第一章 【模型构建专题】 正方形中常见的图形结构-【木牍中考•课时A计划】2026-2027学年九年级上册数学配套课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦正方形中十字架与半角结构，通过花园修路等实际问题导入，先展示十字架结构“垂直则等长、等长则垂直”的结论，再结合例题应用全等证明，过渡到半角结构的旋转构造，搭建从模型认知到应用探究的学习支架。 其亮点在于以模型构建为主线，通过结构展示、例题解析与类比联想，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）与模型意识（数学语言）。如半角结构中旋转转化证EF=BE+DF，体现逻辑推理，助力学生掌握解题模型，教师可高效开展专题教学。

BS 数 学 9年级 上册 题目好 分册好 服务好 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 类型1　正方形中的十字架结构 （1）　　（2）　　 （3） 结论：若EF⊥HG，则EF=HG； 若EF=HG，则EF⊥HG. -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 1.已知正方形花园ABCD. (1)如图1，E，F是花园的两个门(门的宽度忽略不计)，且DE＝CF，要修建两条路BE和AF，请问这两条路的长度相等吗？说明理由. 图1　　 图2 1 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 解：(1)这两条路的长度相等.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°. ∵DE＝CF，∴AE＝DF， ∴△BAE≌△ADF，∴AF＝BE. 故这两条路的长度相等. 1 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 (2)如图2，在花园四边各开一个门E，F，G，H(门的宽度忽略不计)，并修建两条路EG和FH，使得EG⊥FH，问这两条路的长度相等吗？说明理由. 图1　　 图2 1 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 (2)这两条路的长度相等.理由如下： 如图，作EM⊥BC于点M，交HF于点P，作HN⊥CD于点N，交EM于点Q，EG，HN交于点O. 由题意得四边形AHND，四边形EMCD，四边形EQND都是矩形， ∴HN＝AD，EM＝CD，∠EQO＝90°， ∴HN＝EM. 由EG⊥FH，易得∠PHO＝∠QEO. ∵∠EMG＝∠HNF＝90°， ∴△EMG≌△HNF(ASA)，∴EG＝FH. 故这两条路的长度相等. 1 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 2.在正方形ABCD中，E是边CD上一点(不与点C，D重合)，连接BE. 【感知】如图1，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明) 图1　　 图2　　 图3 2 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 【探究】如图2，取BE的中点M，过点M作GF⊥BE交AD于点G，交BC于点F. (1)求证：BE＝GF； 图1　　图2　　 图3 解：【探究】(1)作AH⊥BE交BC于点H. 易证△ABH≌△BCE，∴AH＝BE. ∵四边形ABCD是正方形，∴AG∥HF. 又∵AH⊥BE，GF⊥BE， ∴AH∥GF，∴四边形AGFH是平行四边形， ∴AH＝GF，∴BE＝GF. 2 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 图1　　 图2　　 图3 (2)连接CM，若CM＝1，则FG的长为　 　.  　2　 2 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 【应用】如图3，取BE的中点M，连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG，MG.若CM＝3，求四边形GMCE的面积. 图1　　 图2　　 图3 【应用】易证△BCE≌△CDG， ∴CG＝BE＝2CM＝6. 又∵ME＝BE＝3，且BE⊥CG， ∴S四边形GMCE＝ME·CG＝×3×6＝9. 2 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 类型2　正方形中的半角结构 （将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG） 结论：①△AEF≌△AEG；②EF=BE+DF；③△CEF的周长为2AB. -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 3.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于( )  A.2α B.90°－2α C.45°－α D.90°－α A 3 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 图1 4.［新课标—探究题］【问题探究】 (1)如图1，四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°.求证：EF＝BE＋DF. 请你完成下列解答过程： 证明：作AG⊥AF交CB延长线于点G，∴∠FAG＝　 　°.  ∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABG＝∠ADC＝90°， ∴∠DAF＝∠　 　，  ∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，BG＝DF. 易得∠EAF＝∠　 　，  ∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG， ∴EF＝EG＝BE＋BG＝BE＋DF. 　EAG　 　BAG　 　90　 4 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 【类比联想】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠EAF＝∠BAD.求证：EF＝BE＋DF. 　图2 4 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 解：(2)延长CB至点M，使BM＝DF，连接AM. ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABM＝180°， ∴∠ABM＝∠ADC. ∵AB＝AD，BM＝DF，∴△ABM≌△ADF(SAS)， ∴∠DAF＝∠BAM，AM＝AF. ∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE＋∠DAF＝∠EAF， ∴∠BAE＋∠BAM＝∠MAE＝∠EAF. ∵AM＝AF，AE＝AE， ∴△MAE≌△FAE(SAS)，∴ME＝EF. ∵ME＝BE＋MB，MB＝DF，∴EF＝BE＋DF. 4 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 5.如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，AC＝12.若∠FBE＝45°，CF＝4，求EF的长. 5 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 解：将△BCF绕着点B逆时针旋转90°得到△BAG，连接EG，如图. 由旋转的性质知∠GBF＝∠ABC＝90°，∠GAB＝∠FCB＝45°，BG＝BF，AG＝CF＝4， ∴∠GAE＝∠GAB＋∠BAC＝45°＋45°＝90°. ∵∠GBF＝90°，∠FBE＝45°， ∴∠GBE＝∠GBF－∠FBE＝45°， 易证△GBE≌△FBE，∴GE＝EF. 设EF＝GE＝x，则AE＝8－x， 在Rt△AGE中，42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5， ∴EF＝5. 5 -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 温馨提示 本课件由安徽木牍教育图书有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ -‹#›- 【模型构建专题】　正方形中常见的图形结构 1 2 3 4 5 $