专题2.2 直线与圆的位置关系（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理位置关系判定（相交、相切、相离的代数与几何法）、切线方程求解、弦长计算等基础内容，延伸至最值问题、实际应用等综合题型，构建从基础到进阶的学习支架。 资料设计亮点在于13个题型均配备例题与变式题，通过举一反三培养学生数学思维（推理能力、运算能力），结合拱桥、轮船监测等实际问题渗透数学眼光，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺、强化应用。

专题2.2 直线与圆的位置关系（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 2 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 3 【题型3 圆上的点到直线距离个数问题】 5 【题型4 圆的切线方程的求解】 7 【题型5 圆的切线长问题】 9 【题型6 已知切线求参数】 12 【题型7 求圆的弦长与中点弦】 16 【题型8 已知圆的弦长求方程或参数】 18 【题型9 直线与部分圆的相交问题】 20 【题型10 直线与圆中的面积问题】 24 【题型11 直线与圆有关的最值问题】 26 【题型12 直线与圆的方程的实际应用】 30 【题型13 直线与圆中的定点定值问题】 33 考点1 直线与圆的位置关系及判定 知识点1 直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【解题思路】由圆的方程可得圆心以及半径，利用点到直线距离计算圆心到直线的距离，将其与半径进行比较，可得答案. 【解答过程】由圆可知：圆心为，半径， 圆心到直线的距离为，由，则直线与圆相交. 故选：A. 【变式1.1】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知，直线，则直线与的位置关系（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【解题思路】先求出直线经过的定点坐标，判断点与圆的位置关系即可得出结论. 【解答过程】将代入直线中有，解得， 所以直线恒过点， 代入方程得， 所以点在内部，所以直线与相交， 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·广东湛江·期末）直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【解题思路】先求出圆心及半径，再应用圆心到直线距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【解答过程】圆C的圆心坐标为，半径为2， 直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C的位置关系是相交. 故选:A. 【变式1.3】（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知直线l：与圆C：，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定的 【答案】C 【解题思路】由直线方程确定所过的定点坐标，再判断该点与圆的位置关系，即可得. 【解答过程】因为直线为，即， 由，得，则直线过定点. 因为，所以点在圆的内部，则直线与圆相交. 故选：C. 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直线与圆有公共点，说明圆心到直线的距离小于等于圆的半径，然后列出不等式求解. 【解答过程】因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于圆的半径，即，即，解得. 故选：C. 【变式2.1】（25-26高二上·贵州黔东南·期末）若直线与圆相离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直接根据直线与圆的位置关系性质即可求解． 【解答过程】圆的半径为，圆心为， 圆心到直线的距离为， 由题意可知有， 解得或，即． 故选：D． 【变式2.2】（25-26高二上·四川绵阳·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】由圆的方程确定圆心坐标和半径，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于圆的半径，列方程求. 【解答过程】方程可化为， 所以圆的圆心的坐标为，半径， 因为直线:与圆:相切， 所以点到直线的距离， 所以， 解得，或， 故选：A. 【变式2.3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将圆的一般式方程整理为标准方程，确定其圆心及半径，使圆心到直线的距离小于半径即可. 【解答过程】圆的方程可整理为：， 因此圆心，半径. 因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离， 得，即. 故选：C. 【题型3 圆上的点到直线距离个数问题】 【例3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，确定圆心到直线的距离的取值范围，根据点到直线的距离公式及不等式的性质，求得的取值范围. 【解答过程】由题意，圆的圆心为，半径， 圆心到直线，即的距离， 由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个， 得，即， 解得或． 故选：C． 【变式3.1】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】先求圆心到直线的距离，再结合半径关系判断即可. 【解答过程】由题知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为，， 所以圆上到直线的距离等于1的点的个数为2. 故选：B. 【变式3.2】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）若圆上到直线的距离为1的点恰有三个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得点到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式计算即可求解. 【解答过程】由题意知，圆心为，半径为， 因为圆上有3个点到直线的距离为1， 所以点到直线的距离为， 即，解得. 故选：D. 【变式3.3】（25-26高二上·贵州遵义·期中）若圆上至少有3个点到直线的距离为3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求得圆心到直线的距离为，结合题意，得到，进而求得的取值范围，得到答案. 【解答过程】由圆，可化为， 则圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 要使得圆上至少有3个点到直线的距离为3，则满足， 即，可得，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 考点2 圆的切线及切线方程 知识点2 圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，从而得，写出直线的点斜式方程，再化成一般式即可. 【解答过程】圆的圆心为， 则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直， 即， 所以，    则切线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 故选：C. 【变式4.1】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解题思路】利用切线定义结合点到直线距离公式，分斜率存在与不存在讨论即可得. 【解答过程】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离， 解得，则； 综上所述：的方程为或. 故选：A. 【变式4.2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求圆心C，和切线垂直，求出切线斜率，然后求直线方程. 【解答过程】由题意得：圆心，所以，且，解得. 所以直线的方程为：，化简得：. 故选：C. 【变式4.3】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点与圆 相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解题思路】分为切线的斜率是否存在两种情况，结合直线与圆相切的条件列式即可得到答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆 相切的直线方程是或. 故选：D. 【题型5 圆的切线长问题】 【例5】（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知圆，过直线与轴的交点向圆引切线，切点为，则长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出圆心和半径及，根据切线长公式求得结果． 【解答过程】直线与轴的交点， 圆，即， 则圆心，半径， ， 故切线长， 故选：C． 【变式5.1】（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知当与直线垂直时，取最小值，利用点到直线的距离公式可求出的最小值，结合勾股定理可求得的最小值. 【解答过程】连接，则，如下图所示： 圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得， 所以当取最小值时，取最小值， 故当与直线垂直时，取最小值， 即的最小值为， 所以. 故选：B. 【变式5.2】（25-26高二上·河北张家口·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设切点为，连接，则，求出的值，结合勾股定理可求得切线长为. 【解答过程】设切点为，连接，则，如图所示：    圆心为，半径为，， 故切线长为. 故选：D. 【变式5.3】（25-26高二上·河南焦作·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设切点为，连接、，则，利用勾股定理和二次函数的基本性质可求得的最小值. 【解答过程】设切点为，连接、，则， 易知圆心为，圆的半径为， 由勾股定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，故切线长的最小值为. 故选：D. 【题型6 已知切线求参数】 【例6】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据方程表示圆以及点与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【解答过程】由圆的一般式方程知：， 所以，，即，解得或， 又知过点可作两条切线，得点在圆外， 即，即，综上可知：. 故选：A. 【变式6.1】（2026·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意得圆心到直线l的距离，解该不等式即可得解. 【解答过程】因为圆的半径为， 且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且， 所以圆心到直线l的距离，解得或， 故实数的取值范围是. 故选：D. 【变式6.2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）过点与圆相切的两条直线垂直，则（    ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【解题思路】根据圆的切线性质、正方形的判定定理进行求解即可. 【解答过程】， 设该圆的圆心为，半径为，设点为点， 如图所示：过与圆相切的直线为，切点为， 连接，显然， 由题意可知相切的两条直线垂直， 所以四边形是矩形，又因为， 所以四边形是正方形， 因此有， 故选：D.    【变式6.3】（2026·重庆·模拟预测）已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意求出，转化为直线上存在与C距离为2的点，利用点到直线距离建立不等式求解即可. 【解答过程】由可得， 圆心，半径， 过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N， 连接，如图， 由知，，又， 所以， 由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可， 即圆心到直线的距离， 解得， 故选：C. 考点3 圆的弦长 知识点3 圆的弦长 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型7 求圆的弦长与中点弦】 【例7】（25-26高二上·山东淄博·期末）已知直线与圆相交于，两点，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D． 【答案】A 【解题思路】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，最后根据计算可得. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以. 故选：A. 【变式7.1】（25-26高二上·甘肃天水·期末）已知直线，圆，则直线被圆截得的弦长是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【解题思路】利用圆心到直线的距离，半径，弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理可求出弦长. 【解答过程】圆， 所以圆的半径，圆心为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：. 【变式7.2】（25-26高二上·四川成都·期末）已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线与圆C相交于两点，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意，设，利用圆的弦的性质建立方程，化简计算即得圆C的方程； （2）利用（1）中求得的圆的方程，结合弦长公式计算即得. 【解答过程】（1）由于圆C的圆心在直线上， 所以设， 因为圆C过点和点， 所以， 即，解得， 即圆心坐标为，所以半径， 所以圆C的方程为. （2）依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆C相交于两点， 所以弦长. 【变式7.3】（25-26高二上·云南昭通·期中）已知圆的方程为，直线经过圆的圆心，且倾斜角． (1)求直线的方程； (2)过点的直线与垂直，且直线与圆交于两点，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将圆化为标准方程得出圆心坐标，再利用点斜式求方程； （2）求出直线的方程，再利用几何法求弦长. 【解答过程】（1）由题意得，圆C的标准方程为，所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线的方程为， 即； （2）直线的斜率为，则直线的斜率为， 因为直线过点，所以直线m的方程为，即， 圆心到直线m的距离为， 所以弦AB的长为． 【题型8 已知圆的弦长求方程或参数】 【例8】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】由直线斜率存在和不存在结合弦长公式即可求解. 【解答过程】圆的标准方程为，圆心，半径. 当的斜率不存在时，，此时的方程为； 当的斜率存在时，设的方程为， 由，解得，此时的方程为. 综上，直线的方程为或. 故选：C. 【变式8.1】（25-26高二上·江苏南京·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【解答过程】圆的圆心，半径为， 设圆心到直线的距离， 由直线被圆截得的弦长为，得，所以. 故选：C. 【变式8.2】（25-26高二上·江西萍乡·期中）已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）联立两直线方程，可得点坐标，由题意，设圆心，则，根据两点间距离公式，求出值，可得圆心和半径，即可得答案. （2）根据弦长公式，可得圆心到直线l的距离，分别讨论垂直轴和不垂直轴两种情况，根据点到直线的距离公式，分析求解，综合即可得答案. 【解答过程】（1）联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 （2）因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 【变式8.3】（25-26高二上·江苏连云港·期末）设为实数，若直线与圆相交于，两点，弦的中点为． (1)求m的取值范围； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）把圆化为标准形式，利用半径大于0及点与圆的位置关系构造不等式求的取值范围； （2）利用弦的中点的几何性质得出垂直关系求出直线斜率，进而求出直线方程． 【解答过程】（1）圆的标准方程为， ，解得， 又点在圆内，即，解得， 的取值范围为． （2） 圆心为与点为中点， ， 设直线的斜率为，则，解得， 直线的方程为，即． 【题型9 直线与部分圆的相交问题】 【例9】（25-26高二上·广东韶关·期末）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题意对条件合理转化，并作出符合题意的图形，再利用直线和半圆的位置关系求解参数范围即可. 【解答过程】由题意得，直线可化为， 可得直线过定点，将曲线化为， 则曲线表示以原点为圆心，半径为2，且位于轴上方的半圆， 如图所示，当直线过点时， 直线与曲线有两个不同的交点，此时， 当直线过点且与半圆相切于点时， 若直线与曲线只有一个交点，由，解得，即， 若曲线与直线有两个交点，结合图形可得， 则实数的取值范围是. 故选：D. 【变式9.1】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知曲线与直线有两个公共点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先得到曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆，求出恒过定点，把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数k的取值范围即可. 【解答过程】由题意得，变形得到， 故曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆， 而恒过定点，把半圆和直线画出，如下： 当过点时，满足两个相异的交点， 且此时取得最大值，最大值为， 当与相切时， 由到直线距离等于半径可得，解得， 故要想曲线与直线有两个相异的交点， 则，故D正确. 故选：D. 【变式9.2】（25-26高二上·河北·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出直线的定点，然后结合图像，确定临界条件，进而求出结果. 【解答过程】直线可转化为，所以直线过定点，斜率为， 又曲线可转化为：，. 画出直线与曲线图象如图所示. 数形结合可得直线在，处产生临界条件， 设直线，的斜率分别为，. 点，则，设直线的方程为， 即，圆心到直线的距离为，解得， 所以要使直线和曲线有两个不同的交点，则. 故选：D. 【变式9.3】（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先得到曲线是以为圆心、为半径的圆的一半，然后结合题意绘出满足题意的图象，最后根据图象进行计算即可得出结果． 【解答过程】因为，即，则， 化简可得， 而，则，即， 即曲线是以为圆心、为半径的圆的一半， 结合题意可绘出图象，如图所示：    当直线过点时，； 当直线与半圆 刚好相切时， 圆心到直线距离等于半径，即，解得或（舍去）， 故实数的取值范围是. 故选：B. 【题型10 直线与圆中的面积问题】 【例10】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于两点，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论. 【解答过程】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内， 圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示： 圆心到直线的距离为，所以， 又，可得； 因此可得， 所以的面积为. 故选：B. 【变式10.1】（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【解答过程】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，    ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A. 【变式10.2】（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）已知三点，记的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆的一般方程为，将三点代入得到方程组，求出，即可得到圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，即可求出的面积. 【解答过程】（1）设圆的一般方程为， 将三点代入上式可得，， 解得， 所以圆的一般方程为 将其化为标准方程为； （2）由（1）可知，圆心，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 【变式10.3】（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点. (1)求圆的方程； (2)若从点向圆引两条切线，切点分别为M，N，求四边形AMCN的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求得抛物线与坐标轴的三个交点为，再待定系数求解即可； （2）先求得点到圆心的距离，进而求得切线长，再根据计算面积即可. 【解答过程】（1）解：对于，令得或，令得； ∴抛物线与坐标轴的三个交点为， 设圆的方程为， ∴，解得，满足， ∴圆的方程为 （2）解：将圆的方程化为标准方程得， ∴圆的圆心为，， ∴点到圆心的距离为， ∴切线长为， ∴四边形AMCN的面积为， 即四边形AMCN的面积为. 【题型11 直线与圆有关的最值问题】 【例11】（2026·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【解答过程】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式11.1】（25-26高三·全国·暑假作业）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包含边界）的动点，则的最小值为（    ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【解答过程】表示点与点连线的斜率， 由题图可知，过点且与以为圆心，为半径的半圆（轴右侧）相切的一条切线的斜率最小， 设切线方程为，即， 由，解得（舍去）或， 所以的最小值是. 故选：B. 【变式11.2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)或； (2)四边形面积的最小值为， 【解题思路】（1）设出圆心坐标，利用半径相等得到方程，求出，进而确定圆心和半径，得到圆的方程； （2）由对称性可知，四边形的面积，且当最小时，切线长最短，由点到直线距离公式得到的最小值，从而求出最小值，从而求出面积的最小值，并根据垂直关系求出直线方程为，联立求出点的坐标. 【解答过程】（1）圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为， 则，解得， 故半径为， 故圆C的方程为； 由已知得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或. （2）当时，直线l的方程为， 如图，圆的半径为，即，其中， 由对称性可知，四边形的面积. 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短， 显然当时，，所以， 四边形的面积的最小值， 直线的斜率为，由垂直关系可知此时， 又，故直线方程为，即， 联立与得，即.    【变式11.3】（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）转化为直线与圆有公共点，即可得解； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【解答过程】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 【题型12 直线与圆的方程的实际应用】 【例12】（25-26高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【解题思路】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【解答过程】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C. 【变式12.1】（25-26高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【解题思路】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【解答过程】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船监测到的时间是0.5小时． 故选：C． 【变式12.2】（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【解答过程】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B. 【变式12.3】（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线及圆的方程，利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式求解即得. 【解答过程】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 则直线，即，圆， 记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为， 则，所以被监测的时长为分钟. 故选：C.    【题型13 直线与圆中的定点定值问题】 【例13】（25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知圆，直线：.记直线与圆交于两点， (1)当时，求直线的方程； (2)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用圆心距来求弦长，即可由点到直线的距离公式求解直线方程； （2）由直线：可知直线斜率一定存在，然后将直线方程与圆联立方程组，利用根与系数关系来求解定值即可. 【解答过程】（1）由圆心原点到直线的距离， 结合弦长公式：，可得，解得， 所以，解得， 即可得直线方程为：， （2）由题意知，， 因为直线，所以直线的斜率一定存在； 直线方程化简得， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以 综上，为定值. 【变式13.1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由圆心在直线上，可设圆心坐标，由圆心到切线的距离等于半径列方程解得a后可得圆方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在时，可设，由已知求出，但此直线与圆无交点，不合题意；直线l的斜率存在．设直线l的方程，把已知用坐标表示出来，记为①式，由直线与圆相交，直线方程与圆方程联立，消元后应用韦达定理得，代入①式，得出的关系式，代入直线方程整理可得直线过的定点的坐标． 【解答过程】（1）因为圆心在直线上，所以设， 因为圆C经过点，所以圆C的半径， 因为圆C和直线相切，所以圆C的半径， 所以. 化简，得，解得. 所以，半径. 所以圆C的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则可设， 所以， 消去得，再代入不存在， 所以直线的斜率存在. 设直线的方程， 所以， 整理得， ① 直线方程与圆C方程联立，， 消去y得， 所以代入 ① 得， 由于，整理得，即， 所以直线l的方程为，即， 令，解得， 所以直线l过一个定点，该定点坐标为. 【变式13.2】（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆的圆心在直线上，且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)设点在上运动，且点满足（为原点）,记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于、两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，且定点为 【解题思路】（1）设点，根据结合两点间的距离公式求出的值，可得出圆心的坐标，求出圆的半径长，即可得出圆的标准方程； （2）（i）设点、，根据平面向量的坐标运算得出，代入等式化简可得曲线的方程； （ii）假设存在满足题设条件的点，设点、，设直线的方程为，将该直线方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，根据求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）因为圆心在直线上，设点， 由题意得，即，解得， 所以圆心为，半径为， 故圆的标准方程为. （2）（i）设点、，由可得， 所以，解得， 因为点在上，所以（*）， 将代入等式（*）得，即， 故曲线的方程为； ②假设存在满足题设条件的点，设点、， 若直线的斜率为零，则直线与轴重合，不合乎题意，    设直线的方程为，联立, 可得， ， 由韦达定理可得，， 直线的斜率为， 同理可得直线的斜率为， 所以 ， 即对任意的恒成立，故，解得， 故在轴正半轴上存在定点，使得轴平分. 【变式13.3】（25-26高一下·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)当直线与圆相切时，求实数的值． (3)若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)为点时，为定值 【解题思路】（1）设圆心坐标为 ，由题意可得，且，可求得圆心坐标与半径，进而可求得圆的方程； （2）由题意可得，求解即可； （3）由题意可得直线经过定点，设过的直线与圆的切点为， 可得，当为定点，符合题意. 【解答过程】（1）设圆心坐标为，因为圆心在直线 上， 则， 因为利用圆经过点和，所以， 两边平方后得， 整理得，又，解得，，所以圆心为， 的以圆的半径， 所以圆的标准方程为； （2）因为， 由题意，直线与圆相切，圆的半径， 可得：圆心到直线的距离为， 所以，两边平方，化简得， 解得或； （3）直线的方程为 即， 由，解得，所以直线经过定点， 又，所以点在圆外， 设过的直线与圆的切点为， 则有，又， 所以 所以当为定点时，为定值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 直线与圆的位置关系（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 2 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 2 【题型3 圆上的点到直线距离个数问题】 3 【题型4 圆的切线方程的求解】 4 【题型5 圆的切线长问题】 4 【题型6 已知切线求参数】 5 【题型7 求圆的弦长与中点弦】 5 【题型8 已知圆的弦长求方程或参数】 7 【题型9 直线与部分圆的相交问题】 8 【题型10 直线与圆中的面积问题】 9 【题型11 直线与圆有关的最值问题】 9 【题型12 直线与圆的方程的实际应用】 11 【题型13 直线与圆中的定点定值问题】 12 考点1 直线与圆的位置关系及判定 知识点1 直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【变式1.1】（25-26高二上·安徽六安·期末）已知，直线，则直线与的位置关系（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【变式1-2】（25-26高二上·广东湛江·期末）直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1.3】（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知直线l：与圆C：，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定的 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·贵州黔东南·期末）若直线与圆相离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·四川绵阳·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2.3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 圆上的点到直线距离个数问题】 【例3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3.2】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）若圆上到直线的距离为1的点恰有三个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高二上·贵州遵义·期中）若圆上至少有3个点到直线的距离为3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点2 圆的切线及切线方程 知识点2 圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式4.2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点与圆 相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【题型5 圆的切线长问题】 【例5】（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知圆，过直线与轴的交点向圆引切线，切点为，则长为（    ） A．3 B． C． D． 【变式5.1】（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高二上·河北张家口·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（   ） A． B． C． D． 【变式5.3】（25-26高二上·河南焦作·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 已知切线求参数】 【例6】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（2026·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）过点与圆相切的两条直线垂直，则（    ） A． B．-1 C．1 D． 【变式6.3】（2026·重庆·模拟预测）已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点3 圆的弦长 知识点3 圆的弦长 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型7 求圆的弦长与中点弦】 【例7】（25-26高二上·山东淄博·期末）已知直线与圆相交于，两点，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D． 【变式7.1】（25-26高二上·甘肃天水·期末）已知直线，圆，则直线被圆截得的弦长是（    ） A． B． C．5 D． 【变式7.2】（25-26高二上·四川成都·期末）已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线与圆C相交于两点，求的值． 【变式7.3】（25-26高二上·云南昭通·期中）已知圆的方程为，直线经过圆的圆心，且倾斜角． (1)求直线的方程； (2)过点的直线与垂直，且直线与圆交于两点，求弦的长． 【题型8 已知圆的弦长求方程或参数】 【例8】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【变式8.1】（25-26高二上·江苏南京·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．2 D． 【变式8.2】（25-26高二上·江西萍乡·期中）已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【变式8.3】（25-26高二上·江苏连云港·期末）设为实数，若直线与圆相交于，两点，弦的中点为． (1)求m的取值范围； (2)求直线的方程． 【题型9 直线与部分圆的相交问题】 【例9】（25-26高二上·广东韶关·期末）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式9.1】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知曲线与直线有两个公共点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9.2】（25-26高二上·河北·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9.3】（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型10 直线与圆中的面积问题】 【例10】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于两点，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式10.1】（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 【变式10.2】（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）已知三点，记的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 【变式10.3】（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点. (1)求圆的方程； (2)若从点向圆引两条切线，切点分别为M，N，求四边形AMCN的面积. 【题型11 直线与圆有关的最值问题】 【例11】（2026·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式11.1】（25-26高三·全国·暑假作业）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包含边界）的动点，则的最小值为（    ） A．-1 B． C． D． 【变式11.2】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【变式11.3】（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 【题型12 直线与圆的方程的实际应用】 【例12】（25-26高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【变式12.1】（25-26高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【变式12.2】（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【变式12.3】（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 【题型13 直线与圆中的定点定值问题】 【例13】（25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知圆，直线：.记直线与圆交于两点， (1)当时，求直线的方程； (2)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【变式13.1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 【变式13.2】（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆的圆心在直线上，且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)设点在上运动，且点满足（为原点）,记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于、两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式13.3】（25-26高一下·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)当直线与圆相切时，求实数的值． (3)若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $