第1章 直线与方程（举一反三单元自测·培优卷）高二数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 苏教版高二上直线与方程单元自测培优卷，120分钟150分，19题覆盖选填解答，通过斜率、距离、反射等问题考查数学思维与几何直观，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线平行垂直（1）、斜率倾斜角（2、6）、距离公式（4）|结合坐标交点（3）、面积最值（8），基础巩固与能力提升结合| |多选|3/18|斜率与倾斜角关系（9）、直线定点与位置关系（10、11）|多选项分层考查推理意识，如纵截距相等条件分析（10D）| |填空|3/15|点到直线距离（12）、三线共点（13）、对称点最值（14）|简洁考查核心公式应用，对称问题体现空间观念| |解答|5/77|平行垂直判定（15）、斜率倾斜角范围（16）、垂直平分线（17）、动直线综合（18）、面积最值（19）|分层设问，如动直线过定点（18）与截距相反数（19），综合考查模型观念与创新意识|

第1章 直线与方程（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知直线，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2或3 D．6或 【答案】A 【解题思路】根据两直线平行得到方程，再验证并结合充要条件的判定即可得到答案. 【解答过程】若，则，解得或3， 当时，，两直线平行， 当时，，两直线重合， 则时，. 故选：A. 2．（5分）（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答. 【解答过程】当直线l的倾斜角为时，直线l的斜率不存在； 当直线l的倾斜角时，直线l的斜率，因， 则当时，，即，当时，，即， 所以直线l的斜率的取值范围是. 故选：D. 3．（5分）（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【解答过程】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A. 4．（5分）（25-26高二上·广东清远·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据平行关系确定直线斜率为，再结合轴截距为得到直线过点，最后用点斜式求出直线方程. 【解答过程】已知直线，变形为，斜率为， 因为所求直线与平行，所以斜率也为， 又因为题干说所求直线在轴上的截距为，说明直线过点； 由点斜式可直接写出所求直线为：，化简可得：. 故选：A. 5．（5分）（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】借助点到直线的距离公式，分直线斜率存在于不存在进行讨论即可得. 【解答过程】若直线斜率不存在，则， 此时点到的距离为，点到的距离为，符合要求； 若直线斜率存在，设，即， 则有，化简得， 即，解得，即； 故的方程为或. 故选：D. 6．（5分）（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【解答过程】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 7．（5分）（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【解答过程】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B. 8．（5分）（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【解答过程】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解题思路】由斜率与倾斜角的关系逐项判断即可得. 【解答过程】对A：若，则，因，故，故A正确； 对B：当时，有，故B错误； 对C：若，则，因，故，故C正确； 对D：若，，则，故D正确. 故选：ACD. 10．（6分）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 【答案】ABC 【解题思路】对于A，由即可求解判断；对于B，通过即可判断；对于C，由，并验证是否重合即可判断；对于D，由截距概念列出等式求解即可判断. 【解答过程】对于A，由直线，得， 由解得，，即过定点，正确； 对于B，当时，直线，， 则，故，则，正确； 对于C，若，可得，解得或， 又当时，直线，重合，舍去， 当时，直线，，平行， 综上，正确； 对于D，若与的纵截距相等，则， 对于直线，令得， 对于直线，令得， 由，解得，错误； 故选：ABC. 11．（6分）（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．直线一定经过第四象限 D．当时，直线关于直线的对称直线为 【答案】ABD 【解题思路】求出直线恒过的定点可判断A；当时，点到直线的距离最大，求出最大距离可判断B；直线不一定经过第四象限可判断C；先求出直线与直线的交点，再求出直线上一点关于直线的对称点，由两点式即可求出，可判断D. 【解答过程】对于A，，令，可得：， 所以直线过定点，故A正确； 对于B，直线过定点，当时，点到直线的距离最大， 且最大距离为，故B正确； 对于C，直线过定点，不一定经过第四象限，故C错误； 对于D，当时，直线， 设直线关于直线的对称直线为， 一定经过直线和直线的交点，设为， 由可得：，所以， 在直线上任取一点关于直线的对称点一定在上， 所以，解得：， 所以，在直线上， 所以，化简可得：，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为__________． 【答案】或 【解题思路】利用点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 13．（5分）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 【答案】1 【解题思路】联立直线方程求交点坐标，再将点坐标代入含参直线方程求参数. 【解答过程】联立，解得， 把交点坐标代入，得，解得. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·福建三明·期中）已知两定点，且点是直线上任意一点，则的最小值是__________． 【答案】 【解题思路】确定点关于直线的对称点为，，计算得到答案. 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， ，当且仅当共线时等号成立. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【解答过程】（1）由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 16．（15分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【解题思路】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【解答过程】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 17．（15分）（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知顶点、、. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程； （2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解. 【解答过程】（1）由、可知中点为，且， 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，直线的方程为或. 18．（17分（25-26高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将直线整理成直线系方程，求出定点坐标即可； （2）由直线不经过第二象限，分类整合求出m的取值范围即可. （3）由题意设出直线的截距式方程，代入定点，解出方程再化成一般式即可. 【解答过程】（1）由题意， 整理得，所以不管取何值时， 直线恒过定点的坐标满足方程组，解得， 即； （2）由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时， 此时直线是，显然满足题意； 当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时， 则纵截距小于或等于零即可，令，则， 即 ，解得 ； 综上所述： ； （3）设直线方程为，则 ， 由直线恒过定点，得， 由整理得：， 解得或， 所以直线方程为：或， 即或， 又直线的斜率， 所以不合题意， 则直线方程为. 19．（17分）（25-26高二上·甘肃张掖·期中）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【解题思路】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． 【解答过程】（1）由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. （3）由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 直线与方程（举一反三单元自测·培优卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知直线，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2或3 D．6或 2．（5分）（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高二上·广东清远·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（5分）（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（6分）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 11．（6分）（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．直线一定经过第四象限 D．当时，直线关于直线的对称直线为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为__________． 13．（5分）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 14．（5分）（25-26高二上·福建三明·期中）已知两定点，且点是直线上任意一点，则的最小值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 16．（15分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 17．（15分）（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知顶点、、. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 18．（17分（25-26高二上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 19．（17分）（25-26高二上·甘肃张掖·期中）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $