2.3 圆与圆的位置关系 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学“圆与圆的位置关系”同步练，通过基础判断、综合应用到拓展探究的三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|单一位置关系判断|单选直接应用圆心距与半径关系（如第1题）| |综合应用|参数范围与几何性质综合|多选/填空结合对称、公共弦（如第8题）| |拓展探究|多知识点证明与应用|解答题需推理证明与方程构建（如第12题）|

2．3　圆与圆的位置关系 一、 单项选择题 1 (2025河南期中)圆C1：x2＋(y－3)2＝5与圆C2：x2＋y2－8x＋10＝0的位置关系为(　　) A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 2 若圆C1：(x－a)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2＝25相交，则实数a的取值范围是(　　) A. (4，6) B. [4，6] C. (－6，－4)∪(4，6) D. [－6，－4]∪[4，6] 3 (2025渑池二中期中)圆C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝4与圆C2：(x－3)2＋y2＝9的公切线的条数为(　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4 (2025启东中学月考)经过点(2，－2)以及圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2＝4交点的圆的圆心坐标为(　　) A. (－3，0) B. C. (0，3) D. 5 若圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离都为2，则实数a的取值范围是(　　) A. (－2，0)∪(0，2) B. (－2，2) C. (－1，0)∪(0，1) D. (－1，1) 6 已知圆C1：x2＋y2－2x－6y＝0，圆C2：x2＋y2＋mx＋ny＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则m＋3n的值为(　　) A. 20 B. －20 C. 10 D. －10 二、 多项选择题 7 (2025邵阳海谊中学期中)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－a)2＝9有且只有一个公共点，则实数a的值可能是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8 (2025唐山一中期中)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－6＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，则下列结论中正确的是(　　) A. 两圆的圆心距为2 B. 两圆的公切线有2条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0 D. 两圆圆心所在的直线方程为2x＋y＋3＝0 三、 填空题 9 (2025天津一中)已知圆A：(x－m)2＋(y－1)2＝9和圆B：(x－2)2＋(y－m)2＝4有3条公切线，则实数m的值是________． 10 已知圆C1：x2＋y2－4＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________． 11 (2025福建师大附中期中)在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，使得点P关于直线y＝x的对称点Q在圆C2：(x－4)2＋y2＝4上，则r的取值范围是________． 四、 解答题 12 已知圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0. (1) 求证：圆C1与圆C2相交； (2) 求经过两圆交点，且圆心在直线x＋y－6＝0上的圆的方程． 13 (2025咸阳实验中学期中)已知圆P的方程为x2＋y2－6x＋2y＋a＝0，其中a∈R. (1) 若圆P和圆O：x2＋y2＝4的公共弦长为，求实数a的值； (2) 若过点(－1，4)的圆Q与圆P相切，切点为(2，1)，求圆Q的标准方程． 2．3　圆与圆的位置关系 1. A　由题意，得C1(0，3)，C2(4，0)，两圆的半径分别为，，所以C1C2＝＝5>＋，故两圆外离． 2. C　由圆的方程可知C1C2＝|a|，r1＋r2＝1＋5＝6，r2－r1＝5－1＝4，所以根据两圆相交可得4<|a|<6，解得4<a<6或－6<a<－4. 3. A　由题意，得圆C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝4，圆心为 C1(－2，1)，半径为2；圆C2：(x－3)2＋y2＝9，圆心为 C2(3，0)，半径为3，则两圆的圆心距为＝>2＋3，所以两圆相离，故两圆的公切线有4条． 4. B　设经过两圆x2＋y2－6x＝0与x2＋y2＝4交点的圆的方程为x2＋y2－6x＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1).因为该圆经过点(2，－2)，所以22＋(－2)2－6×2＋λ[22＋(－2)2－4]＝0，解得λ＝1，所以x2＋y2－3x－2＝0，故圆心坐标为. 5. A　由题意，得圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．因为OC＝，所以 1＜＜3，解得－2＜a＜0或0＜a＜2. 6. B　由圆C1：x2＋y2－2x－6y＝0，得(x－1)2＋(y－3)2＝10，所以圆心为(1，3)，半径为.若圆C2平分圆C1的周长，则圆C1的圆心(1，3)在圆C2与圆C1的公共弦上．将圆C2：x2＋y2＋mx＋ny＝0与圆C1：x2＋y2－2x－6y＝0作差，得两圆公共弦所在直线方程(m＋2)x＋(n＋6)y＝0，将点(1，3)代入，得(m＋2)×1＋(n＋6)×3＝0，所以m＋3n＝－20. 7. BD　由题意，得圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝1；圆C2：x2＋(y－a)2＝9的圆心为C2(0，a)，半径为r2＝3.因为两圆只有一个公共点，所以两圆内切或外切，当两圆外切时，C1C2＝|a|＝r1＋r2＝4；当两圆内切时，C1C2＝|a|＝r2－r1＝2，则a＝±2或a＝±4.故选BD. 8. ABD　由题意，得圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝8，圆心为C1(－1，－1)，半径r1＝2；圆C2的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圆心为C2(1，－5)，半径r2＝5.对于A，圆心距为＝＝2，故A正确；对于B，r1＋r2＝7，|r1－r2|＝3.因为3<2<7，所以两圆相交，则公切线有2条，故B正确；对于C，两圆方程相减，得4x－8y＋18＝0，即2x－4y＋9＝0，故C错误；对于D，圆心连线的斜率为＝－2，其方程为y＋1＝－2(x＋1)，化简得2x＋y＋3＝0，故D正确．故选ABD. 9. －2或5　由题意，得圆A的圆心为A(m，1)，半径为r1＝3；圆B的圆心为B(2，m)，半径为r2＝2.因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，所以AB＝r1＋r2，即＝5，解得m＝－2或m＝5. 10. 2　由两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.因为圆心C1(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝，所以公共弦长为2＝2. 11. [3，7]　由题意，得圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝r2(r>0)的圆心为C1(－4，1)，设点C1(－4，1)关于直线y＝x的对称点为C3(a，b)，则解得所以点C1(－4，1)关于直线y＝x的对称点为C3(1，－4).由题意，得以点C3为圆心，以r为半径的圆与圆C2有公共点．由圆C2的方程知，圆心为C2(4，0)，半径为2，所以|r－2|≤C2C3≤r＋2，即|r－2|≤5≤r＋2，解得3≤r≤7，所以r的取值范围是[3，7]. 12. (1) 圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝16， 所以圆心为C2(－1，－1)，半径为r＝4. 因为圆C1：x2＋y2＝10的圆心坐标为C1(0，0)，半径为 R＝， 所以C1C2＝. 因为4－<<4＋， 所以两圆相交． (2) 由解得或 则交点为A(3，－1)，B(－1，3). 由圆心在直线x＋y－6＝0上，设圆心为P(6－n，n)，则AP＝BP，即＝， 解得n＝3， 所以圆心为P(3，3)，半径为AP＝4， 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝16. 13. (1) 因为圆P的方程为x2＋y2－6x＋2y＋a＝0， 所以(－6)2＋22－4a>0，解得a<10. 将两圆方程作差可得6x－2y－a－4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程． 圆O的圆心为O(0，0)，半径为r＝2. 由勾股定理可知，圆心O到直线6x－2y－a－4＝0的距离为d＝＝. 由点到直线的距离公式可得d＝＝， 解得a＝6或a＝－14. (2) 由题意，得点(2，1)在圆P上， 则22＋12－6×2＋2×1＋a＝0，解得a＝5， 故圆P的方程为x2＋y2－6x＋2y＋5＝0，其标准方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝5, 设点A(－1，4)，B(2，1)， 由圆的几何性质可知，圆心Q在直线PB上． 因为kPB＝＝－2， 所以直线PB的方程为y－1＝－2(x－2)，即y＝－2x＋5. 因为圆Q过A，B两点， 所以圆心Q在线段AB的垂直平分线上． 线段AB的中点为M，kAB＝＝－1， 则线段AB的垂直平分线的方程为y－＝x－，即y＝x＋2， 联立解得即圆心Q(1，3)， 所以圆Q的半径为QB＝＝， 故圆Q的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $