专题01 第2章 圆与方程（思维导图+知识清单+三大易错点总结）（举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 以思维导图+知识清单+易错点总结构建圆与方程系统训练，整合定义-方程-位置关系逻辑链，提炼几何法与代数法双重解题路径，培养几何直观与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的方程|5知识点+1典例|定义法/直接法求轨迹方程，标准方程与一般方程互化|从圆的定义出发，推导方程形式，建立点与圆位置关系判定体系| |直线与圆位置关系|3知识点+1典例|几何法（d与r关系）、代数法（Δ判断）求切线和弦长|以位置关系为核心，关联切线方程公式与弦长计算的勾股定理应用| |圆与圆位置关系|4知识点+1典例|圆心距与半径比较判断位置，公共弦方程及圆系应用|通过圆心距与半径关系构建位置判定模型，延伸公切线与公共弦问题| |易错点总结|3易错点+3典例+12跟踪训练|二元二次方程表示圆的条件，方程变形等价性，公切线条数判断|针对概念理解偏差，强化定义应用与几何性质的严谨性|

专题01 第2章 圆与方程（思维导图+知识清单+三大易错点总结） 【苏教版】 2.1 圆的方程 【知识点1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F. 【知识点2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程的关系 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 2．二元二次方程表示圆的条件 二元二次方程表示圆的条件是. 【知识点3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【知识点4 轨迹方程】 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【知识点5 与圆有关的对称问题】 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 2.2 直线与圆的位置关系 【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【知识点2 圆的切线及切线方程】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 【知识点3 圆的弦长】 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 2.3 圆与圆的位置关系 【知识点1 圆与圆的位置关系及判断方法】 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离. 【知识点2 两圆的公切线】 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系. (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【知识点3 两圆的公共弦问题】 1．求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆C1：，① 圆C2：，② ①-②，得，③ 若圆C1与圆C2相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆C1与圆C2的交点，则点满足且，所以 .即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆C1与C2交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. 2．求两圆公共弦长的方法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长. 【知识点4 圆系方程及其应用】 1．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆C1：和C2：的交点的圆系方程是 ().(其中不含有C2： ，注意检验C2是否满足题意，以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【易错点1 忽略了二元二次方程表示圆的条件】 易错点分析：二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 【注】：二元二次方程表示圆的条件是. 【典例1】（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【解答过程】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 【跟踪训练1.1】（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测）方程表示圆的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用方程表示圆的条件，列式计算得解. 【解答过程】由方程表示圆，得， 所以. 故选：D. 【跟踪训练1.2】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断． 【解答过程】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 【跟踪训练1.3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）若方程表示圆，则a的取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】根据一般方程表示圆可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】因为方程表示圆，则，解得， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 【跟踪训练1.4】（25-26高二·全国·随堂练习）下列二元二次方程中，哪些表示圆？如果是圆，求出它的圆心和半径： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析； (5)答案见解析. 【解题思路】（1）根据二次项系数不相等可判断方程不表示圆； （2）配方后可观察是否为圆，若是根据标准方程求圆心与半径； （3）根据方程形式可以直接判断; （4）配方后可判断方程表示圆，并得到圆心半径； （5）配方后方程右边为负数可判断方程不表示圆. 【解答过程】（1）因为的二次项的系数不相等， 所以方程不表示圆. （2）由可化为， 所以方程表示圆心为，半径为的圆. （3）因为不是二元二次方程， 所以方程不表示圆. （4）由可化为， 所以方程表示圆心为，半径为的圆. （5）由可化为， 所以方程不表示圆. 【易错点2 圆的曲线方程变形不等价】 易错点分析：对于直线与部分圆的相交问题，在对曲线方程进行变形时，忽略了变量x，y的取值范围，从而导致变形不等价. 【典例2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，当直线过点时，可得，满足条件；当直线和半圆相切时，由，得，数形结合可得实数的取值范围． 【解答过程】将两边平方整理得， 即曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，如图所示： 当过点时，，满足与有两个不同的公共点； 当直线和半圆相切时，由，得或， 由图知，此时纵截距，即，所以， 故直线与曲线有两个不同的公共点时， 实数的取值范围为. 故选：B. 【跟踪训练2.1】（25-26高二上·福建福州·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出曲线的图象，数形结合可得解． 【解答过程】直线恒过定点， 由，得到 ， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示：    当直线经过点时，与曲线有两个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线有两个公共点， 故选：D. 【跟踪训练2.2】（25-26高二上·重庆黔江·期中）若直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分（包含点和点），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解． 【解答过程】由得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分（包含点和点），    当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离，且， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 可得，则 结合图形可得实数的取值范围是． 故选：A． 【跟踪训练2.3】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）若直线和曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】先判断直线经过定点，再化简曲线方程得半圆，由圆心到直线的距离等于半径和直线经过点分别求出参数的两个临界值，结合图形即可求得其范围. 【解答过程】直线经过定点，而由可得， 即曲线表示圆心在，半径为1的圆在轴上方的部分.作出其图象如下：    由图可知，先考虑两种临界情况： ① 直线与半圆圆弧相切，此时圆心到直线的距离， 解得，由图知； ② 直线经过点时，代入，解得. 要使直线和曲线有两个不同的交点，需使. 故答案为：. 【跟踪训练2.4】（25-26高二上·山东烟台·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】该题为过定点的直线与半圆相交的问题，利用数形结合解出的范围. 【解答过程】整理直线,则直线过定点. 整理曲线得：,其表示以为圆心，半径为2的圆的下半部分（含端点）， 当直线与半圆相切时，有,解得. 若直线过点,将点代入直线，得. 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须使. 故答案为：. 【易错点3 错误判断两圆公切线的条数】 易错点分析：对于两圆的公切线条数问题，没有弄懂两圆的位置关系对两圆的公切线条数的影响，导致结果错误. 【注】：两圆的公切线条数有5种情况： ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 【典例3】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆，圆，则两圆的公切线有（   ）条 A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】判断两圆的位置关系，可得出结论. 【解答过程】将圆化为标准式，得圆心，半径； 圆化为标准式，得圆心，半径. 圆心距， 因为，即， 故两圆相交，则这两圆的公切线有条. 故选：B. 【跟踪训练3.1】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知圆：与圆：的公切线条数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】求出两圆的位置关系，再根据位置关系判断即可． 【解答过程】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 又，故， 得两圆外切，所以两圆的公切线条数为3． 故选：B． 【跟踪训练3.2】（25-26高二上·浙江·期中）已知圆和圆至少有3条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可知两圆相外切或相离，求出两圆的圆心和半径，可得，由此可求出的取值范围. 【解答过程】当圆和圆至少有3条公切线， 所以两圆相外切或相离， 圆的圆心， 圆的圆心， ，， 当两圆相外切时可得，则， 当两圆相离时可得：，则， 则，解得：，又因为，可得. 故选：C. 【跟踪训练3.3】（25-26高二上·吉林·期末）圆和圆的公切线条数为__________. 【答案】4 【解题思路】根据圆的方程确定出两圆的圆心和半径，然后根据圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，由此得到公切线条数. 【解答过程】∵圆，圆， ∴ ∴圆心距， 而两圆半径之和， ∴两个圆相离，则这两个圆的公切线有4条. 故答案为：4. 【跟踪训练3.4】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆与圆有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】利用已知条件得出圆心和半径，再利用公切线条件得出两圆相交，进而列不等式求出实数的取值范围． 【解答过程】圆，圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 又两圆有且仅有2条公切线， 两圆相交，即， ， ，即，由恒成立， 只需解不等式，即，解得， 实数的取值范围为． 故答案为：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 第2章 圆与方程（思维导图+知识清单+三大易错点总结） 【苏教版】 2.1 圆的方程 【知识点1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F. 【知识点2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程的关系 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 2．二元二次方程表示圆的条件 二元二次方程表示圆的条件是. 【知识点3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【知识点4 轨迹方程】 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【知识点5 与圆有关的对称问题】 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 2.2 直线与圆的位置关系 【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【知识点2 圆的切线及切线方程】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 【知识点3 圆的弦长】 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 2.3 圆与圆的位置关系 【知识点1 圆与圆的位置关系及判断方法】 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离. 【知识点2 两圆的公切线】 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系. (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【知识点3 两圆的公共弦问题】 1．求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆C1：，① 圆C2：，② ①-②，得，③ 若圆C1与圆C2相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆C1与圆C2的交点，则点满足且，所以 .即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆C1与C2交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. 2．求两圆公共弦长的方法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长. 【知识点4 圆系方程及其应用】 1．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆C1：和C2：的交点的圆系方程是 ().(其中不含有C2： ，注意检验C2是否满足题意，以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【易错点1 忽略了二元二次方程表示圆的条件】 易错点分析：二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 【注】：二元二次方程表示圆的条件是. 【典例1】（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.1】（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测）方程表示圆的条件是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.2】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）若方程表示圆，则a的取值范围为___________． 【跟踪训练1.4】（25-26高二·全国·随堂练习）下列二元二次方程中，哪些表示圆？如果是圆，求出它的圆心和半径： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5). 【易错点2 圆的曲线方程变形不等价】 易错点分析：对于直线与部分圆的相交问题，在对曲线方程进行变形时，忽略了变量x，y的取值范围，从而导致变形不等价. 【典例2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.1】（25-26高二上·福建福州·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.2】（25-26高二上·重庆黔江·期中）若直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.3】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）若直线和曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________. 【跟踪训练2.4】（25-26高二上·山东烟台·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为__________. 【易错点3 错误判断两圆公切线的条数】 易错点分析：对于两圆的公切线条数问题，没有弄懂两圆的位置关系对两圆的公切线条数的影响，导致结果错误. 【注】：两圆的公切线条数有5种情况： ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 【典例3】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆，圆，则两圆的公切线有（   ）条 A． B． C． D． 【跟踪训练3.1】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知圆：与圆：的公切线条数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪训练3.2】（25-26高二上·浙江·期中）已知圆和圆至少有3条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.3】（25-26高二上·吉林·期末）圆和圆的公切线条数为__________. 【跟踪训练3.4】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆与圆有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为___________． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $