2.4.2营销问题及其他问题（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程实际应用，核心涵盖营销利润、传播、数字三大经典模型，作为第二课时承接基础应用，通过公式梳理、设元模板、例题步骤等学习支架，帮助学生掌握必考题型建模方法。 其亮点是以“问题-模型-应用”为主线，营销问题三步列式模板培养模型意识，传播问题平方模型发展抽象能力，规范解题步骤训练推理能力。例1详解及分层练习助力学生稳拿分数，教师可直接使用系统资源提升教学效果。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 2.4.2营销问题及其他问题 第二章 一元二次方程 北师大版八年级数学2.4.2 营销问题及其他问题 同步讲义与习题 本节课是一元二次方程实际应用第二课时，重点攻克营销利润问题（考试必考），补充传播问题、数字问题三大经典模型。题型套路固定、分值高，是单元测试、期末解答题核心考点，掌握固定建模步骤即可稳拿满分。 一、核心知识点与万能解题模型 1. 营销利润问题（重中之重） （1）三大基础公式（必背） - 单件利润 = 单件售价 − 单件进价（成本） - 销售总利润 = 单件利润 × 销售数量 - 总销售额 = 售价 × 销售数量 （2）通用出题套路与建模方法 题干固定句式：单价每涨/降1元，销量减/增若干件。 万能设元方法：设涨价/降价 $$x$$ 元。 三步列式模板： 1. 新售价 = 原售价 $$\pm x$$ 2. 新销量 = 原销量 $$\pm$$ 变化量 × $$x$$ 3. 列方程：$$(新售价-进价)\times 新销量 = 目标总利润$$ （3）取值取舍原则（高频易错） - 题目要求“尽快减少库存/薄利多销”：优先选降价多的解； - 题目无特殊要求：两个合理正数解均可保留； - 售价、销量、价格变动量不能为负，超范围直接舍去。 2. 传播倍增问题（病毒、传染、裂变） 经典模型：一人传染，每轮每人传染相同人数，两轮传播总人数问题。 设每轮每人传染 $$x$$ 人： $$\boldsymbol{1+x+x(1+x)=总人数}$$，整理得：$$(1+x)^2=总人数$$ 核心规律：两轮传播为平方模型，传播问题只取正整数解。 3. 数字问题 - 连续整数：设中间数为$$x$$，相邻数为$$x-1、x+1$$； - 两位数：十位数字$$a$$，个位数字$$b$$，两位数表示为 $$10a+b$$； - 根据数字乘积、平方和、和差关系列方程求解。 二、经典例题精讲（满分标准步骤） 例1 营销利润基础题（必考原型） 某商品进价40元，售价60元，每周可卖出300件。市场调查：每涨价1元，每周少卖10件。想要每周获利6000元，应涨价多少元？ 解：设每件涨价$$x$$ 元。 新售价：$$(60+x)$$ 元，单件利润：$$(60+x-40)=(20+x)$$ 元 新销量：$$(300-10x)$$ 件 列方程：$$(20+x)(300-10x)=6000$$ 整理得：$$x^2-10x=0$$，解得 $$x_1=0，x_2=10$$ 答：可涨价0元或10元，均可获利6000元。 例2 传播问题 有一种病毒，一人携带，经过两轮传染后共有121人患病，求每轮平均一人传染几人？ 解：设每轮每人传染 $$x$$ 人。 列方程：$$(1+x)^2=121$$ 解得：$$x_1=10，x_2=-12$$（传染人数为负，舍去） 答：每轮平均一人传染10人。 例3 数字问题 两个连续正整数的乘积为132，求这两个数。 解：设较小数为$$x$$，较大数为 $$x+1$$。 列方程：$$x(x+1)=132$$ 整理得：$$x^2+x-132=0$$ 解得：$$x_1=11，x_2=-12$$（舍去） 答：两个数为11和12。 三、同步练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 商品进价30元，售价50元，每件利润为（ ） A. 80元 B. 20元 C. 30元 D. 50元 2. 每降价2元，销量增加10件，降价$$x$$元，销量增加（ ） A. $$10x$$ B. $$5x$$ C. $$2x$$ D. $$20x$$ 3. 两轮传染后共81人患病，每轮传染人数为（ ） A. 7人 B. 8人 C. 9人 D. 10人 4. 营销问题中要求尽快清库存，应选择（ ） A. 涨价最多的解 B. 降价最多的解 C. 任意解 D. 无解 5. 两个连续负数乘积为42，这两个数是（ ） A. -6、-7 B. 6、7 C. -5、-8 D. -4、-9 （二）填空题（每空3分，共30分） 1. 总利润=________×________。 2. 商品进价50元，涨价$$x$$元后，单件利润为________。 3. 一轮传播后人数为$$1+x$$，两轮传播公式为________。 4. 两位数，十位为3，个位为$$x$$，该数表示为________。 5. 营销问题解方程后，负数解一律________。 （三）解答题（共50分） 1.（16分）某商品进价20元，售价30元，每月卖200件，每涨价1元少卖5件，若月利润达到2250元，应涨价多少元？ 2.（16分）某种流感，1人患病，经过两轮传染后共144人患病，求每轮平均传染人数。 3.（18分）两个连续正整数的平方和为85，求这两个数。 四、参考答案与详细解析 （一）选择题 1.B 解析：单件利润=50-30=20元。 2.B 解析：单块降价对应5件，降价$$x$$元增加$$5x$$件。 3.B 解析：$$(1+x)^2=81$$，解得$$x=8$$。 4.B 解析：降价越多销量越大，库存清空越快。 5.A 解析：$$(-6)\times(-7)=42$$，符合连续负数。 （二）填空题 1. 单件利润；销售数量 2. $$(30+x)$$ 3. $$(1+x)^2$$ 4. $$30+x$$ 5. 舍去 （三）解答题 1. 解：设涨价$$x$$元。 单件利润：$$30+x-20=10+x$$ 销售数量：$$200-5x$$ 列方程：$$(10+x)(200-5x)=2250$$ 整理：$$x^2-30x+50=0$$，解得$$x_1=5，x_2=25$$ 答：应涨价5元或25元。 2. 解：设每轮传染$$x$$人。 $$(1+x)^2=144$$，解得$$x_1=11，x_2=-13$$（舍去） 答：每轮平均传染11人。 3. 解：设小数为$$x$$，大数为$$x+1$$。 $$x^2+(x+1)^2=85$$ 整理得：$$2x^2+2x-84=0$$，即$$x^2+x-42=0$$ 解得：$$x_1=6，x_2=-7$$（舍去） 答：两个数为6和7。 五、课时小结 1. 营销问题核心公式：总利润=单件利润×销量，涨价减量、降价增量，固定模板直接套用； 2. 传播问题认准平方模型，只取正整数解； 3. 所有实际应用题必须 1.会用一元二次方程的方法解决营销问题及增长率问题。 2.进一步培养将实际问题转化为数学问题的能力及分析问题解决问题的能力。 学习目标 2 步骤 内容摘要 注意事项 一审  二设    三列    四解  五验 六答 审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系。 设未知数，一种是设直接未知数，另一种是设间接未知数。 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程。 根据方程的特点，选择适当的解法求出未知数的值。 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义。 写出实际问题的答案。 等量关系往往体现在关键词句中。 有单位的要带单位。 方程两边单位要统一。 一般不必写出解方程的过程。 一般两个根中只有一个根符合实际意义。 注意语句完整。 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤 3 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元。调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元? 分析：这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系? 每台的销售利润×平均每天销售的数量= 5 000元。 例1 知识点1 一元二次方程的应用 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元。调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元? 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是 元， 每台冰箱的销售利润为 元， 平均每天销售冰箱的数量为 台， 这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决。 例1 知识点1 一元二次方程的应用 (2 900 - x) (2 900- x-2 500) (8+4) 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元。调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元? 解：设每台冰箱的销售价降低x元，根据题意，得 (2 900-x-2 500)(8+4×)=5 000。 解这个方程，得x1=x2=150。 2 900-150=2 750。 所以，每台冰箱的定价应为2 750元。 例1 知识点1 一元二次方程的应用 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元。调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元? 例1 知识点1 一元二次方程的应用 得到的方程是(x-2 500)(×4+8)=5 000。 思考：如果设每台冰箱的定价应为x元，那么你能列出怎样的方程? 思考 例1列出的两个方程有什么区别和联系? 联系：都是根据条件用x表示出每台冰箱的利润和销售量，然后依据“每台冰箱的利润乘以销售量等于总利润”列方程。 区别：表示每台冰箱的利润和销售量的代数式不相同。 知识点1 一元二次方程的应用 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查发现，当这种台灯的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，平均每月就少售出10个。为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少?这时应购进台灯多少个? 等量关系：涨价后每个台灯的利润×总销量=10 000元 解：设每个台灯涨价x元。 根据题意，得(40+x-30)(600-10x)=10 000。 解得x1=10，x2=40(不合题意，舍去)。 所以40+x=40+10=50， 600-10x=600-10×10=500。 所以每个台灯的售价应定为50元，这时应购进台灯500个。 知识点1 一元二次方程的应用 知识点1 一元二次方程的应用 利润问题： 单件利润 = 售价 - 成本(成本为固定值，售价变化会直接影响单件利润)； 总销量 = 原销量 ± 因售价变化增减的销量(通常 “降价则销量增加，涨价则销量减少”，需根据题目条件确定增减幅度)； 总利润 = 单件利润 × 总销量(这是列方程的核心等量关系，题目常以 “总利润达到某一数值” 为目标，据此建立方程)。 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元。求3月份到5月份营业额的月平均增长率。 解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x， 根据题意，得 400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6。 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)。 答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%。 知识点1 一元二次方程的应用 注意：增长率不可为负，但可以超过1。 知识点1 一元二次方程的应用 增长率(或下降率)问题： 若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系： a(1±x)n=b (其中增长取“+”，降低取“－”) 回顾利用方程解决实际问题的过程，你对其中的关键环节有什么感悟？积累了哪些经验？ 关键环节是分析出数量关系和等量关系，依据等量关系列方程。 解方程时要注意检验方程的根是否有意义。 知识点1 一元二次方程的应用 类型1 销售利润问题 1. 为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零 件制造.已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定 该零件的售价不能超过35元/个.经市场调研发现，该零件每 周的销售量（个）与销售单价 （元/个）之间满足一次函数 ，若要使该企业每周销售这种零件可获利 6 000元，则每个零件的售价应定为( ) D A. 25元 B. 20元或40元 C. 40元 D. 20元 考试考法 14 2.[2026日照期中] 景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇， 每把扇子的成本为7元.每把扇子定价为25元时，平均每天可 售出300把.若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出 30把.设每把扇子降价 元，若该文创小店想通过售出这批扇 子每天获得5 760元的利润，又想尽可能地减少库存，则每 把扇子应降价___元. 6 考试考法 15 3.某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与 每件售价 （元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价 元 … 45 55 65 … 日销售量 件 … 55 45 35 … 考试考法 16 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值 范围）. 【解】设与之间的函数关系式为 ， 根据题意，得解得 与之间的函数关系式为 . 考试考法 17 （2）该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件 售价；如果不能，请说明理由. 该商品日销售额不能达到2 600元.理由如下：若该商品日销 售额能达到2 600元，则 ， 整理，得 . , 方程没有实数根. 该商品日销售额不能达到2 600元. 返回 考试考法 18 若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”，降低取“－”)。 应用一元二次方程 常见问题 增长率问题 营销问题 常用公式： 单件利润=售价-成本； 总销量=原销量±因售价变化增减的销量； 总利润=单件利润×总销量。 课堂小结 $