题； 综上所述：①是真命题，②是假命题． 4．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 5．若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 6．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 7．已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键． 根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：由图可得，以为边的三角形有，，，，一共有4个． 故选：D． 8．如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查三角形的个数问题，根据不在同一直线上的三个点可以构成一个三角形，进行判断即可． 【详解】解：可以组成：，共9个； 故选：D． 9．如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：C ． 10．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形分一边为，分是腰长或底边长两种情况讨论． 【详解】解： 等腰周长为，一边长为， 当为腰长时，底边长为， 和谐比为：； 当为底边长时，腰长为， 和谐比为：． ∴ 和谐比为或． 故选：C． 11．从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形个数问题，在找三角形时，要做到不重不漏．根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可． 【详解】解：所有三角形为：共个． 从大小判断，青蛙不能落在中，其它均可，即个． 故答案为：． 12．如图，，，图中的等腰三角形有__________个． 【答案】/三 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，是等腰三角形， 综上：图中的等腰三角形有个． 故答案为： 13．一个等腰三角形的周长是36厘米，一条腰与底边长之比是，这个三角形的底边长是____厘米． 【答案】6 【分析】本题考查了比的应用，设三边长度分别为厘米、厘米、厘米，再根据等腰三角形的周长建立方程求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：∵一条腰与底边长之比是， ∴设这个等腰三角形的三边长度分别为厘米、厘米、厘米， 则， 解得， 则这个等腰三角形的底边长是（厘米）， 故答案为：6． 14．（1）图①中直角三角形共有______个； （2）如图②，已知，，则图中共有______个等腰三角形，______个等边三角形． 【答案】 3 4 1 【分析】本题主要考查三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键； （1）根据直角三角形的定义可进行求解； （2）根据等腰三角形的定义及等边三角形的定义可进行求解． 【详解】解：（1）图①中直角三角形共有3个； （2）图②中等腰三角形有，共4个；等边三角形有，共1个； 故答案为3；4；1． 15．如图，点都在的边上． (1)如图①，当边上只有点时，共有______个三角形． (2)如图②，当边上有点时，共有______个三角形． (3)如图③，当边上有点时，共______有个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了图形的规律探究，通过图形变化归纳总结规律是解决问题的关键． （1）根据图象作答即可； （2）根据图象作答即可； （3）总结图形规律，由图形个数与三角形端点个数相关即可求解． 【详解】（1）解：根据图像中可得三角形有：，共有三个． 故答案为：3． （2）解：根据图像中可得三角形有：，共有六个． 故答案为：6． （3）解：由（1）得，当上有一个点时，三角形的个数为：； 由（2）得，当上有两个点时，三角形的个数为：； ∴当上有个点时，三角形的个数为：． 故答案为：． 16．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长度． 【答案】等腰三角形三边长分别为，， 【分析】设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个等腰三角形三边长分别为，，． 17．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 【答案】(1)3，6，10 (2) 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类． （1）由已知条件可得出点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；点、之间有2个点时，共有6个三角形；点、之间有3个点时，共有10个三角形； （2）通过观察得知，点、之间有个点时，边上线段的总数为：，推出结论； 【详解】（1）解：通过观察得知： 点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形； 点、之间有2个点时，即线段共有4个点时，边上线段的总数为：，共有6个三角形； 点、之间有3个点时，即线段共有5个点时，边上线段的总数为：，共有10个三角形； 故答案为：3，6，10 （2）解：由（1）可看出，点、之间有个点时，即线段共有个点时，边上线段的总数为：，共有个三角形； 故答案为：． 18．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 19．如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】(1)， (2)当秒时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出； （2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解． 【详解】（1）解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动， ∴，， ∴， （2）解：若为等腰直角三角形，则，且， ∴， 解得， 此时，满足条件． 故当秒时，为等腰直角三角形． 20．数轴上从左到右四个点位置如图所示，点，分别表示整数，，点，分别表示数，将数轴沿，折叠，使点，重合于点，构成． (1)当为等腰三角形时， 若，则______； 若，则______； 若，则______（用含的式子表示）． (2)当取一个确定值时，写出符合条件的个数． 【答案】(1)；或； (2)的值有无数个 【分析】（1）根据可得结论； 根据，判断出或，由此可得结论； 判断出可得结论； （2）如图，由题意，当取一个确定的值时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，点的位置有无数个，由此即可判断． 本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，翻折变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1），表示的数是， 表示的数是． 故答案为：； 当时，， 为等腰三角形， 或， 点表示的数为或， 或． 故答案为：或； 当时， ∵，， ． 故答案为：； （2）如图，由题意，当取一个确定的值时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，点的位置有无数个， 的值有无数个， ， 的值有无数个． 21．小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 【答案】（1）3，6；（2），，图见详解；（3） 【分析】本题主要考查了图形规律探索，利用数形结合正确找出三角形的个数与n边形内点的个数关系是解题的关键． （1）根据三角形内有1个点时，三角形个数为3；四边形内有2个点时，三角形个数为6； （2）根据四边形内有2个点时，三角形个数为6；四边形内有1个点时，三角形个数为4；得出三角形个数为5时，多边形是三角形，三角形内的点数大于1，验证即可； （3）由（1）（2）中的规律可得n边形的规律． 【详解】解：（1）如图①，三角形内有1个点时，三角形个数为3， 即当，时，； 如图②，四边形内有2个点时，三角形个数为6， 即当，时，； 故答案为：3；6； （2）当，时，；当，时，； 故当时，， 当，时，如图，； 综上，，； （3）根据（1）（2）可知当，时，； 当，时，； 当，时，； ， 当，时，； 当，时，； 综上，． 22．通过对现象的观察、分析，从特殊到一般的探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳法．运用归纳法探求如下规律： 在三角形的内部取个点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到三角形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 如图，为了解决这个问题，我们可以从、、等具体简单的情形入手，探索最多可得到三角形个数的变化规律：    统计几种简单的情况如下表： 三角形内点的个数 1 2 3 … 最多三角形的个数 3 5 … (1)________，当三角形的内部取4个点时，最多可以得到________个三角形； (2)观察和比较下面的式子：，，，则下一个式子为______； 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加________个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到________个三角形； (3)请你尝试用上面的方法探索：在十边形的内部取个点，连同十边形的10个顶点，逐步连接这些点，保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到多少个三角形（不计被分割的三角形）? 【答案】(1)7；9 (2)；2； (3)最多可以得到个三角形 【分析】本题考查了三角形的个数问题，数字规律，图形类规律探索，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先充分理解题意，再调整图形，运用数形结合思想，进行作答即可； （2）先充分理解题意，观察式子特征，进行总结归纳，即可作答． （3）先充分理解题意，模仿（1）（2）的解题过程，且作图分析，进行总结归纳，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是，如图所示： 依题意，三角形内点的个数，最多三角形的个数是7，如图所示： ∴， 同理：三角形内点的个数，最多三角形的个数是9，如图所示： 即当三角形的内部取4个点时，最多可以得到9个三角形； （2）解：观察和比较下面的式子：，，， 则下一个式子为 分析可知：三角形内的点每增加1个，最多可得到的三角形增加2个； 归纳可知：当三角形内点的个数为时，最多可以得到个三角形； （3）解：当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， 当时，如图所示： 此时最多三角形的个数为， …… 依次类推：十边形内点的个数为时，则最多三角形的个数， 即保证所有的连线不再产生新的点，直到十边形内部所有区域都变成三角形．那么最多可以得到个三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $