专题03 概率的应用（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以7大题型为框架，系统提炼概率应用的核心方法，构建从概念辨析到实际应用的完整知识逻辑链，培养抽象能力与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |频率与概率辨析|1典例+3变式|定义辨析/关系理解|从频率与概率的概念生成到稳定性原理推导| |求事件频率|1典例+3变式|频率公式应用|频率计算方法及与概率的区别| |频率与概率综合|1典例+3变式|频率估计概率/公式逆用|频率稳定性到概率估计的应用拓展| |频率估计概率应用|1典例+4变式|实际问题建模/几何概率|从产品质量到面积估计的跨场景应用| |转盘游戏应用|1典例+3变式|列表法/树状图|等可能结果列举在转盘情境中的迁移| |比赛应用|1典例+4变式|多步实验结果分析|比赛规则下的概率推理与决策| |游戏公平性|1典例+4变式|概率比较/规则调整|公平性判断的推理意识与模型构建|

专题03 概率的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 频率与概率的说法辨析 题型02 求事件的频率 题型03 频率与概率的综合 题型04 应用频率估计概率解决问题 题型05 概率在转盘游戏中的应用 题型06 概率在比赛中的应用 题型07 游戏公平性问题 ▌题型01 频率与概率的说法辨析 1．频率：在n次重复试验中，事件A发生了m次，则频率 。 2．概率：事件A发生的可能性大小的数值，是理论值，。 3．关系：大量重复试验时，频率在概率附近摆动并趋于稳定，可用频率估计概率。 【典例1】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【变式1-1】（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【变式1-2】（24-25七年级下·山西晋中·期中）下列说法正确的是（   ） A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是 B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上 D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性 【变式1-3】下列说法中正确的是（   ） A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B．确定事件发生的概率是1 C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 ▌题型02 求事件的频率 1．频率公式：，频率之和为1。 2．频率特点：频率是试验值，随试验次数不同可能不同，但具有稳定性。 3．易错提醒：频率不等于概率，只有大量重复试验时频率才接近概率。 【典例2】（2026·浙江杭州·一模）某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 【变式2-1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【变式2-2】年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 __________（结果保留两位小数）． 【变式2-3】“鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______． ▌题型03 频率与概率的综合 1．用频率估计概率：大量重复试验后，频率稳定值即为概率的估计值。 2．概率公式逆用：已知概率和总数，可求某类个体数量，。 3．易错提醒：估计概率时取频率的稳定值，不要取某一次试验的频率。 【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据（结果保留两位小数）： (1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； (2)估算袋中白球的个数． 【变式3-1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，其数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： (1)上表中的___________，___________（小数形式）： (2)“摸到红球”的概率估计值为___________；（精确到） (3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率． 【变式3-2】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）涟水县“安全出行，幸盔有你”的安全教育活动持续在开展．为了解我县居民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续一周同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： (1)表格中_______； (2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴头盔的概率为_______；（结果精确到0.01） (3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有2000辆，请估计其中佩戴了头盔的骑行者有多少人？ 【变式3-3】在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． ▌题型04 应用频率估计概率解决问题 1．实际应用：用频率估计概率解决产品质量、成活率、阴影面积等问题。 2．几何概率：，用频率稳定值估计。 3．易错提醒：注意题目中的单位统一，以及频率稳定值的读取精度。 【典例4】（24-25七年级下·广东揭阳·期末）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图所示的二维码纸片是一个面积为的正方形，为了估计二维码纸片中黑色阴影部分的面积，小明在二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为____． 【变式4-2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 【变式4-3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据． (1)请将表中数据补充完整，______；______； (2)画出“出现红球”的频率折线统计图； (3)估计摸到红球的概率为______（精确到）． (4)估计盒子里有红球______个和白球______个． 【变式4-4】计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． ▌题型05 概率在转盘游戏中的应用 1．转盘概率：指针落在各区域的可能性与圆心角（或面积）成正比。 2．双转盘问题：用列表法或树状图列出两个转盘的所有组合结果。 3．易错提醒：不等分转盘需将非等分区域拆分为等分小份后再列举。 【典例5】（2026·陕西榆林·模拟预测）陕西历史博物馆秦汉馆是国内首个以集中展示秦汉文明缘起、发展和贡献为主题的博物馆．某校组织学生去陕西历史博物馆秦汉馆参观后，校团委开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目：A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．学校制作了如图所示的可自由转动的均匀转盘，将圆形转盘四等分，并分别标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． (1)若该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”，则选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是_________； (2)青青和丽丽是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率． 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【变式5-2】如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【变式5-3】某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． ▌题型06 概率在比赛中的应用 1．比赛概率：用树状图或列表法列举比赛所有等可能结果，再计算概率。 2．多步实验：比赛往往涉及多步，注意每步的可选结果数和独立性。 3．易错提醒：比赛规则中的先胜、平局等条件要仔细分析，不要遗漏情况。 【典例6】甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：①比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③计分规则如下：a.得分为正数或0；b.若8次都未投进，该局得分为0；c.投球次数越多，得分越低；d.6局比赛的总得分高者获胜. (1)设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案； (2)若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜. 【变式6-1】一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项． （1）如果小新在第一题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率； （2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么． 【变式6-2】在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【变式6-3】（2026·云南曲靖·一模）根据以下材料，完成相应任务 【变式6-4】（24-25七年级下·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： 根据下面这个表格中的数据记录回答： (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． ▌题型07 游戏公平性问题 1．公平性判断：分别计算双方获胜的概率，若 则公平，否则不公平。 2．不公平调整：修改规则使双方获胜概率相等，如改变获胜条件或调整道具数量。 3．易错提醒：判断公平性时，要列出所有等可能结果，不能凭直觉判断。 【典例7】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）“自然科学探索营”即将在城郊生态保护区开营，某社区青少年服务中心争取到一个参与名额，计划从琪琪和小颖中选一位参加，设计方案如下：规定将个尾端为白色的竹签和个尾端为绿色的竹签放入竹筒中，每个竹签除颜色外其余均相同（抽的时候看不到尾端）． (1)求抽到尾端为白色的竹签的概率； (2)若抽到尾端为白色的竹签，则琪琪参加“自然科学探索营”，若抽到尾端为绿色的竹签，则小颖参加“自然科学探索营”，这个规则公平吗？请说明理由；若不公平，请设计一种方案，使得原来的规则对双方都公平． 【变式7-1】把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率． (2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字都为偶数，则乙胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【变式7-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． (1)请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． (2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 【变式7-3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【变式7-4】（25-26七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是 ； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 频率与概率的说法辨析 题型02 求事件的频率 题型03 频率与概率的综合 题型04 应用频率估计概率解决问题 题型05 概率在转盘游戏中的应用 题型06 概率在比赛中的应用 题型07 游戏公平性问题 ▌题型01 频率与概率的说法辨析 1．频率：在n次重复试验中，事件A发生了m次，则频率 。 2．概率：事件A发生的可能性大小的数值，是理论值，。 3．关系：大量重复试验时，频率在概率附近摆动并趋于稳定，可用频率估计概率。 【典例1】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 【变式1-1】（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级下·山西晋中·期中）下列说法正确的是（   ） A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是 B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上 D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了概率的概念，频率的定义理解，掌握概率和频率的相关知识是解题的关键．根据事件发生的可能性的大小，以及频率的概念逐项分析即可． 【详解】解：A. 小明做了4次抛瓶盖的试验，虽然有3次盖口向上，单盖口向上的概率是，故该选项不正确，不符合题意； B. 抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率相近，但不一定相同，故该选项不正确，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，不一定会有5次正面朝上，故该选项不正确，不符合题意； D. 在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-3】下列说法中正确的是（   ） A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B．确定事件发生的概率是1 C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 【答案】A 【分析】根据事件的分类，频率和概率分别判断即可． 【详解】解：A. 小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件,故正确，符合题意； B. 确定事件发生的概率是1或0，故错误，不合题意； C. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率不一定相同，故错误，不合题意； D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，但抽取的人数太少，不能说明该校的男生引体向上成绩不及格，故错误，不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了事件的分类，概率的意义，频率，解答此题要明确事件类型和概率的关系． ▌题型02 求事件的频率 1．频率公式：，频率之和为1。 2．频率特点：频率是试验值，随试验次数不同可能不同，但具有稳定性。 3．易错提醒：频率不等于概率，只有大量重复试验时频率才接近概率。 【典例2】（2026·浙江杭州·一模）某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 【答案】A 【分析】根据题意，先确定所有满足观看次数5次以上的类别，再根据完播率公式计算每个符合条件类别的完播率，然后比较大小后即可解答． 【详解】解：算法要求观看次数达到5次以上才会计算完播率并推荐，四个类别的观看次数分别为18，10，14，18，均大于5，全部符合计算条件． 分别计算各类别完播率如下： 航空航天：； 科学实验：； 电影评论：； 排球技巧：； ∵， ∴航空航天类完播率最高，即平台会重点推荐航空航天类视频． 【变式2-1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可． 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 【变式2-2】年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 __________（结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 【答案】 【分析】本题考查了频率．熟练掌握频率的定义是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为， 故答案为：． 【变式2-3】“鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______． 【答案】 【分析】根据频率＝频数÷总次数进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键． ▌题型03 频率与概率的综合 1．用频率估计概率：大量重复试验后，频率稳定值即为概率的估计值。 2．概率公式逆用：已知概率和总数，可求某类个体数量，。 3．易错提醒：估计概率时取频率的稳定值，不要取某一次试验的频率。 【典例3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据（结果保留两位小数）： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 (1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； (2)估算袋中白球的个数． 【答案】(1)0.25，0.25 (2)3个 【分析】本题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近． （1）由频率等于摸到黑球次数÷摸球的次数即可得到答案；用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）利用概率公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：； ∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25，0.25； （2）解：设袋中白球为x个， ， 解得． 答：估计袋中有3个白球． 【变式3-1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，其数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 150 200 250 300 350 400 摸到红球的次数 98 126 150 177 198 摸到红球的频率 (1)上表中的___________，___________（小数形式）： (2)“摸到红球”的概率估计值为___________；（精确到） (3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率． 【答案】(1)78； (2) (3) 【分析】本题主要考查了频率估计概率，求解随机事件的概率． （1）根据表中的数据，结合频数，频率，数据总数之间的关系可得答案； （2）由频率估计概率可得答案； （3）设黑球有个，则白球有个；可得，再进一步即可解答． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近， ∴摸到红球的概率估计值是； （3）解：设黑球有个，则白球有个； ∴， 解得：， ∴摸到黑球的概率为， 答：摸到黑球的概率为． 【变式3-2】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）涟水县“安全出行，幸盔有你”的安全教育活动持续在开展．为了解我县居民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续一周同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 380 360 410 400 430 470 500 自觉佩戴头盔人数/人 364 342 393 388 412 451 480 自觉佩戴头盔的频率 0.96 0.95 0.96 0.97 0.96 0.96 a (1)表格中_______； (2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴头盔的概率为_______；（结果精确到0.01） (3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有2000辆，请估计其中佩戴了头盔的骑行者有多少人？ 【答案】(1)0.96 (2)0.96 (3)1920人 【分析】本题考查求频率、利用频率估计概率，利用概率求数量，理解题意是解答的关键． （1）直接利用频数除以总数进行计算即可； （2）利用频率估算概率求解即可； （3）总数乘以概率求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.96； （2）解：由表格可知：经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.96， 故答案为：0.96； （3）解：（人） 答：估计其中佩戴了头盔的骑行者有1920人． 【变式3-3】在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 【答案】(1) (2) (3)③④ 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）由表中的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）解：根据题意得：（个）， 故答案为：； （3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意； 从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； 在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③④． ▌题型04 应用频率估计概率解决问题 1．实际应用：用频率估计概率解决产品质量、成活率、阴影面积等问题。 2．几何概率：，用频率稳定值估计。 3．易错提醒：注意题目中的单位统一，以及频率稳定值的读取精度。 【典例4】（24-25七年级下·广东揭阳·期末）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【答案】(1)； (2)估计其中不合格品有件 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率估计概率可得任抽一件该产品是合格品的概率，用总件数乘合格的频率即可得出m的值； （2）总件数乘以不合格的概率即可． 【详解】（1）解：估计任抽一件该产品是合格品的概率是， ， 故答案为：，； （2）解：抽取件数为时，合格的频率趋近于， 估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； ∴（件）， 答：估计其中不合格品有件． 【变式4-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图所示的二维码纸片是一个面积为的正方形，为了估计二维码纸片中黑色阴影部分的面积，小明在二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为____． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 总面积乘落在黑色阴影的频率稳定值即可得出答案． 【详解】解：∵一个面积为的正方形，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 【答案】(1) (2)可以成活45000棵 (3)需移植这种树苗大约100000棵 【分析】本题主要考查了折线统计图和利用频率估计概率，能够正确将公式变形以及准确计算是解决本题的关键． （1）根据成活率的折线统计图可知，数据在上下浮动，所以可以确定答案； （2）将总共移植的50000棵树苗乘以成活率就能估算成活的树苗； （3）根据公式成活率成活的树苗移植的树苗可得，移植的树苗成活的树苗成活率，代入数据即可得到答案． 【详解】（1）解：根据图像可得，折线统计图在上下波动，故成活率为． （2）解：∵（棵） ∴可以成活45000棵． （3）解：∵（棵） ∴需移植这种树苗大约100000棵． 【变式4-3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据． 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 100 32 400 130 a 200 62 500 150 b 300 90 600 183 (1)请将表中数据补充完整，______；______； (2)画出“出现红球”的频率折线统计图； (3)估计摸到红球的概率为______（精确到）． (4)估计盒子里有红球______个和白球______个． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) (4)6；14 【分析】本题考查了频数与频率、折线统计图及用频率估计概率， （1）利用频率频数摸球次数计算数据即可； （2）根据表格提供的数据作出折线统计图即可； （3）通过观察统计图找到其频率逐渐稳定到哪个常数附近即可； （4）根据摸到红球的概率，估计红球的个数，再求出白球的个数即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：频率折线统计图，如图所示： （3）解：观察折线统计图可以发现：随着摸球次数的增多，出现红球的频率在上下浮动，因此摸到红球的概率为； （4）解：估计盒子里有红球（个）， 白球有：（个）． 【变式4-4】计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 【答案】（1）； （2）根据题意，能安装2台发电机对应的年入流量为不低于80， 年入流量低于的概率为：，只能运行1台发电机； 年入流量不低于80的概率为：，能2台发电机都运行； 安装2台发电机时的利润为：万元． 能安装3台发电机对应的年入流量为不低于120，由（1）可知：，只能运行1台发电机， 当年入流量时，，只能运行2台发电机； 当年入流量时，，能运行3台发电机， 安装3台发电机时的利润为： 万元， 因为，故安装2台发电机． 【分析】（1）根据概率的计算公式计算即可； （2）先分别计算各段年入流量的概率，再根据概率计算安装2台发电机和3台发电机对应的年利润的加权平均数，比较之，则可得出答案． 【详解】（1）年入流量不低于120的年数为:， 总的年数为50年． 年入流量不低于120的概率为：． （2）略 【点睛】本题考查了概率的计算，将概率当做权数计算平均数，计算出各段的概率是解题的关键． ▌题型05 概率在转盘游戏中的应用 1．转盘概率：指针落在各区域的可能性与圆心角（或面积）成正比。 2．双转盘问题：用列表法或树状图列出两个转盘的所有组合结果。 3．易错提醒：不等分转盘需将非等分区域拆分为等分小份后再列举。 【典例5】（2026·陕西榆林·模拟预测）陕西历史博物馆秦汉馆是国内首个以集中展示秦汉文明缘起、发展和贡献为主题的博物馆．某校组织学生去陕西历史博物馆秦汉馆参观后，校团委开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目：A．讲述博物馆馆藏文物的故事；B．制作博物馆专题手抄报；C．制作博物馆系列文创产品；D．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．学校制作了如图所示的可自由转动的均匀转盘，将圆形转盘四等分，并分别标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． (1)若该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”，则选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是_________； (2)青青和丽丽是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图，得到共16种等可能的结果，两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的结果有7种，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵该校20位学生各转动转盘一次，其中有4人选到“C．制作博物馆系列文创产品”， ∴选到“C．制作博物馆系列文创产品”的频率是； （2）解：画树状图，如图 共16种等可能的结果，两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的结果有7种， ∴两人中至少有一人选到“D．挑战知识问答游戏”的概率为． 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见解析 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算． （1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率； （2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小． 【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 【变式5-2】如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2) 小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字6的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是6的结果有1种， ∴P（转出数字6）； 故答案为：； （2）略 【变式5-3】某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1) (2)方案一比较实惠 【分析】（1）根据题意列出表格，然后根据概率公式求出结果即可； （2）先分别算出指针指在两个红色区域，两个蓝色区域的概率，算出按方案二获得礼金券的平均值，最后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：列表格如下： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） ∵由表格可知，共有9种等可能结果，其中转盘指针分别指向一红区和一蓝区的情况数有5种， ∴两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． （2）解：∵， ∴如果选择方案二，获得礼金券的平均值为： （元）， ∵， ∴选择方案一比较实惠． 【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图，熟练掌握概率的基本公式． ▌题型06 概率在比赛中的应用 1．比赛概率：用树状图或列表法列举比赛所有等可能结果，再计算概率。 2．多步实验：比赛往往涉及多步，注意每步的可选结果数和独立性。 3．易错提醒：比赛规则中的先胜、平局等条件要仔细分析，不要遗漏情况。 【典例6】甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：①比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③计分规则如下：a.得分为正数或0；b.若8次都未投进，该局得分为0；c.投球次数越多，得分越低；d.6局比赛的总得分高者获胜. (1)设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案； (2)若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜. 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 第六局 甲 5 × 4 8 1 3 乙 8 2 4 2 6 × 【答案】（1）见解析，（2）甲在这次比赛中获胜．见解析． 【分析】（1）因为总共有8次投球的机会，且投球次数越多，得分越低，可以设计计分为1次投中得8分，两次投中得7分，依次下降1分即可； （2）根据（1）的计分方案，可以分别计算甲、乙的得分，进行比较． 【详解】(1)计分方案如下表： n(次) 1 2 3 4 5 6 7 8 M(分) 8 7 6 5 4 3 2 1 (2) 根据以上方案计算得6局比赛，甲共得4+0+5+1+8+6=24分， 乙共得1+7+5+7+3+0=23分， 所以甲在这次比赛中获胜． 【点睛】此题要能够根据规则合理设计得分，根据实际设计的方案进行正确计算． 【变式6-1】一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项． （1）如果小新在第一题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率； （2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么． 【答案】（1）；（2）建议小新在第二题使用“求助卡”，理由见解析 【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，然后根据概率公式计算； （2）如果小新在第二题使用“求助卡”，画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，利用概率公式计算出小新顺利通过第一关的概率，然后比较两个概率的大小可判断小新在第几题使用“求助卡“． 【详解】解: （1）列树状图如下: 共有种等可能的结果，其中两道题都正确的结果有个， 所以小新顺利通过第一关的概率为 （2）建议小明在第二题使用“求助卡”， 若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下: 此时小新顺利通过第一关的概率为 因为， 所以建议小新在第二题使用“求助卡” 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 【变式6-2】在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断． 【详解】解：①若两次求助都用在第1题， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1， 因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 因此第一题答对的概率为：， 第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题， 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，    共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵， ∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大， 故选：D． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 【变式6-3】（2026·云南曲靖·一模）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2026年滇超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 任务解决 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【答案】乙胜的概率为． 【分析】设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：，，，，所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，， ，，再得出第五轮的比赛得分可能，共12种比分可能，按比赛的规则，乙有7种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果． 【详解】解：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为． 【变式6-4】（24-25七年级下·广东深圳·期中）小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【答案】(1)7，0，小明 (2) (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据规则，进行求和计算即可； （2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10的结果，再利用概率公式进行计算即可； （3）求出小亮第三次投掷和不超过10和超过10的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：小明得分：（分）； 小亮投掷的点数之和为：， ∴小亮得分为0分； ∴小明赢； 故答案为：7，0，小明； （2）小明前两次投掷的点数和为：， ∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分， ∴； （3）不会，理由如下： 小亮前两次投掷的点数和为：， ∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为， ∵， ∴不会投掷第三次． ▌题型07 游戏公平性问题 1．公平性判断：分别计算双方获胜的概率，若 则公平，否则不公平。 2．不公平调整：修改规则使双方获胜概率相等，如改变获胜条件或调整道具数量。 3．易错提醒：判断公平性时，要列出所有等可能结果，不能凭直觉判断。 【典例7】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）“自然科学探索营”即将在城郊生态保护区开营，某社区青少年服务中心争取到一个参与名额，计划从琪琪和小颖中选一位参加，设计方案如下：规定将个尾端为白色的竹签和个尾端为绿色的竹签放入竹筒中，每个竹签除颜色外其余均相同（抽的时候看不到尾端）． (1)求抽到尾端为白色的竹签的概率； (2)若抽到尾端为白色的竹签，则琪琪参加“自然科学探索营”，若抽到尾端为绿色的竹签，则小颖参加“自然科学探索营”，这个规则公平吗？请说明理由；若不公平，请设计一种方案，使得原来的规则对双方都公平． 【答案】(1) (2) 这个规则不公平，理由如下： 抽到尾端为白色的竹签的概率为，抽到尾端为绿色竹签的概率为， 琪琪参加的概率为，小颖参加的概率为， ， 这个规则不公平； 要使规则公平，只需让白色竹签和绿色竹签的数量相等，使两人参加的概率都为即可，例如从竹筒中取出个尾端为白色的竹签，其余规则不变即可．（答案不唯一，只要使白色竹签与绿色竹签数量相等即可） 【分析】（1）用白色竹签数量除以总竹签数量得到所求概率； （2）分别计算两人参加活动的概率，比较概率是否相等判断规则是否公平，若不公平，调整竹签数量使两人获胜概率相等即可得到公平方案． 【详解】（1）解：由题意可知，总竹签数量为（个），尾端为白色的竹签有个， 抽到尾端为白色的竹签的概率为； （2）略 【变式7-1】把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率． (2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字都为偶数，则乙胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由如下： 由（1）中树状图可得， 共有9种等可能的情况，其中取出的两张卡片上的数字都为奇数的情况有4种，取出的两张卡片上的数字都为偶数的情况有1种， ∴取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率为，即甲胜的概率为； 取出的两张卡片上的数字都为偶数的概率为，即乙胜的概率为； ∵， ∴这个游戏不公平． 【分析】（1）画树状图列举出所有可能的情况和取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的情况，然后利用概率公式求解； （2）分别求出甲胜的概率和乙胜的概率，然后比较求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有9种等可能的情况，其中取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的情况有4种， ∴取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率为； （2）略 【变式7-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． (1)请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． (2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 【答案】(1) 列表如下： 第一次 第二次 (2) 不公平． 理由：如图，落在圆上或圆外． 这个游戏不公平． 【分析】本题考查用列表法 / 树状图法求概率及游戏公平性判断，解题关键是通过列举法得出所有可能的点坐标，再结合点与圆的位置关系计算双方获胜的概率来判断公平性． （1）通过列表/树状图列举两次抽卡的所有组合，得到种可能的点坐标； （2）先根据点到原点的距离判断点与圆的位置，统计圆内、圆上、圆外的结果数，计算两人获胜概率，比较概率是否相等来判断游戏公平性． 【详解】（1）略 （2）略 【变式7-3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【答案】(1)图见解析，，，，，，，，，，，， (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，概率的计算． （1）画树状图列出所有等可能的结果，根据x，y对应的值写出坐标即可； （2）根据概率公式计算出小明、小红获胜的概率，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图为：    共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）解：点M的坐标为，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率为：，小红胜的概率为：， 这个游戏公平． 【变式7-4】（25-26七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是 ； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 【答案】(1) (2)游戏对双方公平，理由如下： 共有种等可能的结果，其中摸到蓝球的有种，摸到红球的有种， ∴（小明获胜）；（小亮获胜）； 又∵， ∴游戏对双方公平． 【分析】（1）大量重复试验下摸到蓝球的频率可以估计摸到蓝球的概率，据此求解； （2）确定摸到蓝球的有种，摸到红球的有种，然后根据概率公式计算并比较后即可作出判断． 【详解】（1）解：观察折线统计图发现随着摸球次数的增多摸出蓝球的频率逐渐稳定在附近， 估计袋子中蓝球的个数是：（个）； （2）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $