第02讲 有三角形有关的线段（暑假预习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第02讲 与三角形有关的线段 （3大考点10大题型） 学习目标 1．掌握三角形的三边关系及其应用。 2．掌握三角形中重要的三条线段及其性质。 3．理解并掌握三角形的稳定性。 考点整理 一、三角形的边 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边． 即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段． 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形． 二、三角形中三条重要的线段 定 义 示例剖析 三角形的角平分线： ①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． ②性质：三角形的三条角平分线交于一点． 线段AD为的一条角平分线 三角形的中线： ①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． ②性质：三角形的三条中线交于一点． 线段AD为BC边上的中线 三角形的高： ①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点． 线段AD为BC边上的高 三、三角形具有稳定性、四边形不具有稳定性 题型归纳 【题型1 构成三角形的条件】 1．下列长度的三条线段，不能够组成三角形的是（     ） A．5，8，2 B．3，4，5 C．6，6，1 D．5，12，13 2．下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知等腰三角形的两边长是5和11，则此三角形的周长是（     ） A．21 B．27 C．23 D．21或27 4．下列各组线段，无法构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 确定第三边的取值范围】 5．长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（     ） A．2米 B．4米 C．13米 D．15米 6．已知中，是最大内角，其三边长分别为，，， 那么a的值可能是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．李师傅做了一个三角形的工件，其中两边长分别为和，则第三边的长可能是（     ） A． B． C． D． 8．若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【题型3 三角形三边关系的应用】 9．已知等腰三角形一边长为，周长为，则它的腰长为（     ） A． B． C．或 D． 10．为估计池塘两岸，间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 11．已知a，b是等腰三角形的两边长，且，则此等腰三角形的周长是（     ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 12．已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 【题型4 三角形的稳定性及应用】 13．为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 14．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，这样做的数学原理是（     ） A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三内角和为 D．垂线段最短 15．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 16．劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 四边形的不稳定性】 17．下列图形中，不具有稳定性的是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．梯形 D．直角三角形 18．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 【题型6 根据三角形中线求长度】 19．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 20．如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 21．下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线是线段 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．锐角三角形的三条高不一定交于一点 D．三角形的高和中线一定在三角形的内部 22．如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 【题型7 根据三角形中线求面积】 23．如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 24．如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，的面积是6，则的长为（） A．3 B．4 C．6 D．12 25．如图，在中，分别为的中点．若的面积为，则的面积为(     ) A． B． C． D． 26．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【题型8 重心的概念】 27．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 28．下列叙述正确的个数是（     ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点． A． B． C． D． 29．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 30．用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【题型9 三角形角平分线的定义】 31．如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 32．如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 33．下列结论正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两点之间的线段的长度就是这两点间的距离 C．同位角相等 D．三角形的三条角平分线交于三角形外部一点 34．下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型10 三角形的高及其计算】 35．如图，四个图形中，线段是的高的图是（    ） A． B． C． D． 36．如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 37．如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 38．如图，在中，，，，，则点到边的距离是（     ） A． B． C． D． 39．已知点D、E分别在的边、上，D是的中点，，若，则的值为（     ） A．16 B．0 C．24 D．28 40．如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 与三角形有关的线段 （3大考点10大题型） 学习目标 1．掌握三角形的三边关系及其应用。 2．掌握三角形中重要的三条线段及其性质。 3．理解并掌握三角形的稳定性。 考点整理 一、三角形的边 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边． 即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段． 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形． 二、三角形中三条重要的线段 定 义 示例剖析 三角形的角平分线： ①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． ②性质：三角形的三条角平分线交于一点． 线段AD为的一条角平分线 三角形的中线： ①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． ②性质：三角形的三条中线交于一点． 线段AD为BC边上的中线 三角形的高： ①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点． 线段AD为BC边上的高 三、三角形具有稳定性、四边形不具有稳定性 题型归纳 【题型1 构成三角形的条件】 1．下列长度的三条线段，不能够组成三角形的是（     ） A．5，8，2 B．3，4，5 C．6，6，1 D．5，12，13 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，依次判定各选项即可 【详解】解：A、∵ ，不满足三角形三边关系， ∴ 长度为，，的三条线段不能组成三角形，本选项符合题意； B、∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，本选项不符合题意； C、∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，本选项不符合题意； D、∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，本选项不符合题意 2．下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短边的和是否大于最长边，若满足则能组成三角形，反之不能． 【详解】解：选项A：将线段从小到大排序为，，， ∵， ∴能组成三角形． 选项B：将线段从小到大排序为，，， ∵， ∴不能组成三角形． 选项C：将线段从小到大排序为，，， ∵， ∴不能组成三角形． 选项D：将线段从小到大排序为，，， ∵， ∴不能组成三角形． 综上，能组成三角形的是． 3．已知等腰三角形的两边长是5和11，则此三角形的周长是（     ） A．21 B．27 C．23 D．21或27 【答案】B 【分析】本题需根据等腰三角形两腰相等的性质分情况讨论边长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算周长即可． 【详解】解：等腰三角形两边长为和，需分两种情况讨论： ①若腰长为，底边长为，则三边长为5，5，11， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去该情况； ②若腰长为，底边长为，则三边长为11，11，5， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴此三角形周长为． 4．下列各组线段，无法构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需比较较小两条边的和与最长边的大小，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、∵ ，∴ 可以构成三角形. B、∵ ，，∴ 可以构成三角形. C、∵ ，，∴ 可以构成三角形. D、∵ ，不满足三边关系，∴ 无法构成三角形． 【题型2 确定第三边的取值范围】 5．长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（     ） A．2米 B．4米 C．13米 D．15米 【答案】B 【分析】根据定理求出第三边的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：设第三根木料的长度为米， ∵两根木料长分别为5米和8米， ∴， 即， 观察选项，只有4米符合该范围． 6．已知中，是最大内角，其三边长分别为，，， 那么a的值可能是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用三角形大角对大边的性质和三角形三边关系，求出边长a的取值范围，再结合选项得到答案． 【详解】解：∵在中，是最大内角，对的边为， ∴根据大角对大边，可得是最长边， 又∵，，， ∴， 三角形任意两边之和大于第三边， ， 的取值范围为，选项中只有C选项6符合该范围． 7．李师傅做了一个三角形的工件，其中两边长分别为和，则第三边的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设第三边的长为 ∵三角形的两边长分别为和 ∴根据三角形三边关系可得 ∴ 观察选项，只有符合该范围 ∴第三边的长可能是． 8．若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得： ，即 ， ∵不在的范围内， 第三条边的长度不可能是． 【题型3 三角形三边关系的应用】 9．已知等腰三角形一边长为，周长为，则它的腰长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】已知边没有明确是腰还是底边，需要分两种情况讨论，再验证能否构成三角形，即可得到正确结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若边长为腰长，则底边长为， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，舍去该情况； ②若边长为底边长，则腰长为， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴ 腰长为． 10．为估计池塘两岸，间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：连接， 在中， ∴，即， 解得， 只有在范围内． 11．已知a，b是等腰三角形的两边长，且，则此等腰三角形的周长是（     ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【答案】D 【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，再根据等腰三角形的腰的不同分类讨论，结合三角形的三边关系计算周长即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 解得， ①当是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时它的周长为； ②当是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时它的周长为； 综上，此等腰三角形的周长是7或8． 12．已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断每个绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果． 【详解】∵，，是的三边长， ∴根据三角形三边关系可得 ，，， ∴ ， ， ， ∴ ． 【题型4 三角形的稳定性及应用】 13．为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形．因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升结构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理． 【详解】解：A选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据． B选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据． C选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形． D选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据． 14．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，这样做的数学原理是（     ） A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三内角和为 D．垂线段最短 【答案】B 【详解】解：太阳能热水器的支架形状通常为三角形，这样做的数学原理是“三角形具有稳定性”， 选项A、选项C和选项D都与题干不符. 15．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【详解】解：由题意得，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 16．劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出图形只被分割成了三角形的选项即可． 【详解】解：对于选项A，两个四边形不具有稳定性，所以A选项符合题意； 对于B选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以B选项不符合题意； 对于C选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以C选项不符合题意； 对于D选项，如下图，四边形分成了两个三角形，所以它具有稳定性，所以D选项不符合题意． 【题型5 四边形的不稳定性】 17．下列图形中，不具有稳定性的是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．梯形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特点，三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性． 【详解】解：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，都是三角形，具有稳定性； 梯形不具有稳定性， 故选：C． 18．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，解答关键是分析能否在同一平面内构成三角形． 根据三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，对四个例子逐一分析，再作判断． 【详解】解：人能直立在地面上，不是运用了三角形稳定性，故A不符合； 校门口的自动伸缩栅栏门是运用了四边形的不稳定性，故B不符合； 古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故C符合； 自行车能在地面上运动而不会倒，不是运用了三角形稳定性，故D不符合． 故选：C． 【题型6 根据三角形中线求长度】 19．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 20．如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴ ∵的面积为24， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴． 21．下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线是线段 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．锐角三角形的三条高不一定交于一点 D．三角形的高和中线一定在三角形的内部 【答案】A 【详解】解：A．三角形的角平分线是三角形一个角的顶点和它对边交点之间的线段，说法正确，本选项符合题意； B．应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法缺少条件，错误，故本选项不符合题意； C．锐角三角形的三条高交于三角形内部一点，原说法错误，故本选项不符合题意； D．三角形的中线一定在三角形内部，但三角形的高不一定在三角形内部，例如钝角三角形的两条高在三角形外部，原说法错误，故本选项不符合题意． 22．如图，中，________，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的平分线 C．是边上的垂线 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】先表示出和的周长，再根据其差为，可得，进而可得，从而求解． 【详解】解：的周长为，的周长为， ∵，，要使和的周长的差是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是边上的中线． 【题型7 根据三角形中线求面积】 23．如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 【详解】解：过点E作交于点F，如下图， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵的面积为30，， ∴， 解得， 即中边上的高为3． 24．如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，的面积是6，则的长为（） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再利用三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴． 25．如图，在中，分别为的中点．若的面积为，则的面积为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形求解即可． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中线，是的中线， ∴， ． 26．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】点，是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 【题型8 重心的概念】 27．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 28．下列叙述正确的个数是（     ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：① 三角形的角平分线是三角形一个角的顶点与对边交点之间的线段，不是射线，故①错误； ② 三角形的中线将原三角形分成两个等底同高的小三角形，面积相等，②正确； ③ 三角形三条中线的交点才叫作三角形的重心，三条角平分线的交点不是重心，故③错误； ④ 只有三角形三条高所在的直线交于一点，三条高作为线段不一定交于同一点，故④错误； 综上，正确的结论只有个， 故选：A． 29．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定三边中线的交点即可得出答案． 【详解】解：由图可知边、边上的中线交于点G， 即正好与的重心位置重合的白棋是G． 30．用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】匀质薄板保持平衡的支点为三角形的重心，明确三角形不同特殊点的定义即可解答. 【详解】解：∵ 匀质三角形薄板平衡时支点对应三角形的重心，三角形重心是三条中线的交点， ∴ 这个支点一定是三角形三条中线的交点. 【题型9 三角形角平分线的定义】 31．如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析． 【详解】解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意。 32．如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是的平分线可得，由得． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 33．下列结论正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两点之间的线段的长度就是这两点间的距离 C．同位角相等 D．三角形的三条角平分线交于三角形外部一点 【答案】B 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如两个不同位置的直角相等但不是对顶角，∴A错误； B、根据两点间距离的定义，两点之间的线段的长度就是这两点间的距离，∴B正确； C、∵只有两直线平行时，同位角才相等，未给出前提条件时同位角相等的结论不成立，∴C错误； D、∵三角形的三条角平分线一定交于三角形内部一点，∴D错误． 34．下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到答案. 【详解】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，分别三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高（或所在直线）也都交于一点，因此④正确． 综上，正确的说法共2个，选B． 【题型10 三角形的高及其计算】 35．如图，四个图形中，线段是的高的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 36．如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可解答． 【详解】解：在中，边为底边，从顶点C向所在直线作垂线，垂足为F，因此边上的高是线段． 37．如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵， 即， ∴． 38．如图，在中，，，，，则点到边的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，根据即可求出点到边的距离． 【详解】解：作，如图， ， ， ． 39．已知点D、E分别在的边、上，D是的中点，，若，则的值为（     ） A．16 B．0 C．24 D．28 【答案】C 【分析】利用同高三角形的面积比等于对应底的比，结合中点性质逐步计算即可得到结果． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，即， ∵和同高， ∴， ∵， ∴ ， ∵是的中点，即，且和同高， ∴， ∴． 40．如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过连接，利用三角形面积的和差关系，结合等腰三角形的性质，推导出与的等量关系，进而求出的值． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $