专题26.2.2 二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质（6大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数顶点式y=a(x-h)²+k的图象和性质，系统梳理从图像基础（抛物线及平移）、顶点坐标(h,k)、对称轴x=h，到开口方向（a正负）、宽窄（|a|大小）、增减性（以对称轴为界）、最值（k值）、平移规律（左加右减、上加下减）及对称性的知识脉络，构建从定义到性质再到应用的学习支架。 该资料通过6大题型（含求解析式、图形平移等）系统训练，结合5个易错点（如顶点横坐标符号、平移口诀混淆）和5个解题技巧（速记口诀、五点画图法等），精选各地期末及中考真题例题与变式题，培养学生抽象能力（符号意识）、推理意识（性质应用）和应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

专题26.2.2二次函数的图象和性质 【新人教版】 【题型1 的图象和性质】.................................................................................................................2 【题型2 的图象和性质】..............................................................................................................4 【题型3 求二次函数的解析式】..................................................................................................6 【题型4 的图象和性质】.......................................................................................................8 【题型5 求二次函数的解析式】.........................................................................................10 【题型6 二次函数图形的平移】.........................................................................................................................12 1. 图像基础 图象为抛物线，由y=ax2平移得到；顶点式标准形式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 顶点坐标：(h，k)，对称轴：直线x=h 2. 开口方向 a>0：开口向上，顶点为最低点； a<0：开口向下，顶点为最高点。 3. 开口宽窄 |a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 4. 增减性与最值 ① a>0: x<h时，y随x增大而减小；x>h时，y随x增大而增大；x=h时，y最小值=k。 ② a<0: x<h时，y随x增大而增大；x>h时，y随x增大而减小；x=h时，y最大值=k。 5. 平移规律（左加右减，上加下减） y=ax2平平移得到y=a(x-h)2+k： · h>0向右平移h个单位，h<0向左平移|h|个单位； · k>0向上平移k个单位，k<0向下平移|k|个单位。 6. 对称性 图像关于直线x=h对称；若点(h+m，n)在抛物线上，则对称点(h-m，n)也在图像上。 易错1：顶点横坐标符号出错 y=a(x-h)2+k，顶点横坐标是h，不是-h。 易错2：平移口诀用反 左加右减只针对x，常数k直接上下加减，混淆左右平移符号。 易错3：增减分界点搞错 以对称轴x=h为分界，错用x=0判断增减。 易错4：最值取值写错 最值是k，不是h，容易混淆横纵坐标。 易错5：函数平移先左右后上下，颠倒顺序易出错。 技巧1：速记口诀 a正开口上，左减右增最小值k；a负开口下，左增右减最大值k；左加右减针对x，上加下减常数项；顶点(h,k)，对称轴x=h。 技巧2：五点画图法 以对称轴x=h为中心，取x=h-2、h-1、h、h+1、h+2，代入求y，平滑描点连线。 技巧 3：比较函数值大小 两点到对称轴距离越远：a>0，函数值越大；a<0，函数值越小。 技巧4：图像三步判断 先看a正负定开口；再看h找对称轴、顶点横坐标；最后看k确定顶点纵坐标与最值。 技巧5：平移解题步骤 先化为顶点式；再单独看括号内x判断左右平移；最后单独看常数k判断上下平移。 题型一 的图象和性质 【例1】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．在对称轴的右侧，随的增大而减小 D．对称轴是 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴A、B、D都不正确，C正确． 故选C． 【变式1-2】（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小． 通过直接代入抛物线方程计算两点纵坐标值，比较大小． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴对于点，， 对于点，， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·山东临沂·期末）二次函数在内的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．由于二次函数开口向下，在给定区间内，最小值出现在端点处，通过计算比较函数值可得． 【详解】解：函数的二次项系数，对称轴为轴， 时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 当时，函数的最大值为； 在自变量范围内， 当时，；当时，． 二次函数在内的最小值为． 故答案为：． 题型二 的图象和性质 【例2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 【变式2-1】（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 抛物线的二次项系数为正，开口向上，顶点为是最小值点；向左平移1个单位得；当时，随增大而增大． 【详解】解：∵中， ∴开口向上，A正确； ∵ ∴顶点坐标为， ∴当时，取最小值，C正确； 将抛物线向左平移1个单位，替换为， 得，D正确； 当时，，且随增大而增大，随增大而增大，故B错误． 故选：B． 【变式2-2】（25-26九年级上·吉林·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是关键；抛物线方程为顶点形式，直接根据顶点式公式写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选 C． 【变式2-3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 题型三 求二次函数的解析式 【例3】（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，根据抛物线的对称轴为直线，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线解析式为， 抛物线经过， ， 解得， 抛物线解析式为． 【变式3-1】（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 【答案】(1)此抛物线的解析式为 (2)①向上；；；②；③，小， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图像和性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图像和性质即可得出． 【详解】（1）解：把代入解析式得： ， 解得， ∴此抛物线的解析式为：； （2）①∵， ∴所以此抛物线开口向上； ∵顶点为，对称轴为， ∴此抛物线顶点坐标是；对称轴是； ②∵此抛物线开口向上，对称轴是， ∴当时，y 随 x 的增大而减小； ③∵，顶点坐标是， ∴当 时，函数有最小值为； 故答案为：①向上；；；②；③，小，． 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【答案】(1) (2)当时，函数随的增大而减少 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式． （1）利用待定系数法即可求出函数的关系式． （2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而减少． 【详解】（1）解：把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）解：这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而减少． 题型四 的图象和性质 【例4】（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 【变式4-1】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据顶点式得到顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：可写为， 该二次函数图象的顶点坐标为， 顶点横坐标，纵坐标， 顶点在第二象限． 【变式4-2】（25-26九年级上·福建福州·期中）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】的基本特征：对称轴为直线，顶点坐标为；当时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，且在对称轴右侧()，随的增大而减小．解题思路是根据这些性质逐一验证每个选项的正确性． 【详解】解：已知抛物线的解析式为， 对于选项A：根据顶点式性质，抛物线的对称轴为直线，该说法正确； 对于选项B：顶点式对应的顶点坐标为，该说法正确； 对于选项C：， 抛物线开口向下，在时取得最大值．该说法错误； 对于选项D：抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，该说法正确． 综上，说法错误的是选项C． 【变式4-3】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 【答案】/ 【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，再利用点到对称轴的距离，结合二次函数增减性比较函数值大小． 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴的距离越小的点的函数值越大， ∵，，，且， ∴． 题型五 求二次函数的解析式 【例5】（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】已知二次函数的顶点坐标，可采用待定系数法设出抛物线的顶点式，代入顶点坐标后，将已知点代入解析式求出参数a的值，进而得到二次函数的解析式． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， 将代入，得， 解得， 这个二次函数的解析式为． 【变式5-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数图象的顶点为，且点在图象上，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，解题的关键是掌握顶点解析式． 根据顶点坐标设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为．把代入，得， 解得． ． 即这个二次函数的解析式为． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 【变式5-3】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 【答案】(1) (2)、 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，理解并掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）设抛物线的解析式为，把点代入解析式中可求得a的值，从而确定函数解析式； （2）当时，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 即， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，即， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 题型六 二次函数图形的平移 【例6】（25-26九年级上·湖南张家界·期末）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则即可求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为． 【变式6-1】（25-26九年级上·广东广州·期末）抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移性质，二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， ∴平移后的函数解析式为， 故选：B． 【变式6-2】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移的法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移的法则即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将抛物线向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为， 再向下平移1个单位长度，所得抛物线解析式是． 故选：A． 【变式6-3】（25-26九年级上·江西九江·期末）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为_________． 【答案】 【分析】根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的原则，推导平移后的抛物线表达式． 【详解】解：抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为， 化简得． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.2.2二次函数的图象和性质 【新人教版】 【题型1 的图象和性质】.................................................................................................................2 【题型2 的图象和性质】..............................................................................................................3 【题型3 求二次函数的解析式】..................................................................................................3 【题型4 的图象和性质】.......................................................................................................4 【题型5 求二次函数的解析式】...........................................................................................4 【题型6 二次函数图形的平移】...........................................................................................................................5 1. 图像基础 图象为抛物线，由y=ax2平移得到；顶点式标准形式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 顶点坐标：(h，k)，对称轴：直线x=h 2. 开口方向 a>0：开口向上，顶点为最低点； a<0：开口向下，顶点为最高点。 3. 开口宽窄 |a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 4. 增减性与最值 ① a>0: x<h时，y随x增大而减小；x>h时，y随x增大而增大；x=h时，y最小值=k。 ② a<0: x<h时，y随x增大而增大；x>h时，y随x增大而减小；x=h时，y最大值=k。 5. 平移规律（左加右减，上加下减） y=ax2平平移得到y=a(x-h)2+k： · h>0向右平移h个单位，h<0向左平移|h|个单位； · k>0向上平移k个单位，k<0向下平移|k|个单位。 6. 对称性 图像关于直线x=h对称；若点(h+m，n)在抛物线上，则对称点(h-m，n)也在图像上。 易错1：顶点横坐标符号出错 y=a(x-h)2+k，顶点横坐标是h，不是-h。 易错2：平移口诀用反 左加右减只针对x，常数k直接上下加减，混淆左右平移符号。 易错3：增减分界点搞错 以对称轴x=h为分界，错用x=0判断增减。 易错4：最值取值写错 最值是k，不是h，容易混淆横纵坐标。 易错5：函数平移先左右后上下，颠倒顺序易出错。 技巧1：速记口诀 a正开口上，左减右增最小值k；a负开口下，左增右减最大值k；左加右减针对x，上加下减常数项；顶点(h,k)，对称轴x=h。 技巧2：五点画图法 以对称轴x=h为中心，取x=h-2、h-1、h、h+1、h+2，代入求y，平滑描点连线。 技巧 3：比较函数值大小 两点到对称轴距离越远：a>0，函数值越大；a<0，函数值越小。 技巧4：图像三步判断 先看a正负定开口；再看h找对称轴、顶点横坐标；最后看k确定顶点纵坐标与最值。 技巧5：平移解题步骤 先化为顶点式；再单独看括号内x判断左右平移；最后单独看常数k判断上下平移。 题型一 的图象和性质 【例1】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．在对称轴的右侧，随的增大而减小 D．对称轴是 【变式1-2】（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知点和点在抛物线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式1-3】（25-26九年级上·山东临沂·期末）二次函数在内的最小值是______． 题型二 的图象和性质 【例2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 【变式2-2】（25-26九年级上·吉林·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 题型三 求二次函数的解析式 【例3】（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式． 【变式3-1】（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 【变式3-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 题型四 的图象和性质 【例4】（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【变式4-1】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】（25-26九年级上·福建福州·期中）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 【变式4-3】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 题型五 求二次函数的解析式 【例5】（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 【变式5-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数图象的顶点为，且点在图象上，求此二次函数的解析式． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【变式5-3】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 题型六 二次函数图形的平移 【例6】（25-26九年级上·湖南张家界·期末）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为（      ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·广东广州·期末）抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26九年级上·江西九江·期末）把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线表达式为_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $