3.2.1单调性与最大（小）值 同步练 -2026年暑期预习新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数单调性与最值，通过基础巩固-能力提升-综合应用三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单调性定义、单调区间、最值概念|单选题1-10题考查定义辨析与图象识别，培养几何直观| |中档|单调性应用、最值求法、易错点|填空题21-25题结合参数讨论单调区间，提升推理能力| |提升|综合证明与探究|解答题26-30题要求定义法证明单调性、含参最值求解，发展应用意识|

3.2.1单调性与最大（小）值 一、函数的单调性 单调性是函数在某个区间上的“局部性质”，描述函数值随自变量增大而变化的趋势。 1. 定义（严格单调性） 设函数 $f(x)$ 的定义域为I，区间 ，任意取 : ①增函数（单调递增）：当 时，都有 ，则称f(x)在D上单调递增（图象自左向右上升）。若 ，则称f(x)为增函数。 ②减函数（单调递减）：当 时，都有 ，则称f(x)在D上单调递减（图象自左向右下降）。若 ，则称f(x)为减函数。 2. 单调区间 如果函数 在区间D上具有单调性，则D称为函数的单调区间。 注意：多个单调区间之间不能用“⋃”连接，应使用“和”或“，”分隔（如增区间为和，不能写成 ⋃。 单调区间必须是定义域的子集。 3. 定义法证明单调性的步骤 这是高一重点考查的规范书写过程： 1. 取值：设，且； 2. 作差：计算−； 3. 变形：通过通分、因式分解、配方、有理化等手段化简差式； 4. 定号：判断−的正负（结合已知条件讨论）； 5. 结论：根据定义得出单调性结论。 二、函数的最大（小）值 最值是函数在定义域（或指定区间）上的整体性质，对应图象的最高点或最低点纵坐标。 1. 定义 设函数 y=f(x)的定义域为I，存在实数M: 最大值：①，都有；②，使得。则称M为最大值，记作 。 最小值：①，都有；②，使得。则称M为最小值，记作 。 几意义：最大（小）值是函数图象最高点（最低点）的纵坐标。 2. 求最值的常用方法 ①图象法：画出函数图象，直接观察最高/最低点纵坐标（适用于分段函数、含绝对值函数等）。 ②单调性法（闭区间上）： 若f(x)在[a,b]上单调递增，则，； 若f(x)在[a,b]上单调递减，则，。 ③分函数最值：分别求出每一段区间上的最值，再取各段最值中的最大（小）者。 3. 注意事项 并非所有函数都有最值（如在定义域内无最值，或在开区间(a,b)上可能无最值）。 最值必须能被取到（即存在使），仅满足不足以说明M是最大值（如 ，但最大值仍是0）。 三、常见易错点提醒 1. 单调性是区间性质，单独一个点无意义，区间端点开闭视定义域而定（若在定义域内，开闭均可）。 2. 复合函数单调性遵循“同增异减”原则（内外层函数单调性相同则复合为增，相异则为减）。 3. 研究二次函数、反比例函数等的最值与单调性时，务必先看定义域。 一、单选题 1．已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 2．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．18 3．若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 4．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 10．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 11．已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 12．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 13．已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 14．已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 15．函数的图像如图所示，其中点，，，的坐标分别为，，，，则下列说法不正确的是（   ）    A．的定义域是 B．的值域是 C． D．只与的一个值对应的值的范围是 16．若存在，使得不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．已知命题，，命题，.若，都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 18．已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 19．定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 20．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 21．函数在区间上的最小值为 _______． 22．已知在[3,15]上具有单调性，则实数的取值范围为___________． 23．已知函数是增函数，则实数的取值范围是__________． 24．已知函数，则该函数的单调递增区间为_______. 25．函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 三、解答题 26．已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若，求实数的取值范围. 27．已知函数. (1)利用函数单调性的定义证明：在上的单调递减. (2)设，解不等式：. 28．已知函数，，. (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)用定义证明函数在区间上单调递减； (3)，用表示，中的最小者，记为.例如，当时，.请写出函数的解析式.（直接写出结果，不用说明理由） 29．已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 30．已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1单调性与最大（小）值 一、函数的单调性 单调性是函数在某个区间上的“局部性质”，描述函数值随自变量增大而变化的趋势。 1. 定义（严格单调性） 设函数 $f(x)$ 的定义域为I，区间 ，任意取 : ①增函数（单调递增）：当 时，都有 ，则称f(x)在D上单调递增（图象自左向右上升）。若 ，则称f(x)为增函数。 ②减函数（单调递减）：当 时，都有 ，则称f(x)在D上单调递减（图象自左向右下降）。若 ，则称f(x)为减函数。 2. 单调区间 如果函数 在区间D上具有单调性，则D称为函数的单调区间。 注意：多个单调区间之间不能用“⋃”连接，应使用“和”或“，”分隔（如增区间为和，不能写成 ⋃。 单调区间必须是定义域的子集。 3. 定义法证明单调性的步骤 这是高一重点考查的规范书写过程： 1. 取值：设，且； 2. 作差：计算−； 3. 变形：通过通分、因式分解、配方、有理化等手段化简差式； 4. 定号：判断−的正负（结合已知条件讨论）； 5. 结论：根据定义得出单调性结论。 二、函数的最大（小）值 最值是函数在定义域（或指定区间）上的整体性质，对应图象的最高点或最低点纵坐标。 1. 定义 设函数 y=f(x)的定义域为I，存在实数M: 最大值：①，都有；②，使得。则称M为最大值，记作 。 最小值：①，都有；②，使得。则称M为最小值，记作 。 几意义：最大（小）值是函数图象最高点（最低点）的纵坐标。 2. 求最值的常用方法 ①图象法：画出函数图象，直接观察最高/最低点纵坐标（适用于分段函数、含绝对值函数等）。 ②单调性法（闭区间上）： 若f(x)在[a,b]上单调递增，则，； 若f(x)在[a,b]上单调递减，则，。 ③分函数最值：分别求出每一段区间上的最值，再取各段最值中的最大（小）者。 3. 注意事项 并非所有函数都有最值（如在定义域内无最值，或在开区间(a,b)上可能无最值）。 最值必须能被取到（即存在使），仅满足不足以说明M是最大值（如 ，但最大值仍是0）。 三、常见易错点提醒 1. 单调性是区间性质，单独一个点无意义，区间端点开闭视定义域而定（若在定义域内，开闭均可）。 2. 复合函数单调性遵循“同增异减”原则（内外层函数单调性相同则复合为增，相异则为减）。 3. 研究二次函数、反比例函数等的最值与单调性时，务必先看定义域。 一、单选题 1．已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】数形结合，画出函数的图象即可求解. 【详解】根据题意，画出函数的图象如下：    由图可知，的最小值是. 故选：C 2．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．18 【答案】B 【分析】将原函数的最值转化为二次函数的最值即可 【详解】由 设 所以当时，函数有最大值 所以在的最大值为， 故选：B. 3．若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减，且， 所以. 4．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，在R上单调递减，故A错误； 对于B，易知开口向上，对称轴为， 所以在区间上单调递增，故B正确； 对于C，开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故D错误． 5．某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案. 【详解】依题意可知，关于的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误； 由于该同学是先走后跑，所以关于的函数图象上升速度是先慢后快，故A错误，C正确. 故选：C 6．已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得，故B正确. 7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 8．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 9．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 10．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 11．已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要利用函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 12．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出函数的分段形式，结合二次函数的性质确定单调递减区间即可. 【详解】由题设，且函数连续， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以单调递减区间为. 故选：C 13．已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得. 综上，不等式的解集为. 14．已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先确定函数的解析式，再分段求函数的最小值即可. 【详解】由或. 所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上可得，. 故选：B 15．函数的图像如图所示，其中点，，，的坐标分别为，，，，则下列说法不正确的是（   ）    A．的定义域是 B．的值域是 C． D．只与的一个值对应的值的范围是 【答案】B 【详解】由图可知：的定义域是，值域为，故A正确，B错误， ，C正确， 当和时，此时的图像只有一个交点， 故只与的一个值对应的值的范围是,D正确. 16．若存在，使得不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为存在，使得成立，结合函数的单调性求出其值域即得. 【详解】由题意，不等式可化为， 即存在，使得成立， 因为函数在上单调递增， 且时，，时，， 所以，则可得， 即的取值范围是. 故选：D 17．已知命题，，命题，.若，都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据，都是真命题求得对应的的取值范围，再求交集即可. 【详解】对于命题，的否定为，， 因为命题为真命题，则，恒成立，故只需， 因为在单调递减，故在的最小值为，所以； 因为命题是真命题，则，即，解得或， 综上，，都是真命题，实数的取值范围是或. 故选：A 18．已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【分析】求得二次函数的对称轴，分和两种情况讨论，求解即可. 【详解】由，可得， 所以函数的对称轴为， 当时，， 又函数在上的最大值为， 所以，解得（舍去）， 当时，，所以， 所以，所以，解得或（舍去）. 故选：C. 19．定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 20．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 二、填空题 21．函数在区间上的最小值为 _______． 【答案】2 【分析】判断在上的单调性，据此可得答案. 【详解】，则在上单调递减，在上单调递增， 从而. 22．已知在[3,15]上具有单调性，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质结合条件即得. 【详解】由题意可得，或，得或， 故实数的取值范围为 故答案为： 23．已知函数是增函数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分段函数单调性的求法，结合一次函数的性质，分析求解，即可得答案. 【详解】因为为增函数，所以，解得， 则实数的取值范围是. 24．已知函数，则该函数的单调递增区间为_______. 【答案】 【详解】函数，则，解得或， 函数的定义域为， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 25．函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 三、解答题 26．已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上的单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）将函数值代入，即可求得a，b的值，即可得解析式. （2）利用定义法，取值、作差、整理、定号、得结论，按照步骤整理分析，即可得证. （3）根据函数的解析式，结合定义域，分析可得时，，当时，，利用定义法，证明在上的单调性，分别讨论都在内、都在内和一个在内，一个在内，三种情况，根据函数的性质，分析求解，即可得答案. 【详解】（1）由题意，解得， 所以. （2）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （3）由（1）得，定义域为， 当时，，则，所以， 当时，，则，所以， 在内任取，且， 则， 由（2）得， 所以在上的单调递增. 因为， 所以当都在内，则，无解； 当都在内，则，解得； 当一个在内，一个在内， 则，解得. 综上，实数的取值范围 27．已知函数. (1)利用函数单调性的定义证明：在上的单调递减. (2)设，解不等式：. 【答案】(1) 因为函数， 任取，设， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在上单调递减. (2) 【分析】（1）根据单调性的定义结合作差法分析证明即可； （2）根据函数单调性可得，解二次不等式即可. 【详解】（1）略 （2）因为，则， 又因为在上单调递减，且， 则，解得， 所以的解集为. 28．已知函数，，. (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)用定义证明函数在区间上单调递减； (3)，用表示，中的最小者，记为.例如，当时，.请写出函数的解析式.（直接写出结果，不用说明理由） 【答案】(1) (2) 设， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减. (3) 【分析】（1）直接作图即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数图象，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）根据函数解析式，直接描点作图，图象如图所示： （2）略 （3）由函数图象可知，当时，， 当时，，； 当时，，， 所以. 29．已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1)，. (2)函数在上是减函数，证明见解析 【分析】（1）根据函数经过的点坐标计算即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数. 证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 30．已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 【答案】(1)函数的最小值为，最大值为； (2) 【分析】（1）根据函数在的单调性讨论求解即可； （2）分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 所以，当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值. （2），开口向上，对称轴为， 所以，当时，在上单调递增，故，解得，满足； 当时，在上单调递减，在上单调递增，故，即，方程无解； 当时，在上单调递减，故，解得，不满足； 综上，当时，函数在上的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $