08-第一章 特殊平行四边形-大招专题1 正方形中的三种常考模型-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

这是一份初中数学九年级上册的课件，聚焦正方形中的“十字架”“对角互补”“半角”三种常考模型，通过母题学大招、子题练变式、大招解读及思路分析等学习支架，结合2025年多地期末真题，帮助学生系统掌握模型应用。 资料特色突出，以模型教学为核心，融合数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）、数学语言（模型意识），如“十字架”模型简记“垂直即相等；相等即垂直”，对角互补模型通过全等转化面积，半角模型用旋转构造全等，助力学生提升解题能力，为教师提供结构化教学资源，适配九年级学生升学备考需求。

数 学 九年级上册 BS 1 2 3 第一章 特殊平行四边形 4 大招专 题1 正方形中的三种常考模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招1 “十字架”模型 1.【2025辽宁抚顺期末，中】如图，正方形中，点，分别在， 上， 且，与相交于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （1）求证： ； 【证明】 四边形是正方形， ， ，，即 . 在和中， . （2）求 的大小. 【解】由（1）知， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 大招解读 “十字架”模型 在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段，若垂直，则相等；若相等，则 垂直. 简记：垂直即相等；相等即垂直. ①线段过顶点时，如图（1）.易证， . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 ②线段不过顶点时，如图（2），作, .易证 ，， 易得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 子题练变式 2.【2025吉林长春期末，中】如图，在正方形中，点，，， 分别在线 段，，，上，且.试猜想 的值，并证明你的猜想. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 【解】，证明：如图，过点作交于点 ，作 交的延长线于点， 易得， 四 边形是正方形， ， ， , ， . 在和中， ，，即， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 思路分析 过点作交于点，作交的延长线于点 ，利用正方形的性 质得， ，结合已知条件证出 即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 3.【2025浙江宁波期末，中】 （1）如图（1），在正方形中，,相交于点,且,则和 的数量关系为_________. 图（1） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 【解】 四边形为正方形， , , , , ， ， . 在和中，， .故 答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 （2）如图（2），在正方形中，,,分别是边,, 上的点， ，垂足为.求证： . 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 图（1） 【证明】如图（1），过点作于点，则四边形 为 矩形，.在正方形中，， . ， ， ， . 在和中， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 （3）如图（3），在正方形中，,,分别是边,, 上的点， ，，，将正方形沿折叠，点的对应点恰好与 边上的 点重合，求 的长度. 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 图（2） 【解】如图（2），连接 . ，关于对称，.过点作于点 ，过 点作于点，则易知 . 同（2）可得， . ， ， . 又， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 母题学大招2 对角互补模型 4.【2025广东珠海期中,中】如图，正方形和正方形 全等，边长均为 3，与交于点，正方形绕点旋转，交于点，交于 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （1）在上述旋转过程中，判断与 有怎样的数量关系，并证明； 【解】，证明： 四边形是正方形，, ， , . ， , . 在和中， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （2）请直接写出四边形 的面积为_ _. 【解析】， ， ，即 . ，.故答案为 . 关键点拨 由（1）得与全等，将四边形的面积转化为 的 面积是本题解题关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 大招解读 对角互补模型 如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线， ， 分别交，于点，，且 ，，交于点 . 结论：；； 是等 腰直角三角形；④四边形的面积为正方形面积的 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 子题练变式 5.【2025陕西咸阳期中，中】如图，在正方形中，点是对角线 上的一 点，连接，过点作，交于点，以， 为邻边作矩形 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （1）求证：矩形 是正方形. 【证明】如图，过点作于点，于点 . 四边形是正方形， ,. ，， . ， 四边形 是正方形， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 在和中， ， . 又 四边形是矩形， 四边形 是正方形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （2）若点为的中点，且，求正方形 的面积. 【解】连接 在正方形中，点为的中点，且 ， ， 在中， . 四边形是正方形， 易知正方形的面积为. 思路分析 利用勾股定理求出 的长，再利用正方形的面积等于对角线长的平方 的一半即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 母题学大招3 半角模型 6.【2025广东韶关期中，中】【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于 较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过旋转或截长补短，将角的倍分 关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、 面积等问题. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 图（1） 图（2） 图（3） 【初步探究】如图（1），在正方形中，点,分别在边, 上，连接 ,,.若 ，将绕点顺时针旋转 ，得到 .易 证： . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （1）根据以上信息填空： ①____ ； ②线段，， 之间满足的数量关系为______________. 45 思路分析 根据旋转及正方形的性质得 ,可得 ,,共线，再证明,得出,进而可得出,, 之间的 数量关系. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 【解析】 四边形是正方形， .由旋转得 ，，，，，， 共线. ， . 在和中， ，， .故答案 为①45， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 【迁移探究】 （2）如图（2），在正方形中，若点在的延长线上，点在 的延长线 上， ，猜想线段，， 之间的数量关系，并证明. 图（1） 【解】.证明如下：如图（1），在 上截取 ，连接 . 在和 中， ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 ,， ，即 . ， . 在和中， ， . ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 【拓展探索】 （3）如图（3），已知正方形的边长为,,分别在, 上， ，连接分别交，于点，，若点恰好为线段 的一个三 等分点，且，求线段 的长. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 【解】如图（2），将绕点顺时针旋转 得到，连接 . 图（2） 四边形是正方形，, ， ，， , . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 由旋转可得， ，,, ， , ， .又，， . 设，则 . 在中，，，解得 ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 大招解读 半角模型 如图（1），在正方形中，,分别在,上，分别交,于， ， 若 ,则有以下结论：；； 平分 ,平分； ； 图（1） 图（2） 如图（2），在正方形中，,分别在的延长线、 的延长线上，若 ,则有以下结论：平分； . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 $