第1章 直线与方程（举一反三单元自测·拔尖卷）高二数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 苏教版高二上《直线与方程》单元拔尖卷，19题覆盖选填解答，通过斜率比较、距离计算等基础题及“将军饮马”文化情境题，考查数学抽象、逻辑推理与模型意识，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|斜率比较、直线位置关系|基础巩固，如第1题结合图像考斜率大小| |多选|3/18|直线截距、平行垂直判定|能力辨析，如第9题综合考查截距与位置关系| |填空|3/15|直线方程、线段交点、文化情境|创新应用，第14题“将军饮马”体现数学文化| |解答|5/77|倾斜角、直线方程、定点与最值|综合提升，第18题考直线过定点及面积最值，培养逻辑推理|

第1章 直线与方程（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设直线，，的倾斜角分别为，，．可得，利用正切函数的单调性即可得出斜率大小关系． 【解答过程】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：D. 2．（5分）（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解题思路】假设，结合平行的性质计算可得，再利用充分条件与必要条件定义即可得解. 【解答过程】若，则，即， 解得或， 当时，，，此时两直线重合，不符合； 当时，，，符合要求； 综上，可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（5分）（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】根据两平行线之间的距离公式求解即可. 【解答过程】因为，即， 所以与之间的距离为， 故选：A. 4．（5分）（25-26高二上·山东淄博·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则 D．直线的纵截距为a 【答案】D 【解题思路】由直线的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断B和C；求出的纵截距后可判断D. 【解答过程】对于A，当时，直线，斜率， 则倾斜角为，故A错误； 对于B，等价于，解得，故B错误； 对于C，若，则，即， 解得，故C错误； 对于D，，当时， 所以直线 的纵截距为，故D正确. 故选：D. 5．（5分）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】通过对截距的取值是否为进行分类，分别设直线方程为和，代入点，即可求解. 【解答过程】设直线的横截距为，纵截距为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，即， 当时，设直线的方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为； 当时，设直线的方程为，即， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或. 故选：C. 6．（5分）（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【解答过程】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 7．（5分）（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【解答过程】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 8．（5分）（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【解答过程】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知直线：， 直线，则下列结论正确的是（    ） A．在轴上的截距为-1 B．过点且不垂直轴 C．若， 则或 D．若， 则 【答案】AD 【解题思路】根据截距的含义、两直线平行、垂直与斜率的关系进行逐项判断计算即可. 【解答过程】对于A：直线，令，则， 所以在轴上的截距为-1，A正确； 对于B：直线，将点代入方程中发现等式左边不为0， 所以该点不在直线上，B错误； 对于C：因为，所以，化简得， 解得或，当时，直线，直线， 两直线重合，C错误； 对于D：因为，所以，即，解得，D正确. 故选：AD. 10．（6分）（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．4 【答案】BCD 【解题思路】不能围成三角形可分为两种情况，一是三条直线交于同一个点，联立方程组即可求得的值.二是三条直线中有两条平行，由平行线斜率相等即可求得的值. 【解答过程】①三条直线交于同一点， 联立方程组得，解得，即. ②三条直线中由两直线平行， ，，， ∵ ∴当时，，即， 当时，，即， ∴， 故选：BCD. 11．（6分）（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为2 C．原点到直线距离的最大值为 D．若直线与直线三条直线有且仅有两个不同的交点，则的值为 【答案】ABD 【解题思路】把直线方程化为斜截式方程，结合点到直线距离公式、直线与直线位置关系逐一判断即可. 【解答过程】，所以直线过定点且在轴上的截距为2， 因此选项AB说法正确； 原点到直线距离为， 由， 所以原点到直线距离的最大值为，所以选项C说法不正确； 直线， 所以这两个直线的斜率分别为，显然两个斜率不相等也不互为负倒数，因此这两条直线相交，， 所以直线的交点为， 又因为直线和直线都过这一点， 所以要想直线与直线有且仅有两个不同的交点， 所以直线一定要和直线平行，且不与直线重合， 故，所以选项D说法正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·天津滨海新区·期末）过点且垂直于的直线方程是__________. 【答案】 【解题思路】根据直线的斜截式方程即可求解斜率，根据垂直的斜率关系，结合点斜式即可求解直线方程. 【解答过程】由，得，所以直线的斜率为. 所以与直线垂直的直线的斜率为， 所以过点且垂直于的直线方程为，即. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】首先求出直线恒过定点，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为直线，所以 令，解得，故直线恒过点，直线的斜率为,    则， 依题意直线与线段有公共点，由图可知或，即 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为____________. 【答案】5 【解题思路】确定点关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【解答过程】若是关于的对称点， 则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：， 当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【解题思路】（1）结合两点斜率公式，根据直线斜率列方程求解即可. （2）结合两点斜率公式和斜率的定义，根据直线斜率列方程求解即可. （3）根据直线的倾斜角为锐角得，利用两点斜率公式列不等式求解即可. 【解答过程】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以； （2）由直线的倾斜角为可知，直线的斜率， 所以，解得； （3）由题意可知，直线的斜率，所以， 即，解得. 16．（15分）（25-26高二上·湖南永州·期中）已知点.求： (1)过点P且在y轴上截距的直线的方程； (2)已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）设该直线的方程为，将点代入，求得，即可求解； （2）求得的方程，根据，列出方程，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为直线在y轴上截距，设该直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得， 所以的方程为. （2）解：易知存在，由，可得， 又由直线，且，可得， 即，解得， 所以实数的值为或. 17．（15分）（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求得直线l1与l2的交点，根据直线的点斜式方程求得直线的方程，并转化为一般式方程； （2）根据平行求出直线l4的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程； （3）根据垂直求出直线l5的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程. 【解答过程】（1）联立直线方程得解得：，∴交点， ∵直线的倾斜角为，∴， ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （2）∵直线与直线平行，∴， ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （3）∵直线与直线垂直，∴，∴， ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. 18．（17分）（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3), ． 【解题思路】（1）根据直线的点斜式方程判断定点即可； （2）根据斜截式方程的意义得即可求得答案； （3）根据题意，进而求得直线在坐标轴上的截距，最后计算面积，并结合基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）解：直线的方程可化为， 根据直线的点斜式方程，可知无论取何值，直线总过定点． （2）解：由题意，直线，即， 因为直线不经过第四象限，所以，解得． 所以的取值范围为 （3）解：由题意知，，当时，，即点， 当时，，即点， 所以，， 所以的面积 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，此时，直线． 19．（17分）（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据直线平行可得方程，解方程即可得解. （2）根据对称可知直线与垂直，中点在上，列出方程，接方程组即可； （3）根据对称可知，再作平行四边形，结合平行四边形性质可转化为求的最小值，即可得解. 【解答过程】（1）由直线与直线平行， 则， 解得或， 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，不成立； 综上所述； （2）由（1）得，其斜率， 设点，则，中点为， 则，解得， 即； （3） 由（2）得点关于直线的对称点为，则， 又，分别在直线，上，且， 则，且， 则， 以，为平行四边形邻边作平行四边形， 则，且， 此时， 所以， 所以当点，，三点共线时， 取得最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 直线与方程（举一反三单元自测·拔尖卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（5分）（25-26高二上·河南·阶段检测）直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 4．（5分）（25-26高二上·山东淄博·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则 D．直线的纵截距为a 5．（5分）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（5分）（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知直线：， 直线，则下列结论正确的是（    ） A．在轴上的截距为-1 B．过点且不垂直轴 C．若， 则或 D．若， 则 10．（6分）（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．4 11．（6分）（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为2 C．原点到直线距离的最大值为 D．若直线与直线三条直线有且仅有两个不同的交点，则的值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·天津滨海新区·期末）过点且垂直于的直线方程是__________. 13．（5分）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是__________． 14．（5分）（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 16．（15分）（25-26高二上·湖南永州·期中）已知点.求： (1)过点P且在y轴上截距的直线的方程； (2)已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 17．（15分）（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 18．（17分）（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19．（17分）（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $