专题29.2.3圆周角（7大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦圆周角核心知识点，从定义（顶点在圆上且两边与圆相交的角）出发，系统梳理圆周角定理（弧所对圆周角等于圆心角一半）及推论（同弧等弧圆周角相等、直径对直角、直角对直径），延伸至圆内接四边形对角互补性质，构建从概念到应用的学习支架。 该资料通过7种题型（含例题与变式）分层训练，结合5个易错点警示（如乱用定理前提）和5个解题技巧（如速记口诀、角度转化思路），融入中考真题与阶段检测题，培养学生推理能力与应用意识。课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识理解与运用。

专题29.2.3圆周角 【新人教版】 【题型1 圆周角的概念辨析及简单运算】............................................................................................................2 【题型2 圆周角定理】............................................................................................................................................3 【题型3 同弧（或等弧）所对的圆周角相等】....................................................................................................4 【题型4 半圆（直径）所对的圆周角是直角】....................................................................................................5 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】............................................................................................................6 【题型6 已知圆内接四边形求角度】....................................................................................................................7 【题型7 求四边形外接圆的直径】........................................................................................................................8 1.圆周角定义 顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫做圆周角。 2.圆周角定理 一条弧所对的圆周角，等于它所对圆心角的一半。 3.重要推论 · 同弧或等弧所对的圆周角相等； · 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）； · 90°的圆周角所对的弦是直径。 4.圆周角度数规律 同一段弧：圆心角唯一，圆周角无数个且全部相等。 5.圆内接四边形性质 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 易错1：乱用定理前提 必须是同一条弧所对的圆心角和圆周角，不同弧不能用1:2关系。 易错2：混淆圆心角、圆周角顶点 圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，位置看错直接错。 易错3：忽略“同弧等弧” 不同弧的圆周角不一定相等，做题乱套相等关系。 易错4：直径推论用反 以为直角对半径，正确：直角圆周角对直径。 易错 5：圆内接四边形性质记混 不是邻角互补，是对角互补。 技巧1：速记口诀 圆心角一半圆周角，同弧对角都相等； 直径对直九十度，圆内对角和百八。 技巧2：角度转化万能思路 遇圆周角→找同弧→转圆心角（翻倍）或转等圆周角。 技巧3：直角秒杀模型 看到圆中直角→锁定对应弦为直径； 看到直径→直接构造 90°圆周角。 技巧4：圆内接四边形解题 求内角→直接用180°对角；求外角→直接等于内对角。 技巧5：多点共圆角度秒杀 多点在圆上，优先用同弧圆周角相等导角。 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 【例1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是______． 题型二 圆周角定理 【例2】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）如图，内接于，连接，，作交于点，若，则的度数为________ 题型三 同弧（或等弧）所对的圆周角相等 【例3】（2026·湖南郴州·一模）如图，点A，B，C，D在上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，是的直径，、是上的两点，连接，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一块含角的直角三角板内接于，其中，，若是上的一点（不与点重合），则的度数是（   ） A． B．或 C．或 D．随着点的变化一直在变 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，内接于，是直径，若，则______°． 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例4】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的直径，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，若是的直径，是的弦，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，是的直径，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型五 90°的圆周角所对的弦是直径 【例5】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 【变式5-1】（2026·河南南阳·模拟预测）如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，，的平分线交于D，若则的长为_______． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中， ，点E是外一动点(点B，点E位于异侧)，当时，点F为线段上一点，，连接，求面积的最大值_______． 题型六 已知圆内接四边形求角度 【例6】（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，四边形内接于，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则____ ． 【变式6-3】（2026·宁夏银川·三模）如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，则的度数为_____． 题型七 求四边形外接圆的直径 【例7】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式7-1】（2025·陕西西安·三模）如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级下·广东河源·开学考试）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【变式7-3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.2.3圆周角 【新人教版】 【题型1 圆周角的概念辨析及简单运算】............................................................................................................2 【题型2 圆周角定理】............................................................................................................................................5 【题型3 同弧（或等弧）所对的圆周角相等】....................................................................................................7 【题型4 半圆（直径）所对的圆周角是直角】..................................................................................................10 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】..........................................................................................................12 【题型6 已知圆内接四边形求角度】..................................................................................................................16 【题型7 求四边形外接圆的直径】......................................................................................................................19 1.圆周角定义 顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫做圆周角。 2.圆周角定理 一条弧所对的圆周角，等于它所对圆心角的一半。 3.重要推论 · 同弧或等弧所对的圆周角相等； · 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）； · 90°的圆周角所对的弦是直径。 4.圆周角度数规律 同一段弧：圆心角唯一，圆周角无数个且全部相等。 5.圆内接四边形性质 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 易错1：乱用定理前提 必须是同一条弧所对的圆心角和圆周角，不同弧不能用1:2关系。 易错2：混淆圆心角、圆周角顶点 圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，位置看错直接错。 易错3：忽略“同弧等弧” 不同弧的圆周角不一定相等，做题乱套相等关系。 易错4：直径推论用反 以为直角对半径，正确：直角圆周角对直径。 易错 5：圆内接四边形性质记混 不是邻角互补，是对角互补。 技巧1：速记口诀 圆心角一半圆周角，同弧对角都相等； 直径对直九十度，圆内对角和百八。 技巧2：角度转化万能思路 遇圆周角→找同弧→转圆心角（翻倍）或转等圆周角。 技巧3：直角秒杀模型 看到圆中直角→锁定对应弦为直径； 看到直径→直接构造 90°圆周角。 技巧4：圆内接四边形解题 求内角→直接用180°对角；求外角→直接等于内对角。 技巧5：多点共圆角度秒杀 多点在圆上，优先用同弧圆周角相等导角。 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 【例1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义． 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设半圆的半径为，则，圆心到点的距离，利用勾股定理列方程，解方程求半径，求的长度． 【详解】解：设半圆的半径为，则，圆心到点的距离， ， ， 连接， ， ∴是直角三角形， 根据勾股定理： ， 代入已知，得： ， 解得，， ， ∴． 故答案为：B． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．由圆周角定理可得，结合为的直径，弦于点，，可得，，推出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， 为的直径，弦于点，， ，， ， 在中，由勾股定理得，即， ，即的半径是， 故答案为：． 题型二 圆周角定理 【例2】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 【变式2-2】（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可． 【详解】解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东中山·阶段检测）如图，内接于，连接，，作交于点，若，则的度数为________ 【答案】/24度 【分析】先由圆周角定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理得到，根据平行线的性质求解． 【详解】解；∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型三 同弧（或等弧）所对的圆周角相等 【例3】（2026·湖南郴州·一模）如图，点A，B，C，D在上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同弧所对圆周角相等得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式3-1】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，是的直径，、是上的两点，连接，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用同弧所对的圆周角相等，求出的度数；再根据直径的性质得到是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出的度数． 【详解】解：如图，连接C． ∵和都是中弧所对的圆周角， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴在中，． 【变式3-2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一块含角的直角三角板内接于，其中，，若是上的一点（不与点重合），则的度数是（   ） A． B．或 C．或 D．随着点的变化一直在变 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理及分类讨论点的位置是解题的关键． 先利用“直角三角形的斜边为外接圆直径”确定是的直径，再结合已知条件求出的度数．接着分点在上方和下方两种情况，根据“同弧所对的圆周角相等”及“圆内接四边形对角互补”分别计算的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 当点在下方时， ∵弧所对的圆周角与相等， ∴ 当点在上方时， ∵四边形为圆内接四边形 ∴ ∴ 综上，的度数为或 故选：． 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，内接于，是直径，若，则______°． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，关键是利用“直径所对的圆周角为直角”和“同弧所对的圆周角相等”的性质，结合直角三角形的角度关系求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴； ∵与都是弧所对的圆周角， ∴； 在中，； 故答案为：． 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例4】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的直径，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理的应用是解题的关键． 先通过“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”得出，再通过“直径所对的圆周角为直角”，推出，最后通过求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． 故选：B． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，若是的直径，是的弦，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理的推论，直角三角形两个锐角互余．由直径所对圆周角为直角即得出，从而由直角三角形两个锐角互余求出，最后由同弧所对圆周角相等即得出． 【详解】解：是的直径， ． ， 又， ． 故选：B． 【变式4-2】（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，是的直径，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 根据是的直径得出，再由圆周角定理可得，即可求出． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式4-3】（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：如图连接， 由圆内接四边形的性质可得：， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选A． 题型五 90°的圆周角所对的弦是直径 【例5】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据圆周角定理可得为圆的直径，由此即可得． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵，，三个顶点均在圆上， ∴为圆的直径， ∴圆的半径为， 故选：B． 【变式5-1】（2026·河南南阳·模拟预测）如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，，的平分线交于D，若则的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的性质和勾股定理，过点A作于点E，连接，，根据题意可得，，利用勾股定理求得，则可求，在中可求得，即可求得． 【详解】解：过点A作交于点E，连接，，如图， ∵， ∴为直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中， ，点E是外一动点(点B，点E位于异侧)，当时，点F为线段上一点，，连接，求面积的最大值_______． 【答案】 【分析】本题考查四点共圆，勾股定理，圆周角定理，取的中点O，连接，根据勾股定理得出，得出为定值，说明点E到的距离最大时，的面积最大，证明A、B、C、E四点共圆，过点O作于点N，延长交圆O于点E，此时点E到的距离最大，的面积最大，求出最大值即可． 【详解】取的中点O，连接，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ， ∴， 根据勾股定理得：， ∵为定值， ∴点E到的距离最大时，的面积最大， ∵， ∴， ∴A、B、C、E四点共圆， ∵， ∴是圆的直径，的中点O为圆心， 过点O作于点N，延长交圆O于点E， 此时点E到的距离最大，的面积最大， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积最大值为：． 故答案为：． 题型六 已知圆内接四边形求角度 【例6】（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，四边形内接于，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴； 故选C． 【变式6-1】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，掌握相关知识是解决问题的关键． 已知，则，由圆内接四边形对角互补可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则____ ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，根据圆内接四边形对角互补可得的度数，根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（2026·宁夏银川·三模）如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，则的度数为_____． 【答案】/110度 【分析】平行线的性质求出的度数，圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出的度数即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴ ∴. 题型七 求四边形外接圆的直径 【例7】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 【变式7-1】（2025·陕西西安·三模）如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形对角互补可得，根据一个角是的等腰三角形是等边三角形，可得是同圆中的内接正三角形，延长AO交圆于点E，，，计算出圆的直径，从而得到半径的长． 【详解】解：如图，连接BD，延长AO交圆于点E，连接ED， ∵为四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴的内接是等边三角形（一个角是的等腰三角形是等边三角形）， ∴的角平分线经过圆心， ∴， ∵AE是直径， ∴（直径所对圆周角是），是直角三角形； ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求四边形外接圆的半径，圆内接四边形对角互补，等边三角形性质，圆的基本性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题关键． 【变式7-2】（25-26九年级下·广东河源·开学考试）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 【变式7-3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $