第五章 【方法技巧专题】 二次函数中有关线段和面积的最值问题-【木牍中考•课时A计划】2026-2027学年九年级上册数学配套课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数中线段和面积的最值问题，通过类型化例题导入，先引导学生掌握用函数表达式表示线段长度的方法，再过渡到面积计算，形成从表达式构建到最值求解的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以专题形式系统整合典型例题，结合铅垂法等具体方法，培养学生的运算能力与推理意识。例如通过函数值差构建二次函数求线段最值，用铅垂高与水平宽乘积求面积，既强化数学模型观念，又帮助学生形成解决复杂问题的思维路径，教师可直接用于专题教学，提升课堂效率。

BS 数 学 9年级 上册 题目好 分册好 服务好 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 第五章　二次函数 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 类型1　线段的最值问题 1.如图，二次函数y＝x2与一次函数y＝2x＋1相交于A，B两点，C是线段AB上的动点，D是抛物线上的动点，且CD平行于y轴，在移动过程中，线段CD的最大值为 　 　.  　2　 1 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 2.如图，已知抛物线与x轴交于A(1，0)和B(－5，0)两点，与y轴交于点C.直线y＝－3x＋3过抛物线的顶点P. (1)求抛物线的表达式； 解：(1)抛物线的表达式为y＝－x2－4x＋5. 2 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 (2)易得直线BC的表达式为y＝x＋5， ∴点E(m，－m2－4m＋5)，F(m，m＋5)， ∴EF＝－m2－4m＋5－(m＋5) ＝－m2－5m＝ －，－5<m<0， ∵－1<0， ∴当m＝－时，EF取得最大值为. (2)若直线x＝m(－5<m<0)与抛物线交于点E，与直线BC交于点F，求EF的最大值. 2 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 3.已知二次函数y＝－x2－2x＋c的图象与y轴的交点为A(0，3). (1)c＝　 　，二次函数图象的对称轴为直线 　；  (2)在上述二次函数的图象位于第二象限的部分上取一点P，过点P作PB⊥x轴，垂足为点B，作PC⊥y轴，垂足为点C，且与上述二次函数的图象交于另一点M，求PB＋PM的最大值. x＝－1　 　3　 3 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 解：(2)如图，设点P(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)， 则点P，M一定关于直线x＝－1对称，  ∴PM＝2|x＋1|. ∵x<－1，∴PM＝－2(x＋1)， PB＋PM＝(－x2－2x＋3)－2(x＋1)＝－(x＋2)2＋5， ∴PB＋PM的最大值为5. 3 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 　　（1）分别求出一次函数、二次函数的表达式；（2）用两个函数表达式中的函数值之差的绝对值表示线段长；（3）利用新构建的二次函数表达式，求线段的最值. 3 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 类型2　面积的最值问题 4.如图，已知抛物线y＝x2－x－经过点A，B，M为顶点. (1)顶点M的坐标为　 　；  (2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8， 则四边形AMBC的面积为　 　.  　36　 　(2，－3)　 4 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 5.如图，直线y＝－x＋3与抛物线y＝x2交于A，B两点，在直线AB下方的抛物线上有一点P，使△APB的面积为5.求点P的坐标. 5 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 解：联立y＝－x＋3与抛物线y＝x2，易得A，B(2，2). 设点P(－3<t<2)，过点P作PD∥y轴，交直线AB于点D， ∴D，∴DP＝－t＋3－t2， ∴S△APB＝×(3＋2)＝5， 解得t＝－2或t＝1， ∴点P的坐标为(－2，2)或. 5 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 6.已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且点B(4，0)，BC＝4. (1)求抛物线的表达式； 解：(1)抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4. 6 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 (2)如图，P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K.记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1－S2的最大值. 6 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 (2)易得B(4，0)，C(0，4)，直线BC的表达式为y＝－x＋4. 设P(0<m<4)，则K(m，－m＋4)，D(m，0)， ∴PK＝－m2＋m＋4＋m－4＝－m2＋2m，DK＝－m＋4，DB＝4－m， ∴S1＝PK·OB＝－m2＋4m，S2＝DK·DB＝(－m＋4)(4－m)＝(4－m)2， ∴S1－S2＝－m2＋4m－(4－m)2＝－(m－)2＋， ∴当m＝时，S1－S2有最大值，最大值为. 6 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 铅垂法求三角形、四边形的面积 铅垂法是解决与二次函数相关的几何图形面积问题的最常用方法.一般从动点向另外几点所在的直线作铅垂高，将变化的平行于y轴（或垂直于x轴）的直线段作为图形的高. 如图1，可得出一种计算三角形面积的新方法S△ABC=ah， 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 如图2，计算四边形面积时，常分成两个三角形， S四边形AMBC=S△ABM+S△ABC=（a+b）h. 图1　　 图2 6 -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 温馨提示 本课件由安徽木牍教育图书有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ -‹#›- 【方法技巧专题】　二次函数中有关线段和面积的最值问题 1 2 3 4 5 6 $