专题12.3 一次函数的图象与性质（举一反三讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦一次函数的图象与性质核心知识点，系统梳理描点法画图、象限判断、增减性、平移与对称等内容，通过12个题型从基础操作到综合应用构建学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 该资料题型归纳全面，例题与变式结合，注重举一反三。通过根据象限求参数范围、平移解析式等题型，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和应用意识（数学语言），课中辅助教学，课后助力查漏补缺，强化知识应用。

专题12.3 一次函数的图象与性质（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 描点法画一次函数的图象】 2 【题型2 判断一次函数图象】 7 【题型3 根据函数经过的象限求参数范围】 10 【题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 12 【题型5 判断一次函数的增减性】 13 【题型6 根据一次函数的增减性求参数】 15 【题型7 比较一次函数的大小】 17 【题型8 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 18 【题型9 求平移前后的一次函数解析式】 20 【题型10 判断一次函数的平移方式】 22 【题型11 一次函数图象的对称问题】 25 【题型12 由两直线的位置关系求一次函数的解析式】 27 考点1 一次函数的图象 知识点1 用描点法画函数图象 在直角坐标系中用描点法画函数图象的一般步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算对应的函数值y； （2）描点：以表中各对x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：顺次连接描出的各点． 知识点2 一次函数的图象 （1）一次函数的图象是一条直线．由于两点确定一条直线，画一次函数的图象时，只要先确定这个图象上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了．为了方便，常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和． （2）正比例函数的图象是经过原点(0,0)的一条直线．画正比例函数的图象时，只需取一点(1,k)，再过原点和这一点画直线即可． 知识点3 一次函数的性质 一次函数的性质： （1）当时，一次函数的图象从左到右呈上升趋势，函数值y随自变量x的增大而增大． （2）当时，一次函数的图象从左到右呈下降趋势，函数值y随自变量x的增大而减小．反之亦成立． （3）|k|越大，y随x的增大而增大(或减小）的速度越快. （4）k，b的符号与一次函数图象的关系： 图象经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 图象经过的象限 一、二、四 二、四 二、三、四 【题型1 描点法画一次函数的图象】 【例1】（25-26八年级下·全国·课堂例题）（1）画出函数的图象（要求列表、描点、连线）； （2）结合图象，写出该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （3）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】（1） 见解析；（2）该函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；（3）2 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数的图象与坐标轴的交点坐标： （1）根据列表、描点、连线的步骤即可解答； （2）直接观察图象，即可解答； （3）根据三角形的面积公式即可进行解答． 【详解】解：（1）解：列表如下： x 0 1 2 3 y 3 2 1 0 描点、连线，画出函数图象如下： （2）该函数图象与x轴、y轴的交点坐标分别为； （3）该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为． 【变式1-1】（24-25八年级下·甘肃天水·阶段检测）画出函数的图象． 一列表 x … … 【答案】见详解 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握列表描点法作一次函数图象是解题的关键； 根据列表、描点、连线画出函数图象即可. 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，. 将上面的数据填写表格如下表所示： x … 0 … … 1 … 描点连线如下图所示： 【变式1-2】先画图，再回答问题 (1)在同一直角坐标系内作出一次函数，，的图象； (2)点、是否在所画的图象上？在哪一个函数的图象上？ (3)如果在的图象上，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)点在函数图象上，点不在函数图象上，且点在函数的函数图象上 (3) 【分析】本题主要考查了函数的图象以及图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象的特征，是解题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，用两点法即可作出图象； （2）根据函数图象即可判断； （3）把代入即可求解． 【详解】（1）解：函数与坐标轴的交点坐标为，， 函数经过点，， 函数与坐标轴的交点坐标为，， 在平面直角坐标系中描点、连线，如图所示： （2）解：根据图象可知，点在所画的函数的图象上，点不在所画的三个函数的图象上； （3）解：将点代入，得， 解得：． 【变式1-3】（25-26八年级下·北京石景山·期末）在平面直角坐标系 中，函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)点在轴上，若，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)如图，直线即为所求作， (3)点的坐标为或 【分析】（1）将点代入函数表达式中，可解得的值，令，即可解得点的坐标； （2）利用描点法，在平面直角坐标系中描出点和，过这两点作直线即可得到函数图象； （3）先计算出，根据题目中面积的相等关系得到，设的坐标为，则有，利用，即可求解的坐标． 【详解】（1）解：把点代入函数中，得， 解得， ∴函数表达式为， 令，则， 解得， ∴点的坐标为； （2）略 （3）解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上，设的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或． 【题型2 判断一次函数图象】 【例2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正比例函数图象过原点得到各选项中的正比例函数图象，进而由图象性质得出的符号，再由的符号验证一次函数图象是否正确即可． 【详解】解：A、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象符合要求； B、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； C、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； D、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象不符合要求． 【变式2-1】（25-26八年级下·山东滨州·期末）已知点在第二象限，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在第二象限，得，的符号，然后根据，的符号即可确定一次函数的图象经过的象限，从而确定大致图象． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：D． 【变式2-2】（25-26八年级下·河北沧州·期末）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察已知一次函数的图象，判断和的正负，由的正负推导的正负，结合的正负，确定目标函数的图象即可． 【详解】解： 对于原函数，直线从左到右是下降的， ∴， ∵直线与轴交于正半轴， ∴， 目标函数， ∵， ∴， ∴直线是下降的， ∵， ∴直线与轴交于负半轴， ∴函数的图象为选项D． 【变式2-3】（25-26八年级下·湖南株洲·期末）正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的函数图象判断出，进而判断出，再根据，即可确定一次函数的图象经过的象限，问题得解． 【详解】解：根据正比例函数的图象可知：， ∴， ∴一次函数的图象必经过第二、四象限， ∵， ∴一次函数的图象与y轴的正半轴相交， 故C项的函数图象符合要求． 【题型3 根据函数经过的象限求参数范围】 【例3】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）已知关于的一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义和一次函数图象与系数的关系，列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：是关于的一次函数， ，即， 一次函数图象不经过第二象限， ， 解不等式，得 ， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 即的取值范围是． 【变式3-1】（25-26八年级下·重庆长寿·期末）若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象经过的象限，结合一次函数图象与系数，的关系，列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， 根据一次函数图象与系数的关系，可得， 解不等式得， ∴的取值范围是． 【变式3-2】（25-26八年级下·四川宜宾·期末）一次函数的函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，则k的取值范围（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用一次函数的性质求解，根据y随x增大而增大得到一次项系数的范围，根据图象不经过第二象限得到的范围，联立不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵函数值随的增大而增大， ∴一次项系数满足，解得， ∵函数图象不经过第二象限， ∴满足，解得， ． 【变式3-3】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知一次函数图象经过点，，且点和点都在第一象限内．下列判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】将点代入一次函数解析式得到与的关系，结合点的坐标特征计算判断即可． 【详解】解：∵ 一次函数经过点， ∴， ∴， 即一次函数解析式为． ∵ 点也在该一次函数图象上，且在第一象限， ∴ ，，． A、当时， 不妨设，，满足， 代入，得， 解得， ∴， 故A错误； B、当时， 不妨设，，满足， 代入，得， 解得， ∴， 故B错误； C，D、当时，， 将其代入得： ， 整理得，即． ∵ 在第一象限， ，， ∴， C正确，D错误． 【题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例4】关于一次函数，下列说法错误的是（     ） A．随增大而增大 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与轴的交点坐标为 D．当时， 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质和函数图象上点的坐标特征，逐个判断选项即可找出错误的说法． 【详解】解：对于一次函数，可得，． ∵，∴随的增大而增大，A正确，不符合题意； ∵，，∴函数图象经过第一、三、四象限，B正确，不符合题意； ∵当时，，∴函数图象与轴的交点坐标为，C正确，不符合题意； ∵随增大而增大，当时，，∴当时，，不是，D错误，符合题意． 【变式4-1】（25-26八年级下·上海·期末）一次函数的图象不经过第____________象限． 【答案】三 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，判断函数图象经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】解：一次函数， ，， 一次函数的图象经过一、二、四象限， 即不经过第三象限． 【变式4-2】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（，是常数），且，此函数图像一定经过第________象限． 【答案】 二、三 【分析】根据得出与同号，分两种情况讨论一次函数图像经过的象限，找出两种情况公共经过的象限即可． 【详解】解：， 与同号． 分两种情况讨论： ①当，时，一次函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，时，一次函数的图像经过第二、三、四象限． 综上，此函数图像一定经过第二、三象限． 【变式4-3】已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 _____象限． 【答案】三 【分析】本题考查一次函数的性质，先一次函数的图象过第一，三，四象限得到，然后根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一，三，四象限， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， 即直线不经过第三象限． 故答案为：三． 【题型5 判断一次函数的增减性】 【例5】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）对于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象不经过第三象限 C．随的增大而减小 D．图象可由直线向上平移4个单位长度得到 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，图象分布，点与函数图象的关系，以及函数图象的平移规律，即可解题． 【详解】解：∵ 对于一次函数，当时，， ∴ 图象不经过点，A错误； ∵ ，， ∴ 图象经过第一，二，三象限，且随的增大而增大，故B，C错误.； 根据函数图象平移“上加下减”的规律，可由直线向上平移4个单位长度得到，故D正确． 【变式5-1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）对于函数，y随x的增大而_____． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数（其中k、b是常数，且），当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x的增大而增大， 故答案为：增大． 【变式5-2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知，且，则y的最大值为_____． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据一次函数的性质，判断出y随x增大而减小，因此y在x取最小值时取得最大值． 【详解】解：函数的， 故y随x的增大而减小， 因为， 所以当时，y取得最大值， y的最大值． 故答案为：5． 【变式5-3】（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，在点，，，中，一次函数的图象可能经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 ， 确定图象经过的象限以及与 轴的交点，结合各点坐标特征进行判断即可． 【详解】解： 一次函数 中 ，， 随的增大而增大，图象经过第一、三、四象限，故排除A和C； ∵图象与 轴交于点 ， 当 时，；当 时，，故B符合题意，D不符合题意． 【题型6 根据一次函数的增减性求参数】 【例6】（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数中，当一次项系数时，函数值随的增大而增大，当一次项系数时，函数值随的增大而减小，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：一次函数的函数值随的增大而增大， ， 解得． 【变式6-1】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知点、在一次函数图象上，且，则m的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性，先比较两点横坐标的大小，结合函数值的大小关系判断一次函数的增减性，再根据一次函数性质得到关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴一次函数中，随的增大而增大． 根据一次函数的性质，当随增大而增大时，一次项系数大于， 可得， 解得． 【变式6-2】（2026·四川内江·中考真题）若关于 的方程 的解是负数，且一次函数 中，函数值 随 的增大而减小，则所有满足条件的整数 的值之和是______． 【答案】 【分析】先求出一元一次方程的解，根据一元一次方程的解为负数得到 的取值范围，再根据一次函数的性质得到 的另一个取值范围，进而得到符合条件的整数 的值，最后相加即可求解． 【详解】解：解方程 ，得， ∵方程的解是负数， ∴， 解得， ∵一次函数中，函数值随的增大而减小， ∴， 解得， ∴的取值范围是， ∴符合条件的整数为， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 【变式6-3】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）点是一次函数图象上的两点，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】利用乘积小于0的条件，判断一次函数的增减性，再利用一次函数的性质求解． 【详解】解： 与异号 根据一次函数性质，y随x增大而减小，一次项系数小于0， ． 【题型7 比较一次函数的大小】 【例7】（25-26八年级下·北京·期中）已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 【答案】 【分析】先得到一次函数的增减性，然后根据确定函数值的大小解答即可． 【详解】在函数 中， ∵ ， ∴随的增大而减小， ， 即 ， ∴． 【变式7-1】（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）点在一次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据函数解析式可得一次函数的增减性，再根据增减性可得答案． 【详解】解：∵一次函数中，一次项系数， ∴随的增大而增大， ∵点横坐标为，点横坐标为，且， ∴． 【变式7-2】（25-26八年级下·山东滨州·期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据的符号判断随的变化规律，再比较横坐标大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵ 一次函数中， ∴ 随的增大而减小， ∵ 三个点的横坐标满足， ∴ 对应的纵坐标满足． 【变式7-3】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知一次函数（、为常数）的图象过，，若，则_______（用“>”或“<”填空）． 【答案】> 【分析】本题考查了一次函数的性质，先判断得出一次函数的系数，结合一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵为常数， 故 ∴； ∴随的增大而增大， 故函数图象上的两点，，当时，． 故答案为：>． 【题型8 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【例8】（25-26八年级下·浙江台州·阶段检测）已知，为直线上的两个点，且，则（填“＜”或“＞”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，先确定一次函数一次项系数的符号，判断函数的增减性，再根据比较与的大小． 【详解】解：∵直线是一次函数，其中一次项系数， 根据一次函数的性质：当一次函数的一次项系数时，随的增大而增大， ∵， ∴． 【变式8-1】已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是___________． 【答案】/ 【分析】根据一次函数的性质，通过题中，可判断随着x的增大而增大，即可得答案． 【详解】解：， ， 随着x的增大而增大， 点在一次函数的图像上，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握，随着x的增大而增大． 【变式8-2】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）已知点，，均在直线的图象上，则、、的大小关系为_________（用>号连接） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再结合三个点的纵坐标大小，即可得到横坐标，，的大小关系． 【详解】解：对于一次函数， 由一次项系数， 根据一次函数的性质可得，随的增大而减小， 已知点，，在该直线上，三个点的纵坐标满足， 因此对应的横坐标满足． 【变式8-3】（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）若点是直线上的两点，则___________0（填“”“”或“=”）． 【答案】 > 【分析】先根据平方的非负性判断一次项系数的符号，得到一次函数的增减性，再根据两点纵坐标的大小关系，比较横坐标的大小，进而判断与的大小关系． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 根据一次函数的性质，当一次项系数小于时，随的增大而减小． 因为点，在该直线上，且， 所以， 所以． 考点3 一次函数的平移 知识点4 正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b的图象的关系 一般地，一次函数的图象可以由正比例函数的图象沿y轴向上()或向下()平移个单位长度得到． 一次函数图象平移的规律：将直线向上或向下或向左或向右平移n()个单位长度，则所得直线的表达式如下： 直线与轴相交于点(0,b),b叫作直线在轴上的截距，简称截距. 【题型9 求平移前后的一次函数解析式】 【例9】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）将直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用“上加下减”的平移规则即可求解，向下平移不改变一次项系数，只改变常数项． 【详解】解：将直线向下平移4个单位长度后，所得解析式为． 整理得． 【变式9-1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，掌握好平移的规律是关键． 利用“左加右减”的平移法则得到平移后的解析式，再根据对应系数相等列方程求解即可． 【详解】解：∵一次函数图象平移遵循“左加右减”（针对自变量）的法则， ∴将函数的图象向右平移个单位后，解析式为， 又∵平移后得到函数， ∴，且， ∴，解得． 故选：A． 【变式9-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）将直线（为常数，且）向左平移3个单位长度得到的直线经过点，则得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，先根据平移规律得到新直线方程，再代入点求参数k，然后求新直线与坐标轴的交点，最后计算三角形面积即可． 【详解】解：∵直线向左平移3个单位，新方程为， 又∵新直线经过点， ∴代入得，即， ∴， 新直线为， 当，得， ∴， 当，得， ∴两交点距原点距离分别为1和2， ∴面积． 故选B． 【变式9-3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）将一次函数（b是常数且）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，该一次函数图象经过原点，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键．先根据一次函数图象的平移规律得到平移后的函数解析式，再将原点坐标代入解析式，解方程求出的值． 【详解】解：∵ 一次函数向左平移1个单位长度， ∴ 解析式变为． ∵ 再向上平移2个单位长度， ∴ 解析式变为． ∵ 平移后的图象经过原点， ∴ 把，代入，得． ∴ ． 故答案为：． 【题型10 判断一次函数的平移方式】 【例10】（24-25八年级下·全国·暑假作业）已知直线：平移之后的直线为：，则下面平移方式正确的是（    ） A．向上平移4个单位 B．向下平移2个单位 C．向右平移单位 D．向左平移单位 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可． 【详解】解：∵直线：平移之后的直线为：， ∴设直线平移a个单位后得到直线， ∴， 解得． ∴向右平移单位， ∴C符合题意． 故选：C． 【变式10-1】（2025·山西朔州·模拟预测）将直线向上平移，使之经过点，则平移后的函数图象是原函数图象向上平移______个单位长度得到的． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数解析式，设将直线向上平移m个单位后得到的直线经过点，则平移后的直线解析式为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设将直线向上平移m个单位后得到的直线经过点， ∴平移后的直线解析式为， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式10-2】（2025·山西吕梁·二模）要使直线平移后过点，下列平移方法正确的是（  ） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【答案】A 【分析】此题主要是考查了一次函数的平移．利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出答案即可． 【详解】解：把代入得：， ∴直线经过点， ∵平移后经过点， ∴直线的图象向上平移1个单位后就经过点； 把代入得：， 解得：， ∴直线经过点， ∵平移后经过点， ∴直线向左平移个单位，经过点， 综上分析可知：直线的图象向上平移1个单位后就经过点或直线向左平移个单位，经过点． 故选：A． 【变式10-3】（2025·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，点从原点出发，每次向上平移个单位长度或向右平移1个单位长度．例如：平移一次后点P的坐标为或；再如：平移两次后点P的坐标为或或．点从点出发经过次平移后，到达直线上的点Q，且平移的路径长不小于，不超过，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，一次函数图象上点的坐标特征，读懂题目信息并理解点的坐标的横坐标与纵坐标的意义是解题的关键； 根据点的坐标变化规律，可知点从点出发经过次，平移后，到达直线上的点，点的坐标为，再根据平移的路径长不小于，不超过，列不等式组求解； 【详解】解：∵平移1次后点P的坐标为或， ∴设，所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； ∵平移两次后点P的坐标为或或，且3点共线 ∴设，和所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； ∵平移3次后点P的坐标为或或或，且4点共线 ∴设，，和所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； ∴平移后解析式的值不变，常数项为， ∴平移次时，直线解析式为：，如图所示， 设点从点出发经过次平移后，到达直线上的点， 根据题意，可得， 解得：， 点的坐标为， ∴平移的路程长， ∵平移的路径长不小于，不超过， ， ， 点的坐标为正整数， 是的倍数，可以取、， 故选：D． 【题型11 一次函数图象的对称问题】 【例11】（25-26九年级下·陕西西安·期中）若将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出一次函数的图象经过点，代入计算即可． 【详解】解：∵将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点， ∴一次函数的图象经过点， ∴， 解得． 【变式11-1】（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征，先求出已知直线与坐标轴的交点，再得到对应对称点坐标，代入求出的值，即可计算出的结果. 【详解】解： 对于直线， 令得，得交点； 令得，得交点， ，关于轴对称的点分别为，， 直线经过上述两个对称点， ∴将代入得， 将和代入得： ，解得， . 【变式11-2】已知一次函数的图象与直线关于直线对称，则此一次函数的解析式为____． 【答案】/ 【分析】本题考查求一次函数的解析式，通过坐标系中点的对称性求出对称点的坐标，再用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点，， ∵一次函数与关于对称， ∴一次函数过点，， 设所求的一次函数为， 解得： 即解析式为：． 故答案为． 【变式11-3】（2026·广东东莞·三模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（     ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意易得直线与x轴、y轴的交点坐标为，然后可得点关于直线的对称点坐标分别为，进而问题可求解． 【详解】解：当时，则有，解得：，当时，则有， ∴直线与x轴、y轴的交点坐标为， ∴点关于直线的对称点坐标分别为， ∵直线与直线关于直线对称， ∴把点代入得： ， 解得：． 【题型12 由两直线的位置关系求一次函数的解析式】 【例12】（25-26八年级下·全国·课后作业）若一次函数的图象与直线平行，且经过直线与轴的交点，则该一次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的值相等设一次函数解析式是解题的关键． 由平行得斜率相同，为；求已知直线与轴交点，代入点求出，即可得到该一次函数的解析式． 【详解】解：∵ 一次函数与 平行， ∴ 斜率 ， 设解析式为 ． ∵ 它经过 与轴的交点， 令 ，得 ，解得 ， ∴ 交点为 ． 代入 ，得 ， ∴ ． ∴ 解析式为 ． 故选：C． 【变式12-1】下列直线中，与直线垂直的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据若两直线垂直，则它们自变量系数的乘积等于，即可求解． 【详解】解：A、因为，所以与直线不垂直，故本选项不符合题意； B、因为，所以与直线不垂直，故本选项不符合题意； C、因为，所以与直线不垂直，故本选项不符合题意； D、因为，所以与直线垂直，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了两直线垂直的问题，熟练掌握若两直线垂直，则它们自变量系数的乘积等于是解题的关键． 【变式12-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线经过点，且与直线平行，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用两直线平行则相等来确定的值，再将已知点代入直线解析式，通过解方程求出的值． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 所求直线的解析式为． 又∵直线经过点， ∴，解得． 【变式12-3】若直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的函数表达式是________． 【答案】 【分析】设直线l的解析式为，将直线l向左或向右移动使其经过原点，且与直线交于点C，设直线分别与x轴、y轴交于B、D，先求出B、D的坐标，进而证明是等腰直角三角形，过点C作轴于H，求出点C的坐标即可得到答案． 【详解】解：设直线l的解析式为，将直线l向左或向右移动使其经过原点，且与直线交于点C，设直线分别与x轴、y轴交于B、D， ∴， ∴， ∴， ∵直线l与直线垂直， ∴， ∴是等腰直角三角形， 过点C作轴于H，则， ∴点C的坐标为， ∴， ∴直线l的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数图象的平移等等，正确作出辅助线是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.3 一次函数的图象与性质（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 描点法画一次函数的图象】 2 【题型2 判断一次函数图象】 3 【题型3 根据函数经过的象限求参数范围】 5 【题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 5 【题型5 判断一次函数的增减性】 6 【题型6 根据一次函数的增减性求参数】 6 【题型7 比较一次函数的大小】 7 【题型8 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 7 【题型9 求平移前后的一次函数解析式】 8 【题型10 判断一次函数的平移方式】 8 【题型11 一次函数图象的对称问题】 9 【题型12 由两直线的位置关系求一次函数的解析式】 9 考点1 一次函数的图象 知识点1 用描点法画函数图象 在直角坐标系中用描点法画函数图象的一般步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算对应的函数值y； （2）描点：以表中各对x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：顺次连接描出的各点． 知识点2 一次函数的图象 （1）一次函数的图象是一条直线．由于两点确定一条直线，画一次函数的图象时，只要先确定这个图象上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了．为了方便，常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和． （2）正比例函数的图象是经过原点(0,0)的一条直线．画正比例函数的图象时，只需取一点(1,k)，再过原点和这一点画直线即可． 知识点3 一次函数的性质 一次函数的性质： （1）当时，一次函数的图象从左到右呈上升趋势，函数值y随自变量x的增大而增大． （2）当时，一次函数的图象从左到右呈下降趋势，函数值y随自变量x的增大而减小．反之亦成立． （3）|k|越大，y随x的增大而增大(或减小）的速度越快. （4）k，b的符号与一次函数图象的关系： 图象经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 图象经过的象限 一、二、四 二、四 二、三、四 【题型1 描点法画一次函数的图象】 【例1】（25-26八年级下·全国·课堂例题）（1）画出函数的图象（要求列表、描点、连线）； （2）结合图象，写出该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （3）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【变式1-1】（24-25八年级下·甘肃天水·阶段检测）画出函数的图象． 一列表 x … … 【变式1-2】先画图，再回答问题 (1)在同一直角坐标系内作出一次函数，，的图象； (2)点、是否在所画的图象上？在哪一个函数的图象上？ (3)如果在的图象上，求a的值． 【变式1-3】（25-26八年级下·北京石景山·期末）在平面直角坐标系 中，函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)点在轴上，若，直接写出点的坐标． 【题型2 判断一次函数图象】 【例2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·山东滨州·期末）已知点在第二象限，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·河北沧州·期末）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级下·湖南株洲·期末）正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【题型3 根据函数经过的象限求参数范围】 【例3】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）已知关于的一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_________． 【变式3-1】（25-26八年级下·重庆长寿·期末）若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是______． 【变式3-2】（25-26八年级下·四川宜宾·期末）一次函数的函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，则k的取值范围（     ） A． B． C． D．或 【变式3-3】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知一次函数图象经过点，，且点和点都在第一象限内．下列判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例4】关于一次函数，下列说法错误的是（     ） A．随增大而增大 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与轴的交点坐标为 D．当时， 【变式4-1】（25-26八年级下·上海·期末）一次函数的图象不经过第____________象限． 【变式4-2】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（，是常数），且，此函数图像一定经过第________象限． 【变式4-3】已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 _____象限． 【题型5 判断一次函数的增减性】 【例5】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）对于一次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象不经过第三象限 C．随的增大而减小 D．图象可由直线向上平移4个单位长度得到 【变式5-1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）对于函数，y随x的增大而_____． 【变式5-2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知，且，则y的最大值为_____． 【变式5-3】（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，在点，，，中，一次函数的图象可能经过的点是（     ） A． B． C． D． 【题型6 根据一次函数的增减性求参数】 【例6】（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知点、在一次函数图象上，且，则m的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·四川内江·中考真题）若关于 的方程 的解是负数，且一次函数 中，函数值 随 的增大而减小，则所有满足条件的整数 的值之和是______． 【变式6-3】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）点是一次函数图象上的两点，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 【题型7 比较一次函数的大小】 【例7】（25-26八年级下·北京·期中）已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 【变式7-1】（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）点在一次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式7-2】（25-26八年级下·山东滨州·期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知一次函数（、为常数）的图象过，，若，则_______（用“>”或“<”填空）． 【题型8 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【例8】（25-26八年级下·浙江台州·阶段检测）已知，为直线上的两个点，且，则（填“＜”或“＞”） 【变式8-1】已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是___________． 【变式8-2】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）已知点，，均在直线的图象上，则、、的大小关系为_________（用>号连接） 【变式8-3】（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）若点是直线上的两点，则___________0（填“”“”或“=”）． 考点3 一次函数的平移 知识点4 正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b的图象的关系 一般地，一次函数的图象可以由正比例函数的图象沿y轴向上()或向下()平移个单位长度得到． 一次函数图象平移的规律：将直线向上或向下或向左或向右平移n()个单位长度，则所得直线的表达式如下： 直线与轴相交于点(0,b),b叫作直线在轴上的截距，简称截距. 【题型9 求平移前后的一次函数解析式】 【例9】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）将直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26七年级上·山东淄博·期末）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．则的值为（　　）． A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）将直线（为常数，且）向左平移3个单位长度得到的直线经过点，则得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式9-3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）将一次函数（b是常数且）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，该一次函数图象经过原点，则______． 【题型10 判断一次函数的平移方式】 【例10】（24-25八年级下·全国·暑假作业）已知直线：平移之后的直线为：，则下面平移方式正确的是（    ） A．向上平移4个单位 B．向下平移2个单位 C．向右平移单位 D．向左平移单位 【变式10-1】（2025·山西朔州·模拟预测）将直线向上平移，使之经过点，则平移后的函数图象是原函数图象向上平移______个单位长度得到的． 【变式10-2】（2025·山西吕梁·二模）要使直线平移后过点，下列平移方法正确的是（  ） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【变式10-3】（2025·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，点从原点出发，每次向上平移个单位长度或向右平移1个单位长度．例如：平移一次后点P的坐标为或；再如：平移两次后点P的坐标为或或．点从点出发经过次平移后，到达直线上的点Q，且平移的路径长不小于，不超过，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型11 一次函数图象的对称问题】 【例11】（25-26九年级下·陕西西安·期中）若将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知一次函数的图象与直线关于直线对称，则此一次函数的解析式为____． 【变式11-3】（2026·广东东莞·三模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（     ） A． B． C．， D．， 【题型12 由两直线的位置关系求一次函数的解析式】 【例12】（25-26八年级下·全国·课后作业）若一次函数的图象与直线平行，且经过直线与轴的交点，则该一次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】下列直线中，与直线垂直的是（        ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线经过点，且与直线平行，则的值为_____________． 【变式12-3】若直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的函数表达式是________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $