专题02 直线与圆大题（40题）（举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆的八大核心题型，通过40道典型题构建从基础关系到综合应用的递进训练体系，强化几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系及求参|5题|判断位置关系、切线方程求解|从代数运算到几何意义的转化| |切线长问题|5题|切线长最值、四边形面积|勾股定理与距离公式的综合应用| |切线方程求解|5题|过定点切线、参数方程切线|分类讨论思想与方程思想结合| |弦长与中点弦|5题|弦长计算、中点轨迹|垂径定理与韦达定理的应用| |面积问题|5题|三角形面积、最值探究|几何图形与代数运算的转化| |最值问题|5题|距离、斜率、参数最值|数形结合思想的深度应用| |定点定值问题|5题|轨迹证明、定值探究|逻辑推理与方程思想的综合| |实际应用|5题|隧道、航行等场景建模|数学建模与几何知识的实际迁移|

专题02 直线与圆大题（40题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 直线与圆的位置关系的判断及求参 1．（25-26高二上·广西钦州·期末）已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求过点的圆的切线方程． 2．（25-26高二上·天津和平·期末）已知圆：，直线：. (1)若直线与圆相切，求的值. (2)若，直线与圆相交于A，B两点，求的值. 3．（25-26高二上·广西河池·期末）已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求经过点的圆的切线方程． 4．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知直线，圆. (1)若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线和圆． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)判断直线l与圆C的位置关系． 题型二 圆的切线长问题 6．（25-26高二上·四川巴中·期末）已知直线，圆． (1)直线，且，求两平行线间的距离； (2)已知为直线上一动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 7．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 8．（25-26高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 9．（25-26高二上·北京朝阳·期中）圆C过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点M在x轴上，过点M的圆C的切线长为，求点M的坐标. 10．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 题型三 圆的切线方程的求解 11．（25-26高二上·云南西双版纳·期末）已知圆，点，且直线经过点P. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)若直线与C相切，求直线的方程. 12．（25-26高二上·广东广州·期末）圆心在射线上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)求过点且与该圆相切的直线方程. 13．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知圆，点． (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若直线l过点P且与直线平行，求直线l被圆C所截得的弦长． 14．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 15．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知圆C的圆心在直线上，且经过点和. (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线与圆C相切，求直线的方程. 题型四 圆的弦长与中点弦问题 16．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知三点在圆上． (1)求圆的方程： (2)求直线被圆截得的弦的长． 17．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，圆． (1)若过点M的直线与圆C恰有一个交点，求直线的方程； (2)已知点在直线上，若直线与圆C相交于A，B两点，求弦的长． 18．（25-26高二上·福建福州·期末）若以点为圆心的圆A与直线相切，直线． (1)求圆A的标准方程； (2)求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程． 19．（25-26高二上·四川成都·期末）已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线与圆C相交于两点，求的值． 20．（25-26高二上·江西萍乡·期中）已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 题型五 直线与圆中的面积问题 21．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆经过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，求的面积． 22．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 23．（25-26高二上·河南洛阳·期末）已知圆C：. (1)若直线l过点）且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程. 24．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知三点，，在圆上，点为圆心． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，求四边形的面积． 25．（25-26高二上·安徽·期中）已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）若过点的直线与圆交于、两点，且，求四边形的面积的最小值. 题型六 直线与圆有关的最值问题 26．（25-26高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 27．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 28．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 29．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 30．（25-26高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 题型七 直线与圆中的定点定值问题 31．（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 32．（25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知圆，直线：.记直线与圆交于两点， (1)当时，求直线的方程； (2)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 33．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知圆的方程为． (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知，直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 34．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知点，圆．直线与圆相交于A、B两点，． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若线段AB的中点为，的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值． 35．（25-26高一下·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)当直线与圆相切时，求实数的值． (3)若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 题型八 直线与圆的实际应用 36．（25-26高二上·广西百色·期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 37．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 38．（25-26高二上·上海·期中）某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米. (1)求圆弧所在圆的半径的长度； (2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米. 39．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 40．（25-26高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与圆大题（40题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 直线与圆的位置关系的判断及求参 1．（25-26高二上·广西钦州·期末）已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求过点的圆的切线方程． 【答案】(1)相离 (2)和. 【解题思路】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【解答过程】（1）圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆相离. （2）若切线斜率不存在，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程为和. 2．（25-26高二上·天津和平·期末）已知圆：，直线：. (1)若直线与圆相切，求的值. (2)若，直线与圆相交于A，B两点，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式求解即可. （2）根据直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及勾股定理求解即可. 【解答过程】（1）圆的圆心，半径为1， 因为直线与圆相切，圆心到直线的距离为， 解得. （2）若，则直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以. 3．（25-26高二上·广西河池·期末）已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求经过点的圆的切线方程． 【答案】(1)相离 (2)和 【解题思路】（1）首先求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断； （2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出，即可得解. 【解答过程】（1）圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. （2）过点的斜率不存在的直线方程为， 满足圆心到的距离为，符合题意； 当斜率存在时，设直线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线方程为，即， 综上可得过点的圆的切线方程为和. 4．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知直线，圆. (1)若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）直线平分圆面积，意味着直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可求； （2）直线与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径来求. 【解答过程】（1）∵直线把圆分成面积相等的两部分， ∴圆心在直线上， 即，解得； （2）由题知，圆的圆心为，半径为， ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离， 解得或. 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线和圆． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)判断直线l与圆C的位置关系． 【答案】(1)或 (2)相交或相切 【解题思路】（1）考虑直线斜率存在和不存在的情况，根据圆心到直线的距离为半径进行求解即可. （2）根据圆心到直线的距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【解答过程】（1）圆的方程变成标准方程为. 当过点且与圆C相切的直线斜率不存在时，直线方程为. 此时圆心到直线的距离为，等于半径，所以该直线与圆相切，符合题意； 当过点且与圆C相切的直线斜率存在时，直线方程为，即. 则有圆心到直线的距离为，即. 解得，所以此时直线方程为. 综上，符合题意的直线方程为或. （2）直线，变形得，该直线过定点. 圆心到该直线的距离为，所以直线与圆相交或相切. 题型二 圆的切线长问题 6．（25-26高二上·四川巴中·期末）已知直线，圆． (1)直线，且，求两平行线间的距离； (2)已知为直线上一动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据线线平行的直线方程的关系列式求解可得，再根据两平行直线距离公式计算即可； （2）由勾股定理可得当最小时，取得最小值，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以，解得． 当时，的方程为，，不重合，符合题意， 故两平行线间的距离为； （2）圆的圆心为，半径为3， 因为，所以当最小时，取得最小值． 设圆的圆心到直线的距离为， 则，所以． 7．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或； (2). 【解题思路】（1）根据已知得圆心，半径，讨论直线的斜率的存在性，结合圆的弦长公式、点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程； （2）由圆的切线长，结合（为圆心到直线的距离），进而求其最小值，注意取值条件. 【解答过程】（1）由题意，圆的标准方程为，圆心，半径， 当斜率不存在时，直线，则圆心到直线的距离， 所以直线截圆所得弦长为，符合题意， 当斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离为， 根据垂径定理，得，即，解得， 故直线的方程为或； （2）由题意， 而到直线的距离，则， 所以，当且仅当时取等号，故最小值为. 8．（25-26高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【解题思路】（1）利用垂径定理来求直线与圆相交的弦长，从而可得方程求解的值； （2）利用勾股定理来求切线长，从而可计算面积，然后可用基本不等式来求最值即可. 【解答过程】（1） 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离， 所以，解得， 即的值为1. （2）由（1）可知， 由勾股定理可得 四边形由两个全等的直角三角形组成。所以 ， 当且仅当时成立 所以当四边形有最大面积. 9．（25-26高二上·北京朝阳·期中）圆C过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点M在x轴上，过点M的圆C的切线长为，求点M的坐标. 【答案】(1)； (2)或. 【解题思路】（1）设出圆的标准方程，根据题意列方程组即可求得参数，从而得到圆的标准方程； （2）由点在x轴上可设，可求得，结合切线长和勾股定理即可求解 【解答过程】（1）设圆的方程为， 由题意得，解得， 所以圆的方程是； （2）由（1）可得圆心，半径为， 由点在x轴上可设， 则， 故过点M的圆C的切线长为， 解得或， 所以的坐标为或. 10．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)或； (2)四边形面积的最小值为， 【解题思路】（1）设出圆心坐标，利用半径相等得到方程，求出，进而确定圆心和半径，得到圆的方程； （2）由对称性可知，四边形的面积，且当最小时，切线长最短，由点到直线距离公式得到的最小值，从而求出最小值，从而求出面积的最小值，并根据垂直关系求出直线方程为，联立求出点的坐标. 【解答过程】（1）圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为， 则，解得， 故半径为， 故圆C的方程为； 由已知得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或. （2）当时，直线l的方程为， 如图，圆的半径为，即，其中， 由对称性可知，四边形的面积. 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短， 显然当时，，所以， 四边形的面积的最小值， 直线的斜率为，由垂直关系可知此时， 又，故直线方程为，即， 联立与得，即.    题型三 圆的切线方程的求解 11．（25-26高二上·云南西双版纳·期末）已知圆，点，且直线经过点P. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)若直线与C相切，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【解题思路】（1）将圆的一般方程化为标准方程即可； （2）按照直线的斜率存在性讨论，结合圆心到直线的距离等于半径求解. 【解答过程】（1）可化为， 故圆的圆心坐标为，半径为； （2）因为，所以点在圆外， 若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，则设，即， 则圆心到直线的距离为，得， 此时切线方程为. 综上，直线的方程为或. 12．（25-26高二上·广东广州·期末）圆心在射线上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)求过点且与该圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆心为，则圆的半径，根据点到直线的距离公式结合弦长运算求解即可； （2）分析可知点在圆上，根据垂直关系可得切线的斜率为，进而可得切线方程. 【解答过程】（1）因为圆心在射线上，且圆与轴相切， 设圆心为，则圆的半径， 圆心到直线的距离， 由题意可得：，即，解得或（舍去）， 即圆心为，则圆的半径，所以圆的方程为. （2）因为，即点在圆上， 可得直线的斜率， 因为过点且与圆相切，则切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 13．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知圆，点． (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若直线l过点P且与直线平行，求直线l被圆C所截得的弦长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先判断点与圆的位置关系，再根据切线的性质，求圆的切线方程； （2）首先求直线的方程，再代入弦长公式，即可求解. 【解答过程】（1）圆，圆心为，点在圆上， ，故切线所在直线斜率为， 所求切线方程为，即， （2）直线l的斜率为1， 过点，它的直线方程为， 圆心C到直线的距离为， 所以直线l被圆C所截得的半弦长为， 即直线l被圆C所截得的弦长为. 14．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将、坐标代入圆的标准方程，得到关于和的方程并求解即可； （2）判断点与圆的位置关系，进而根据切线和半径几何关系和点斜式求解方程. 【解答过程】（1）设圆心（圆心在上），圆的标准方程为：， 因为圆过和，代入两点得：， 展开化简得：，解得，即圆心， 则， 所以圆的方程为 （2）点代入圆方程左边得， 因此在圆上，过的切线仅有1条. 半径所在直线的斜率为：，切线与半径垂直， 因此切线斜率，由点斜式得切线方程：， 整理得：. 15．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知圆C的圆心在直线上，且经过点和. (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线与圆C相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）由圆的几何性质进行求解； （2）分直线的斜率存在和不存在进行求解． 【解答过程】（1）设圆心，半径为r， 则由题意可得解得； 所以圆C的标准方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，不合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 则直线的方程为：，即. 由相切条件可得， 化简得：.解得：或. 直线的方程为或. 综上，直线的方程为：或． 题型四 圆的弦长与中点弦问题 16．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知三点在圆上． (1)求圆的方程： (2)求直线被圆截得的弦的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆的一般方程，再代入得出方程组计算求出参数得出圆的方程； （2）先根据圆的方程得出圆心和半径，再应用圆的弦长公式计算即可. 【解答过程】（1）设圆的方程为： 将三点坐标分别代入，得方程组 解得， 则圆的方程； （2）由（1）知方程可化为： 圆心到直线的距离， 圆的半径， 所以. 17．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，圆． (1)若过点M的直线与圆C恰有一个交点，求直线的方程； (2)已知点在直线上，若直线与圆C相交于A，B两点，求弦的长． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【解答过程】（1）由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. （2）由于点在直线上，则， 解得，所以直线方程 则圆心到直线的距离为， 所以弦的长. 18．（25-26高二上·福建福州·期末）若以点为圆心的圆A与直线相切，直线． (1)求圆A的标准方程； (2)求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程． 【答案】(1) (2)，. 【解题思路】（1）利用切线的性质求出半径即得圆的方程； （2）先求出直线所过的定点的坐标，判断该点与圆的位置，利用圆的性质及弦长公式求解. 【解答过程】（1）依题意，点到直线：的距离即为圆A的半径， 所以圆A的标准方程为； （2）由可得， 因是任意实数，则有，解得， 所以直线过定点，又由（1）知，点在圆内， 当直线时，直线被圆A截得的弦长最短，最短弦长为， 因直线的斜率，则直线的斜率为2，方程为，即. 19．（25-26高二上·四川成都·期末）已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线与圆C相交于两点，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意，设，利用圆的弦的性质建立方程，化简计算即得圆C的方程； （2）利用（1）中求得的圆的方程，结合弦长公式计算即得. 【解答过程】（1）由于圆C的圆心在直线上， 所以设， 因为圆C过点和点， 所以， 即，解得， 即圆心坐标为，所以半径， 所以圆C的方程为. （2）依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆C相交于两点， 所以弦长. 20．（25-26高二上·江西萍乡·期中）已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）联立两直线方程，可得点坐标，由题意，设圆心，则，根据两点间距离公式，求出值，可得圆心和半径，即可得答案. （2）根据弦长公式，可得圆心到直线l的距离，分别讨论垂直轴和不垂直轴两种情况，根据点到直线的距离公式，分析求解，综合即可得答案. 【解答过程】（1）联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 （2）因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 题型五 直线与圆中的面积问题 21．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆经过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）解法一：将线段的中垂线方程与直线的方程联立，求出圆心的坐标，可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； 解法二：设圆心为，根据，结合平面内两点间的距离公式可得出关于的方程，解出的值，可得出圆心的坐标，可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】（1）解法一：因为、，所以线段的中点坐标为，且轴， 所以的垂直平分线为． 由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上也在直线上， 联立，解得，所以圆心的坐标为． 圆的半径为， 所以，圆的标准方程为． 解法二：设圆心的坐标为， 因为圆经过、两点，所以， 可得，解得，故圆心为， 所以， 则圆的方程为． （2）圆心到直线的距离为， 故，所以． 故的面积为. 22．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意设圆的标准方程为.将两点的坐标代入方程，求出的值，即可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再利用几何法求出弦长，分析出点到直线的最大距离为，再根据三角形的面积公式计算即可得解. 【解答过程】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为. 因为圆过点，， 所以，即. 将上面两式相减，消去，可得，解得， 将其代入，解得. 所以圆的标准方程为； （2）    由（1）知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 则，要使面积的最大， 只须点到直线的距离最大，最大距离为， 故面积的最大值为. 23．（25-26高二上·河南洛阳·期末）已知圆C：. (1)若直线l过点）且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【解题思路】（1）先判断点在圆C外，当切线斜率存在时，利用圆心到直线距离为半径列式求解斜率即可，当直线斜率不存在时，与圆相切，即可求解. （2）设直线l的方程为，求出圆心到直线l的距离，结合弦长公式利用基本不等式求解面积的最大值，求出，列式求解，即可求出直线方程. 【解答过程】（1）因为，所以点在圆C外， 当切线斜率存在时，可设直线方程为：，即. 因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为2，即，解的， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，即，此时满足直线与圆相切. 综上可知直线l的方程为或. （2）因为直线与圆相交，所以斜率k存在，且. 设直线l的方程为，即， 所以圆心到直线l的距离， 故可得， 当且仅当时等号成立， 此时，解的或. 所以直线的方程为：或. 24．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知三点，，在圆上，点为圆心． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据圆的对称性可确定圆心为线段垂直平分线的交点，由此可求得圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程； （2）根据垂直关系可求得切线长，根据四边形面积可求得结果. 【解答过程】（1）由圆的对称性可知：圆心为线段垂直平分线的交点， ，线段中点为，线段垂直平分线方程为：，即， 又线段的垂直平分线为，，圆的半径， 圆的方程为：. （2） ，，， ，， 四边形的面积. 25．（25-26高二上·安徽·期中）已知圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）若过点的直线与圆交于、两点，且，求四边形的面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【解题思路】（1）根据题意，设，，利用直线与圆相切，利用几何法可得出关于的等式，可求出的值，由此可得出圆的方程； （2）（i）分析可知的面积为，利用三角形的面积公式可求出的大小，分析可知直线的斜率存在，设该直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解出的值即可； （ii）对两直线的斜率是否存在进行分类讨论，求出、，再利用四边形的面积公式可求得的最小值. 【解答过程】（1）设点，， 因为圆与直线相切， 所以点到该直线的距离为，因为，解得， 故圆的方程为. （2）（i）因为的面积为，，所以的面积为， 即，所以， 若，则圆心到直线的距离为，不合乎题意， 若，则圆心到直线的距离为，合乎题意， 所以圆心到直线的距离为， 易知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得，即直线的斜率为. （ii）当、中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为， 此时；    当直线、的斜率都存在时， 设直线的方程为，则直线的方程为， 所以点到直线的距离为，则， 同理可得， 所以 ， 综上所述，，即四边形面积的最小值为. 题型六 直线与圆有关的最值问题 26．（25-26高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【解题思路】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【解答过程】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 27．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）计算线段的垂直平分线，再计算线段的垂直平分线与直线交点得到圆心，再计算半径得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案； （3）设，原问题转化为求的最大值，当直线与圆相切时，能取得最值，再结合点到直线的距离公式得解. 【解答过程】（1）因为，， 所以，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即， 联立，解得，所以圆心的坐标为， 又圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以，满足条件； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 又，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （3）设，则求的最大值即求的最大值， 当直线与圆相切时，能取最值， 此时圆心到该直线的距离为，即， 解得或， 所以的最大值为，即的最大值为    28．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最小值为，点的坐标为 【解题思路】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程； （2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值， 求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值. 【解答过程】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. （2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 29．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【解答过程】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 30．（25-26高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)7 【解题思路】（1）根据动点与点的距离是它与原点的距离的2倍，由化简求解； （2）设，代入，得到，利用判别式求解； （3）当AB和CD的斜率都存在和AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0，设直线AB方程为：，分别求得弦长AB和CD，再由四边形ACBD的面积为求解. 【解答过程】（1）因为动点与点的距离是它与原点的距离的2倍， 所以， 即， ； （2）设，则，代入， 得， 由，得， 解得，即， 所以的最小值为； （3）当AB和CD的斜率都存在时，设直线AB方程为：， 则直线CD的方程为：， 已知轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 则圆心到直线的距离为， 所以，同理， 所以四边形ACBD的面积为：， ； 当AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0， 此时 ， 所以四边形ACBD的面积为， 当，即时，四边形ACBD的面积的最大值是7. 题型七 直线与圆中的定点定值问题 31．（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由圆心在直线上，可设圆心坐标，由圆心到切线的距离等于半径列方程解得a后可得圆方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在时，可设，由已知求出，但此直线与圆无交点，不合题意；直线l的斜率存在．设直线l的方程，把已知用坐标表示出来，记为①式，由直线与圆相交，直线方程与圆方程联立，消元后应用韦达定理得，代入①式，得出的关系式，代入直线方程整理可得直线过的定点的坐标． 【解答过程】（1）因为圆心在直线上，所以设， 因为圆C经过点，所以圆C的半径， 因为圆C和直线相切，所以圆C的半径， 所以. 化简，得，解得. 所以，半径. 所以圆C的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则可设， 所以， 消去得，再代入不存在， 所以直线的斜率存在. 设直线的方程， 所以， 整理得， ① 直线方程与圆C方程联立，， 消去y得， 所以代入 ① 得， 由于，整理得，即， 所以直线l的方程为，即， 令，解得， 所以直线l过一个定点，该定点坐标为. 32．（25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知圆，直线：.记直线与圆交于两点， (1)当时，求直线的方程； (2)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用圆心距来求弦长，即可由点到直线的距离公式求解直线方程； （2）由直线：可知直线斜率一定存在，然后将直线方程与圆联立方程组，利用根与系数关系来求解定值即可. 【解答过程】（1）由圆心原点到直线的距离， 结合弦长公式：，可得，解得， 所以，解得， 即可得直线方程为：， （2）由题意知，， 因为直线，所以直线的斜率一定存在； 直线方程化简得， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以 综上，为定值. 33．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知圆的方程为． (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知，直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)直线经过定点，该定点的坐标为 【解题思路】（1）根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标. 【解答过程】（1）圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆C的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得，则切线方程为，即． 过点的圆C的切线方程为或． （2）点在圆：上． 若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为， 此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，， 联立方程组，整理得， 则，． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以，故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．    34．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知点，圆．直线与圆相交于A、B两点，． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若线段AB的中点为，的轨迹为曲线，过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【解题思路】（1）先求出圆心到直线的距离，考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式得到方程，求出答案； （2）先求出曲线的方程，设直线的方程。点、，联立曲线的方程，得到两根之和，两根之积，表达出. 【解答过程】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； 由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、，    联立方程，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所有为定值． 35．（25-26高一下·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)当直线与圆相切时，求实数的值． (3)若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)为点时，为定值 【解题思路】（1）设圆心坐标为 ，由题意可得，且，可求得圆心坐标与半径，进而可求得圆的方程； （2）由题意可得，求解即可； （3）由题意可得直线经过定点，设过的直线与圆的切点为， 可得，当为定点，符合题意. 【解答过程】（1）设圆心坐标为 ，因为圆心在直线 上， 则， 因为利用圆经过点和，所以， 两边平方后得， 整理得，又，解得，，所以圆心为， 的以圆的半径， 所以圆的标准方程为； （2）因为， 由题意可得 的距离为，所以 两边平方，化简得，解得或； （3）直线的方程为 即， 由，解得，所以直线经过定点， 又，所以点在圆外， 设过的直线与圆的切点为， 则有，又， 所以 所以当为定点时，为定值. 题型八 直线与圆的实际应用 36．（25-26高二上·广西百色·期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 【答案】(1) (2)4辆 【解题思路】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可求得圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【解答过程】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在的圆的圆心在y轴上， 设圆心为，设该圆的半径为r米，又，     则，∴，     ∴，     ∴圆弧所在的圆的方程为. （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米， ∴，∴     若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 故该隧道不能并排通过5辆该种汽车，     若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 则该隧道可以并排通过4辆该种汽车，     综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. 37．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【解题思路】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【解答过程】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 38．（25-26高二上·上海·期中）某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米. (1)求圆弧所在圆的半径的长度； (2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米. 【答案】(1)半径为； (2)3.5米 【解题思路】（1）以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设圆的方程为，通过，在圆上，求出参数值，即可得到半径； （2）设限高为，作交圆弧于，则，将的横坐标代入圆的方程，求出，然后求出限高． 【解答过程】（1）由题，设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的直角坐标系， 因为，和为相对的两个车道，侧墙面米，弧顶高米， 则，，， 易知圆心在轴上，设圆的方程为， 又，在圆上，则， 解得：，， 所以，圆弧所在圆的半径为； （2）设限高为，作交圆弧于，则， 由（1）知，圆的方程为：， 将的横坐标代入圆的方程， 有，解得：或（舍， 所以， 即车辆通过隧道的限制高度是3.5米． 39．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 【答案】(1) (2)追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截，理由见解析 【解题思路】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人，根据追踪机器人与目标机器人速度之比为列出方程即可得解； （2）判断点的轨迹圆与直线的位置关系即可得出结论. 【解答过程】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为， 所以相遇时， 所以， 即两机器人相遇点的轨迹方程为； （2）点的轨迹圆的圆心为，半径， 因为圆心到的距离， 所以点的轨迹圆与相交， 则相遇点会出现在安全区外， 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截. 40．（25-26高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【解题思路】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【解答过程】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $