专题12.6 一次函数与二元一次方程（举一反三讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦一次函数与二元一次方程（组）的关系这一核心知识点，系统梳理二元一次方程与一次函数的对应（直线上点的坐标为方程的解），以及二元一次方程组与两直线交点的关系（交点坐标为方程组的解），构建从方程到函数再到方程组图象解法的学习支架。 资料通过8类题型（如利用函数图象解方程组、求直线交点等）及例题变式设计，强化几何直观（如图象法解方程组）和模型意识（如用方程组求函数解析式）。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

专题12.6 一次函数与二元一次方程（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 画出二元一次方程对应的直线并求其整数解】 2 【题型2 利用函数图象解二元一次方程组】 3 【题型3 已知两直线的交点求二元一次方程组的解】 4 【题型4 已知二元一次方程组的解求两直线的交点】 5 【题型5 图象法解二元一次方程组】 5 【题型6 由函数图象求二元一次方程组】 6 【题型7 利用方程组求函数解析式】 7 【题型8 求直线围成的图形面积】 9 考点1 一次函数与二元一次方程 知识点1 一次函数与二元一次方程（组）的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）． 二元一次方程组的解为两直线；和的交点坐标；反过来,两直线，和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． （1）两直线平行（无交点），方程组无解； （2）两直线交于一点，方程组有唯一解； （3）两直线重合，方程组有无数组解． 知识点2 二元一次方程组的图象解法 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：,和． （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象． （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值． 【题型1 画出二元一次方程对应的直线并求其整数解】 【例1】已知： （1）如果把x、y看成是未知数，那么是关于x、y的_______． （2）若把转化为用含x的代数式表示y，则______．如果将x看成是自变量，那么y是x的_______．这样一个二元一次方程就对应一个_________． （3）由于直线上每个点的坐标满足一次函数_______，并且这个有序实数对也满足方程，都是方程的______；反过来，方程的每一个解组成的有序实数对也都满足一次函数__________，并且以为坐标的点都在直线________上． 【变式1-1】若二元一次方程所对应的直线是l，则下列各点不在直线l上的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知二元一次方程，表中给出了几组方程的解： －1 1 2 3 4 3 2 1 0 （1）表格中______ （2）将该方程的解中的未知数作为直角坐标平面内一个点的横坐标，对应的未知数作为该点的纵坐标，这些点所组成的图形是一条直线，则这条直线经过______象限； （3）若点恰好在的解对应的直线上，则______． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，把二元一次方程的若干个解用点表示出来，发现它们都落在同一条直线上.一般地，任何一个二元一次方程的所有解用点表示出来，它的图象就是一条直线.根据这个结论，解决下列问题： （1）根据图象判断二元一次方程的正整数解为 ；(写出所有正整数解) （2）若在直线上取一点(，)，先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点M′，发现点M′又重新落在二元一次方程的图象上，试探究，之间满足的数量关系. 【题型2 利用函数图象解二元一次方程组】 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·课前预习）在同一个坐标系中画出函数和的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解． 【变式2-2】利用图象法解下列二元一次方程组： (1) (2) 【变式2-3】用图形法判别下列各方程组，哪一个有解？或无解？ （1）             （2） 【题型3 已知两直线的交点求二元一次方程组的解】 【例3】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）若一次函数与（、为常数，且）的图象交于点，且点的纵坐标为，则关于、的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级下·河北承德·期末）直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级下·北京大兴·期末）已知直线与直线的交点坐标为，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【变式3-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知直线与直线相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为_________________． 【题型4 已知二元一次方程组的解求两直线的交点】 【例4】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是______． 【变式4-2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）若方程组的解是，则直线与的交点坐标是______． 【变式4-3】（2026八年级下·上海·专题练习）二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为______________ ． 【题型5 图象法解二元一次方程组】 【例5】（25-26八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【变式5-1】如图，已知函数与的图象交于点（1，2），那么关于，的方程组的解是_____． 【变式5-2】如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　）                       A． B． C． D． 【变式5-3】如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【题型6 由函数图象求二元一次方程组】 【例6】（25-26八年级下·全国·周测）图中两条直线和的交点坐标可以看作方程组________________的解． 【变式6-1】（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，直线与的交点坐标为，根据图象，小敏认为点坐标可以看作是两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是，则另一个方程是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）图中两条直线与的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程的图象，若点A的坐标恰为关于x，y的二元一次方程组的解，则a的值可能是（    ）    A． B．0 C．1 D．2 【题型7 利用方程组求函数解析式】 【例7】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，直线的函数解析式为．若直线与线段有公共点，则的取值范围是______．    【变式7-1】如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点．则该一次函数的解析式为________；的面积为________．    【变式7-2】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点、，直线l经过原点，与线段交于点C，把的面积分成两部分，则直线l的解析式为：_________________． 【变式7-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图，直线与坐标轴分别交于点，与直线交于点，点以每秒1个长度单位的速度从点出发沿轴向点做匀速运动，运动时间为秒，连接． （1）若平分的面积，则直线对应的函数解析式为___________； （2）若是等腰直角三角形，则的值为___________． 【题型8 求直线围成的图形面积】 【例8】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即和（其中），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．根据规定解答问题：若两个一次函数与是互助一次函数，且两函数图象交点的横坐标为1，则两函数图象与轴围成的三角形的面积是______． 【变式8-1】（25-26八年级下·重庆北碚·阶段检测）已知一次函数和的图象都经过，且与轴分别交于，两点，则的面积为______． 【变式8-2】（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，已知直线：与直线：交于点，交轴于点，交轴于点，将线段沿方向平移，当与重合时，线段扫过的面积为（     ） A．24 B．12 C．6 D．3 【变式8-3】（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、C均在x轴上，点B在第一象限，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解． (1)点A的坐标为（________，0），点C的坐标为（________，________）； (2)求点B的坐标时，小明是这样想的：先设点B的坐标为，因为点B在直线上，所以是方程的解；又因为点B在直线上，所以也是方程的解，从而m，n满足．请据此求出点B的坐标； (3)若点D在线段上，且满足，求点D的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.6 一次函数与二元一次方程（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 画出二元一次方程对应的直线并求其整数解】 2 【题型2 利用函数图象解二元一次方程组】 5 【题型3 已知两直线的交点求二元一次方程组的解】 11 【题型4 已知二元一次方程组的解求两直线的交点】 13 【题型5 图象法解二元一次方程组】 14 【题型6 由函数图象求二元一次方程组】 17 【题型7 利用方程组求函数解析式】 20 【题型8 求直线围成的图形面积】 25 考点1 一次函数与二元一次方程 知识点1 一次函数与二元一次方程（组）的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）． 二元一次方程组的解为两直线；和的交点坐标；反过来,两直线，和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． （1）两直线平行（无交点），方程组无解； （2）两直线交于一点，方程组有唯一解； （3）两直线重合，方程组有无数组解． 知识点2 二元一次方程组的图象解法 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：,和． （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象． （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值． 【题型1 画出二元一次方程对应的直线并求其整数解】 【例1】已知： （1）如果把x、y看成是未知数，那么是关于x、y的_______． （2）若把转化为用含x的代数式表示y，则______．如果将x看成是自变量，那么y是x的_______．这样一个二元一次方程就对应一个_________． （3）由于直线上每个点的坐标满足一次函数_______，并且这个有序实数对也满足方程，都是方程的______；反过来，方程的每一个解组成的有序实数对也都满足一次函数__________，并且以为坐标的点都在直线________上． 【答案】 二元一次方程 函数 一次函数 解 【分析】（1）根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程； （2）直接把变形得到 即可； （3）由（2）得到一次函数，方程的每一个解组成的有序实数对也都满足一次函数，所以为坐标的点都在直线上． 【详解】（1）如果把x、y看成是未知数，那么是关于x、y的二元一次方程； （2）若把转化为用含x的代数式表示y的等式，则 ，如果将x看成是自变量，那么y是x的函数，这样一个二元一次方程就对应一个一次函数； （3）由于直线上每个点的坐标满足一次函数，并且这个有序实数对也满足方程，都是方程的解；反过来，方程的每一个解组成的有序实数对也都满足一次函数，并且以为坐标的点都在直线上． 【点睛】本题考查了二元一次方程与一次函数的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质． 【变式1-1】若二元一次方程所对应的直线是l，则下列各点不在直线l上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各点横坐标看作x的值，纵坐标看作y的值，然后代入方程中，如果这组数值是方程的解，则该点在对应的直线上，否则亦然． 【详解】解：因为都是方程的解，故点，，，在直线l上， 不是二元一次方程的解，所以点不在直线l上. 故选B. 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据直线上点的坐标特征进行验证即可，比较简单． 【变式1-2】已知二元一次方程，表中给出了几组方程的解： －1 1 2 3 4 3 2 1 0 （1）表格中______ （2）将该方程的解中的未知数作为直角坐标平面内一个点的横坐标，对应的未知数作为该点的纵坐标，这些点所组成的图形是一条直线，则这条直线经过______象限； （3）若点恰好在的解对应的直线上，则______． 【答案】 一、二、四 -4 【分析】（1）先把和代入求出a，b得到二元一次方程，再把y=3代入方程即可求解； （2）根据一次函数的图象与性质即可求解； （3）把代入即可求解； 【详解】（1）把和代入得 解得 ∴ 把y=3代入，解得x=0 ∴m=0 故答案为：0； （2）∵ ∴，图经过一、二、四象限 故答案为：一、二、四； （3）把代入得 解得-4 故答案为：-4． 【点睛】此题主要考查二元一次方程与一次函数的性质，解题的关键是根据表格中的数据求出a，b． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，把二元一次方程的若干个解用点表示出来，发现它们都落在同一条直线上.一般地，任何一个二元一次方程的所有解用点表示出来，它的图象就是一条直线.根据这个结论，解决下列问题： （1）根据图象判断二元一次方程的正整数解为 ；(写出所有正整数解) （2）若在直线上取一点(，)，先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点M′，发现点M′又重新落在二元一次方程的图象上，试探究，之间满足的数量关系. 【答案】（1）（1），，  （2）a=b 【分析】（1）根据函数图象结合函数即可解答. （2）根据平移的性质求出M的坐标，再把M的坐标代入解析式即可解答. 【详解】解：（1），，    （2）点M移动后的坐标为（1+b，3a）    ∵（1+b，3a）在上 ∴  1+b+3a=4    解得 a=b 【点睛】此题考查一次函数与二元一次方程，解题关键在于掌握平移的性质. 【题型2 利用函数图象解二元一次方程组】 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)无数解 (2)无解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数图象交点求对应二元一次方程组的解是解题关键． （1）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解； （2）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解． 【详解】（1）解：画出图象如图①所示． 两条直线重合，有无数个交点，故方程组有无数组解． （2）解：新画出图象如图②所示． 两条直线平行，没有交点，故方程组无解． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·课前预习）在同一个坐标系中画出函数和的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解． 【答案】图象见解析， 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标即为方程组的解．利用两点法作出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：列表， 1 1 3 3 1 描点，连线，如图， 观察图象，两直线的交点坐标为， 所以，方程组的解是． 【变式2-2】利用图象法解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解； （2）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解． 【详解】（1）解：如图所示：    两函数图象交于点， 方程组的解为； （2）解：如图所示：    两函数图象交点为， 方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的关系，解题的关键是根据二元一次方程画出函数图象． 【变式2-3】用图形法判别下列各方程组，哪一个有解？或无解？ （1）             （2） 【答案】（1）有解；   （2）无解 【分析】先把方程组化为一次函数的一般形式，再分别画函数图象，若图象有交点就说明方程组有解，没有交点则无解. 【详解】（1）原方程组可化为 在平面直角坐标系中画出直线和直线， 因为图象交点坐标是（6，-2）， 所以，方程组有解； (2) 原方程组可化为 ， 在平面直角坐标系中画出直线和直线， 因为图象没有交点， 所以，方程组无解. 【点睛】本题考查二元一次方程组与一次函数的关系；解题关键点：由函数图象的交点情况判断方程组的解. 【题型3 已知两直线的交点求二元一次方程组的解】 【例3】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）若一次函数与（、为常数，且）的图象交于点，且点的纵坐标为，则关于、的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，先根据交点纵坐标结合已知一次函数求出横坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标， 又∵交点的纵坐标为，且在上， ∴将代入，得， 解得， ∴交点的坐标为，即原方程组的解为． 【变式3-1】（25-26八年级下·河北承德·期末）直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，利用该性质即可直接得到答案. 【详解】解：∵直线和交于点， ∴方程组的解就是两直线交点的坐标，即. 【变式3-2】（25-26八年级下·北京大兴·期末）已知直线与直线的交点坐标为，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】根据题意求出，交点坐标为，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：直线与直线的交点坐标为， ， 交点坐标为， 关于、的二元一次方程组的解为． 【变式3-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知直线与直线相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为_________________． 【答案】 【分析】先根据交点在已知直线上求出的值，再根据对应关系得到方程组的解． 【详解】解：点在直线上， 将点代入得， 解得， 因此直线与直线的交点坐标为， 将方程组， 变形可得， 两个一次函数图象的交点坐标即为对应二元一次方程组的解， 因此方程组的解为． 【题型4 已知二元一次方程组的解求两直线的交点】 【例4】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，将已知方程组变形后即可得到对应直线，根据方程组的解得到交点坐标． 【详解】解：将已知方程组中的两个方程变形得到， ， ∵方程组的解为， ∴直线与直线的交点坐标是． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据二元一次方程组的解为对应的两条直线的交点的横纵坐标，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是； 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）若方程组的解是，则直线与的交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组与一次函数的关系，二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，结合已知条件即可得到结果． 【详解】解：直线变形可得，直线变形可得， 直线与直线的交点坐标就是方程组的解， 该方程组的解为， 两直线的交点坐标为． 【变式4-3】（2026八年级下·上海·专题练习）二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为______________ ． 【答案】 【详解】解：由题意，∵二元一次方程组的解为对应一次函数的图象的交点的横坐标与纵坐标， ∴二元一次方程组的解为， 则一次函数与的图象的交点坐标为． 【题型5 图象法解二元一次方程组】 【例5】（25-26八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两函数图象交点的坐标，观察图象找出交点坐标即可． 【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 【变式5-1】如图，已知函数与的图象交于点（1，2），那么关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】由题可知，利用函数图象，求解对应方程组的解；由于方程组的解即为与其对应函数交点的坐标，即可求解． 【详解】由题可知：函数 与的图象交于点P（1，2）； 又所求方程组，恰为对应的函数组成； 又函数图象的交点即为其对应方程组的解； ∴方程组的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查函数与对应方程组的关系，重点理解交点及方程组解的对应关系；熟练数形结合的应用． 【变式5-2】如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　）                       A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：函数和的图象交于点， 即，同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于，的方程组的解是． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【变式5-3】如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点， A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 【题型6 由函数图象求二元一次方程组】 【例6】（25-26八年级下·全国·周测）图中两条直线和的交点坐标可以看作方程组________________的解． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组等知识点，能求出两函数的解析式是解此题的关键． 设直线的解析式是，根据图象得出直线过点和，把点的坐标代入函数的解析式，求出、，得出直线的解析式，再求出直线的解析式，最后得出方程组即可． 【详解】解：设直线的解析式是， ∵直线过点和， 代入得： 解得： ∴直线的解析式是， 设直线的解析式是， ∵直线过点和， 代入得： 解得： ∴直线的解析式是， ∴图中两条直线和的交点坐标可以看作方程组的解， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，直线与的交点坐标为，根据图象，小敏认为点坐标可以看作是两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是，则另一个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，将分别代入各个选项的方程，判断即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、把代入方程，，不符合题意； B、把代入方程，，符合题意； C、把代入方程，，不符合题意； D、把代入方程，，不符合题意； 故选：B． 【变式6-2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）图中两条直线与的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系；根据题意联立直线与的解析式，再整理成一般形式即可． 【详解】解：由图可知直线的解析式为，直线的解析式为， 联立方程组得，即为， ∴直线与的交点坐标可以看作方程组的解； 故选A． 【变式6-3】一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程的图象，若点A的坐标恰为关于x，y的二元一次方程组的解，则a的值可能是（    ）    A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据点A的位置可知方程组中的值，解方程组求得，由，得出，即可得出，解得． 【详解】解：∵点A在第一象限， ∴，且， 得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，熟知函数与方程组的关系是解题的关键． 【题型7 利用方程组求函数解析式】 【例7】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，直线的函数解析式为．若直线与线段有公共点，则的取值范围是______．    【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、两条直线相交的问题等知识点，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． 设线段所在的直线的解析式，然后与联立用k表示出x，最后根据点的坐标求解即可． 【详解】解：设线段所在的直线的解析式为：， 由题意可得：，解得：， ∴， 联立：，解得：， ∵直线与线段有公共点， ∴当直线l过点B时，解得：；当直线l过点A时，解得： 若直线与线段有公共点，则的取值范围是或 故答案为：或． 【变式7-1】如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点．则该一次函数的解析式为________；的面积为________．    【答案】 【分析】（1）先把点和点坐标代入得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，从而得到一次函数的解析式； （2）令，即可确定点坐标，根据三角形面积公式和的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：把，代入，得 ， 解得， ∴一次函数解析式为； 故答案为：． （2）解：把代入， 解得， 所以点坐标为 ， 所以的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；②将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 【变式7-2】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点、，直线l经过原点，与线段交于点C，把的面积分成两部分，则直线l的解析式为：_________________． 【答案】或 【分析】先算出的面积为，直线的解析式为．按面积比分两种情况：①，算出，得直线解析式为；②，算出，得直线解析式为． 【详解】解：由题意得，，，是直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在上， ∴坐标为， ∵直线过原点，将分成面积比为的两部分， ∴可分为两种情况，如下： （1）， 此时，， ∴， 解得， 将代入中，得， ∴点的坐标为， （2）， 此时，， 同理可得，， 解得， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵直线过原点，设解析式为， 当时，代入得 解得， ∴， 当时，代入得， 解得， ∴， 综上所述，直线l解析式为或． 【变式7-3】（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图，直线与坐标轴分别交于点，与直线交于点，点以每秒1个长度单位的速度从点出发沿轴向点做匀速运动，运动时间为秒，连接． （1）若平分的面积，则直线对应的函数解析式为___________； （2）若是等腰直角三角形，则的值为___________． 【答案】 2或4 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，等腰三角形的判定与性质，一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）由，求出点坐标，再求出点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当时，，则；当时，，过作于，，则． 【详解】解：（1）由， 解得， ， 令，得， ，即， 平分的面积， ， ， 设直线的解析式是， 把，代入， 得， 解得， 直线对应的函数解析式为， 故答案为：； （2）当时， ， ， ∴是等腰直角三角形， ； 当时， 由上可知， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过作于， ， ， ， ； 综上所述的值为2或4， 故答案为：2或4． 【题型8 求直线围成的图形面积】 【例8】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即和（其中），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．根据规定解答问题：若两个一次函数与是互助一次函数，且两函数图象交点的横坐标为1，则两函数图象与轴围成的三角形的面积是______． 【答案】 【分析】根据互助一次函数的定义得到关于，的方程组，解方程组得到，的值，确定两个一次函数的解析式，求出两个函数与轴的交点坐标，结合两函数交点的横坐标，利用三角形面积公式计算即可. 【详解】解：根据互助一次函数的定义，可得， 整理方程组得， 解得， ∴两个函数解析式为，， 联立，得， 解得， 当时，与轴交点为，与轴交点为， ∴两个交点在轴上的距离为， ∵两函数交点的横坐标为，即三角形的高为， ∴三角形面积． 【变式8-1】（25-26八年级下·重庆北碚·阶段检测）已知一次函数和的图象都经过，且与轴分别交于，两点，则的面积为______． 【答案】 24 【分析】先将点的坐标代入两个一次函数解析式，求出的值，再得到两个函数与轴交点的坐标，最后利用三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解： 一次函数和的图象都经过点 将代入两个解析式得 ， 解得：， 两个函数解析式分别为， 轴上点的横坐标为，分别令 得， 即 得， 即 都在轴上，因此 点到轴的距离为，即中边上的高为 ． 【变式8-2】（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，已知直线：与直线：交于点，交轴于点，交轴于点，将线段沿方向平移，当与重合时，线段扫过的面积为（     ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】先分别求出点和点的坐标，得到的长度，根据题意线段扫过的图形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】已知直线为，且交轴于点， 令，解得，所以点的坐标为， 已知直线为，且交轴于点， 令，解得，所以点的坐标为， 所以． 联立直线和直线的方程组。 ， 由，得，解得， 将代入中，可得， ∴交点的坐标为， 将线段沿方向平移，当与重合时，点动到点处，如图所示： ∵线段在轴上，且平移方向为， ∴线段扫过的图形是平行四边形， ∵点的坐标为，所以点到轴的距离为， ∴线段扫过的面积为． 【变式8-3】（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、C均在x轴上，点B在第一象限，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解． (1)点A的坐标为（________，0），点C的坐标为（________，________）； (2)求点B的坐标时，小明是这样想的：先设点B的坐标为，因为点B在直线上，所以是方程的解；又因为点B在直线上，所以也是方程的解，从而m，n满足．请据此求出点B的坐标； (3)若点D在线段上，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)点的坐标是 【分析】（1）首先得到直线的表达式为，直线的表达式为，然后分别令，解方程即可求出的坐标； （2）解方程组即可求出点的坐标； （3）设点的纵坐标为，先求出，，再由可得，代入求解即可． 【详解】（1）解：直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解 ∴直线的表达式为，直线的表达式为， ∵点A、C均在x轴上， ∴将代入得，， 解得， ； 将代入得，， 解得， ； （2）解：解得，， ； （3）解：设点的纵坐标为， ，， ，， ， ， ∴ ， 把代入得： ， 点的坐标是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $