专题02 概率的计算方法（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以10类概率计算题型为框架，系统整合列举法、树状图、列表法等核心方法，通过典例与变式构建“方法提炼-应用迁移”的完整训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |列举法求概率|1典例+3变式|明确等可能结果列举规则，区分有序与无序|从基础列举到实际组合问题，构建概率计算底层逻辑| |几何概率|1典例+4变式|面积/长度比计算，强调等可能区域判断|衔接图形认知，培养几何直观与模型意识| |树状图（不放回/放回/三步）|3典例+9变式|分支数规律与独立性判断，区分放回与不放回|从两步到三步实验，逐步提升复杂问题推理能力| |列表法（不放回/放回）|2典例+6变式|二维表格构建，明确有效结果数计算|与树状图互补，强化分类讨论思维| |转盘/计算支撑/综合问题|4典例+12变式|转盘区域转化、结果计算前置、实际场景建模|结合数据意识，提升概率在跨情境中的应用能力|

专题02 概率的计算方法 （题型突破·举一反三） 题型01 列举法求概率 题型02 几何概率 题型03 用树状图求概率（不放回） 题型04 用树状图求概率（放回） 题型05 三步实验的树状图 题型06 用列表法求概率（不放回） 题型07 用列表法求概率（放回） 题型08 用转盘求概率 题型09 需要计算结果支撑的概率问题 题型10 概率其它问题 ▌题型01 列举法求概率 1．列举法：把实验所有等可能结果不重不漏地列出来，再用公式 计算。 2．适用条件：实验结果有限个且每个结果出现的可能性相等。 3．易错提醒：列举时注意有序与无序的区别，放回与不放回的结果总数不同。 【典例1】四根木棒的长度分别为 ， ， ， ．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，能够组成三角形的概率是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先列举出所有任取三根木棒的等可能结果，再用三角形三边关系判断能组成三角形的结果数量，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：从四根木棒中任取三根，所有等可能的结果共有种，分别为，，，，其中能组成三角形的结果有种，分别为，，， ∴能够组成三角形的概率是． 【变式1-1】现有四张分别标有数字0，，，的卡片，随机抽出两张卡片，两张卡片数字的积为有理数的概率是________． 【答案】 【分析】先求出随机抽取两张卡片的所有等可能结果，再找出两张卡片数字乘积为有理数的结果，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：计算各结果中两数的乘积： ，是有理数； ，是有理数； ，是有理数； ，是有理数； ，是无理数； ，是无理数； 可得乘积为有理数的结果共种． 根据概率公式，所求概率为． 【变式1-2】《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》及《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某校九年级准备从这四部著作中随机抽取两本开展“数学文化”活动，则该年级的学生恰好抽取到《周髀算经》和《测圆海镜》的概率是_______． 【答案】 【分析】先列出从四部著作中随机抽取两本的所有等可能结果，再找出恰好抽到《周髀算经》和《测圆海镜》的结果，根据概率公式求解． 【详解】解：将四部著作分别记为： ：《周髀算经》，：《九章算术》，：《测圆海镜》，：《四元玉鉴》， 从四部著作中随机抽取两本，所有等可能出现的结果为： 、、、、、，共6种， 其中，恰好抽到《周髀算经》和《测圆海镜》的结果只有共1种， 根据概率公式：恰好抽到《周髀算经》和《测圆海镜》的概率为． 【变式1-3】从甲、乙、丙三人中随机选取2人参加学校举办的“水资源保护”知识竞赛活动，则甲被选中的概率为______． 【答案】 【分析】先列举出从三人中随机选取2人的所有等可能结果，再找出甲被选中的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：从甲、乙、丙三人中随机选取2人，所有等可能的结果为：甲乙，甲丙，乙丙，共种， 其中甲被选中的结果有甲乙，甲丙，共种， 根据概率公式，可得甲被选中的概率． ▌题型02 几何概率 1．几何概率：用面积（或长度、体积）之比求概率，。 2．常见模型：飞镖靶、转盘、方格纸等，关键是确定"有利区域"与"总区域"。 3．易错提醒：必须保证每个点落入区域内是等可能的；注意单位统一。 【典例2】如图是5张背面完全相同的卡片，其正面分别写有，，，，，现将这5张卡片洗匀，从中任意抽取3张．求所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的概率． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 先列出从5张卡片中任意抽取3张的所有可能情况数，再确定所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的可能情况数，据此计算概率即可． 【详解】解：从5张卡片中任意抽取3张，共有10种情况， 、、、、、、、、、 其中所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的有2种情况， 因此，所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的概率是， 故答案为：． 【变式2-1】．如图将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影区域的概率． 【详解】解：∵的方格纸的面积为，阴影部分占7份， ∴飞镖落在阴影区域的概率是； 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 【变式2-2】小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、几何概率的知识点，准确计算是解题的关键． 将平行四边形分成平行四边形和平行四边形两部分，可得四边形内阴影部分是四边形面积的一半，四边形内阴影部分是四边形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率； 【详解】∵平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵四边形内阴影部分面积四边形面积， 四边形内阴影部分面积四边形面积， ∴阴影部分的面积平行四边形的面积， ∴飞镖在阴影部分的概率是． 故选：B． 【变式2-3】小华设计了一个圆内接正方形的气枪射击的靶盘，如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的直角边长度分别为2和1．若随机射击一次，则击中阴影区域的概率约为_____． 【答案】 【分析】本题考查几何概型的求法．根据几何概型的意义，求出小正方形的面积，求出大正方形的面积，圆的面积，再算出阴影部分的面积，求其比值即可． 【详解】解：根据题意分析可得： 大正方形的边长为，故面积为5； 小正方形的边长为，面积为1； 圆的直径为，面积为； 阴影部分的面积为； 则击中阴影区域的概率即两部分面积的比值为． 故答案为：． 【变式2-4】．如图是一个转盘，转盘上共有红、黄、蓝三种不同颜色的区域，已知红色区域的圆心角为，黄色区域的圆心角为，自由转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是_________．    【答案】 【分析】求出蓝色区域对应的圆心角，再利用概率公式计算． 【详解】解：（指针落在蓝色区域）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了几何概率的计算方法，在解题时能够计算出蓝色区域对应的圆心角是本题的关键． ▌题型03 用树状图求概率（不放回） 1．树状图法：用树形图不重不漏地列出两步或多步实验的所有等可能结果。 2．不放回特征：第一次取出后不再放回，第二次可选数量减少，分支数递减。 3．易错提醒：注意"不放回"导致各步不独立，分母逐次减1。 【典例3】如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光． (1)任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于__________； (2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接解答即可； （2）依据题意先用画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】（1）解：有4个开关，只有闭合D开关时小灯泡发光， ∴任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是； （2）解：画树状图如图： 结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种， ∴小灯泡发光的概率是． 【变式3-1】截至2025年底，中国的高铁里程数已突破5万公里，位居世界第一，随着智能化高铁的出现，越来越多的人愿意选择高铁出行．元旦假期，越越和兴兴乘坐高铁外出游玩，由于一等座余票不多，售票系统将随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是在一等座同一排座位的排列示意图．求下列事件发生的概率： (1)越越被分配到靠窗的座位． (2)越越和兴兴被分配到相邻的座位（过道两侧座位不算相邻）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式即可求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：分配这一排的座位，共有4种等可能的结果，其中靠窗座位的结果有2种， ∴越越被分配到靠窗的座位的概率为 （2）解：由题意可画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中越越和兴兴被分配到相邻的座位的结果数有4种， ∴越越和兴兴被分配到相邻的座位的概率是． 【变式3-2】明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着（楼梯），（客厅），（走廊），（洗手间）四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯． (1)若明明任意按下一个开关，则打开走廊灯的概率是_____． (2)若任意按下一个开关后，再按下另三个开关中的一个，则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，熟记求随机事件的概率公式是解题的关键； （1）根据简单事件概率的公式计算即可； （2）根据题意画树状图求概率即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：画树状图如下，共有个等可能的结果，客厅灯和走廊灯亮的结果有个， ． 【变式3-3】我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象．小明将关于地域特产的4个IP形象（A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶），制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP形象玩具． (1)若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是 （填序号）； ①必然事件    ②随机事件    ③不可能事件 (2)若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率． 【答案】(1)② (2) 【分析】（1）直接根据随机事件的概念可得答案； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是：随机事件； （2）解：树状图如图所示： 由图可以看出一共有12种等可能结果， 其中抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的结果有2种． （抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”）． 答：抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率是． ▌题型04 用树状图求概率（放回） 1．放回特征：每次取出后放回搅匀，各步独立，每步可选数量相同。 2．树状图规律：每步分支数相同，总结果数 （ 为每步选项数， 为步数）。 3．易错提醒：放回实验的树状图每层分支数一致，不要与不放回混淆。 【典例4】2026年春节期间有三部热门电影：《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》，小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是________． 【答案】 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明、小亮二人恰好选择同一部影片观看的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》三部影片分别记为A、B、C，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明、小亮二人恰好选择同一部影片观看的结果有3种， ∴小明、小亮二人恰好选择同一部影片观看的概率为， 【变式4-1】某智能仓库共有个储物箱，编号分别为，，，，，管理软件随机分配取货任务，每次分配任务时每个箱子被选中的概率相同，则连续两次分配任务中（每个储物箱可以被重复选择），恰有一次分配到奇数编号储物箱的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图表示出所有可能结果，然后确定恰有一次分配到奇数编号储物箱的结果数，再用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能结果，其中恰有一次分配到奇数编号储物箱的有，，，，，，，，，，，，共种结果， 恰有一次分配到奇数编号储物箱的概率为． 【变式4-2】一个不透明的布袋里放有2个红球、1个黑球，它们除颜色外其余都相同． (1)从布袋里任意摸出1个球，求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出一个球放回搅匀后，再摸出一个球．请列表或用树状图分析，两次摸出的球颜色不一样的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色不一样的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的布袋里放有2个红球、1个黑球， ∴从布袋里任意摸出1个球，摸出的球是红球的概率； （2）解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色不一样的结果有4种， ∴两次摸出的球颜色不一样的概率为． 【变式4-3】有三张大小、形状完全相同的卡片，正面分别写着如图中所示数的计算式．从中任意抽取一张，记下卡片上计算式的结果后，放回搅匀，再任意抽取一张．求两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的概率． 【答案】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率，画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：，是正整数；，是正整数；是无理数． 把三张卡片按顺序分别记为A、B、C，其中正整数的有A、B， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的结果有4种， ∴两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的概率为． ▌题型05 三步实验的树状图 1．三步实验：实验分三步完成，树状图有三层分支，总结果数为各步选项数之积。 2．画树状图要点：按实验顺序逐层展开，每层标注所有等可能结果。 3．易错提醒：三步实验结果数较多，画完后务必检查是否遗漏或重复。 【典例5】如图，现对由四个小正方形组成的图形进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则任意相邻两块小正方形都是不同颜色的概率为______． 【答案】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有16种等可能结果，其中任意相邻两块小正方形都是不同颜色的情况有2种， 所以任意相邻两块小正方形都是不同颜色的概率为． 【变式5-1】2025年11月16日，2025横店马拉松在浙江省东阳市横店影视城鸣枪起跑．参赛选手通过比赛，彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神，比赛设置“全程马拉松”“半程马拉松”两种不同项目，甲、乙、丙三人分别参加了其中一个项目． (1)甲恰好参加的是：“半程马拉松”的概率是_______； (2)请画树状图求“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，概率=所求情况数与总情况数之比，注意此题是放回试验还是不放回试验是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可： （2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目的结果有2种，再利用概率公式求解即可 【详解】（1）解：比赛设置全程马拉松”半程马拉松”两种不同项目， 甲恰好参加的是半程马拉松”的概率是, 故答案为：; （2）解：将全程马拉松”半程马拉松”两种不同项目分别记为, 画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目的结果有2种， 甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率为. 【变式5-2】甲、乙、丙三人玩传球游戏，拿到球的人须将球随机传给另外两人中的一人．若开始传球时球在甲手上，第一次传球时甲将球随机传给乙或丙，由此经历三次传球．问第三次传球完成时，球回到甲手中的概率是______． 【答案】 【分析】先画树状图可得三次传球所有等可能的结果，再找出第三次传球后球回到甲手中的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有8种等可能的结果，经三次随机传球后回到甲的情况有2种，根据概率公式，可得所求概率为． 【变式5-3】现有A，B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同． (1)将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球标记的数字是奇数的概率为________； (2)分别将A，B两个袋子中的小球摇匀，然后从A，B袋中各随机摸出一个小球，小强说：“摸出的这两个小球标记的数字之和为6的概率与数字之和为8的概率相同．”请利用画树状图或列表的方法，说明小强的说法是否正确？ 【答案】(1) (2)正确， 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，概率公式应用，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4， ∴从中随机摸出一个小球，摸出的这个小球标记的数字是奇数的概率为； （2）解：画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为6与8的结果都有2种， ， ∴小强的说法是正确的． 【变式5-4】有A，B，C三个小球，按如图所示的方式悬挂在天花板上，每次摘下一个小球且摘A之前需先摘下B，直到3个小球都被摘下，则第二个摘下的小球是A的概率是________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．熟练掌握运用列表法或画树状图法求概率是解题的关键． 先根据题意画树状图，确定所有等可能情况数和第二个摘下A的情况数，再运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： ∴共有3种等可能的结果，其中第二个摘下的小球是A的情况有1种， ∴第二个摘下的小球是A的概率是． 故答案为：． ▌题型06 用列表法求概率（不放回） 1．列表法：用二维表格列出两步实验的所有组合，适合两步且结果数适中的情况。 2．不放回特征：表格中对角线位置（同一元素取两次）不存在，有效结果数 。 3．易错提醒：不放回时表格对角线要画"—"或留空，不能计入总结果数。 【典例6】．一个不透明的口袋里装有个分别标有数字，，的小球，它们除标的数字外其它都相同，现随机从口袋中摸出一个小球记下数字作为点的横坐标，不放回，再摸出一个小球记下数字作为纵坐标． (1)请用列表或树状图的方法，表示出两次所得数字可能出现的所有结果； (2)求出点的坐标在第四象限的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）用列表法列出表格即可； （2）分析出第四象限的坐标个数，再除以事件的总数即可． 【详解】（1）解：由题意列表可得：                 纵坐标 横坐标            所有可能的结果为：，，，，，； （2）解：由（1）可得，一共有，，，，，六种情况，其中第四象限的有，两种情况， ∴ 【变式6-1】中国古代四大发明对世界影响深远，其分别是：造纸术，指南针，火药，印刷术．如图是小江同学收集的关于中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀后放好． (1)若随机抽一张卡片，则抽到的卡片恰好是“火药”的概率为__________． (2)若小江从这四张卡片中先随机抽取一张，不放回，再随机抽取另一张．请用列表或画树状图的方法，求抽到的卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率计算公式，用列举法求事件的概率，熟练掌握用列举法求事件的概率是关键． （1）根据概率计算公式计算即可； （2）设造纸术，指南针，火药，印刷术分别为A，B，C，D，然后列表求出共有12种等可能结果，其中“造纸术”和“指南针”被选中的等可能结果有2种，再根据概率计算公式计算即可． 【详解】（1）解：随机抽一张卡片，则抽到的卡片恰好是“火药”的概率为． 故答案为：． （2）解：设造纸术，指南针，火药，印刷术分别为A，B，C，D， 从这四张卡片中随机抽取两张的情况列表如下： A B C D A B C D 所以共有12种等可能结果，其中“造纸术”和“指南针”被选中的等可能结果有2种， 所以抽到的两张卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为． 【变式6-2】宁波市中考体育随机选测从以下6个项目中抽取： 项目序号 项目① 项目② 项目③ 项目④ 项目⑤ 项目⑥ 项目名称 50米跑 立定跳远 跳绳 （60秒） 掷实心球 （2千克） 篮球运球投篮 男生引体向上 女生仰卧起坐（60秒） 抽签时，使用电动摇号机从项目编号①～⑥的球中随机抽取，每次抽取1个球，记录编号后不放回，重复抽取直至选出3个随机选测项目． (1)若仅抽取一次，求抽到“项目⑤”的概率； (2)在正式抽签中，已知第一次抽到“项目⑥”，求接下来两次抽取中，抽到“项目①和项目②”的概率．请画树状图或列表求解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列举法求事件的概率，熟练掌握用列举法求事件的概率的方法是关键．先列表求出随机抽取两项的所有等可能结果有20种，其中抽到项目①和项目②的等可能结果有2种，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：使用电动摇号机从项目编号①～⑥的球中随机抽取，若仅抽取一次，抽到“项目⑤”的概率为； （2）解：从剩余5个项目中，随机抽取两项的所有可能结果是： ① ② ③ ④ ⑤ ① ①② ①③ ①④ ①⑤ ② ②① ②③ ②④ ②⑤ ③ ③① ③② ③④ ③⑤ ④ ④① ④② ④③ ④⑤ ⑤ ⑤① ⑤② ⑤③ ⑤④ 由上表可知，随机抽取两项的所有等可能结果有20种，其中抽到项目①和项目②的等可能结果有2种，所以接下来两次抽取中，抽到“项目①和项目②”的概率． 【变式6-3】在古镇的休息区摆有圆形桌子，每张桌子配有个座位，如图所示，小聪和小慧在古镇游玩，玩累了想坐下休息，涂色的座位代表已有人． (1)现小聪随机选择个空座位坐下，选择号空座位的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法，求小聪和小慧坐在相邻位置的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一步概率问题、两步概率问题的解法，涉及简单概率公式、列举法求概率等知识，熟记列举法及简单概率公式是解决问题的关键． （1）根据题意，由一步概率问题求解方法，直接由简单概率公式代值计算即可得到答案； （2）根据题意，列表，得到总的等可能结果及满足题意的结果，再由简单概率公式代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，圆形桌子还有个空座位，现小聪随机选择个空座位坐下，选择号空座位的概率为， 故答案为； （2）解：列表如下： ① ② ③ ④ ① — ①② ①③ ①④ ② ②① — ②③ ②④ ③ ③① ③② — ③④ ④ ④① ④② ④③ — 由表可知，总共有种等可能的结果，其中小聪和小慧坐在相邻位置的情况有种， 小聪和小慧坐在相邻位置的概率为． ▌题型07 用列表法求概率（放回） 1．放回特征：两次独立选取，表格所有格子都有效，总结果数 。 2．列表步骤：行标第一次结果，列标第二次结果，逐格填写组合。 3．易错提醒：放回实验的对角线（同一元素取两次）是有效的，不要遗漏。 【典例7】一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球． (1)从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率． (2)从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球．小滨认为摸到同色的可能性大，小江觉得摸到不同色的可能性大，请判断谁说的正确，并说明理由，要求画树状图或列表． 【答案】(1) (2)小滨的说法正确，理由见详解 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可进行求解； （2）根据列表法可进行求解概率． 【详解】（1）解：由题意得：从中任意摸出一个球，摸出的是红球的概率为； （2）解：小滨的说法正确，理由如下： 由题意可列表如下： 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由表可知一共有9种等可能的情况，其中两次都摸到同色的有5种等可能的情况，所以两次都摸到同色的概率为，摸到不同色的概率为， ∵， ∴摸到同色的可能性大， ∴小滨的说法正确． 【变式7-1】某文具店新开业，推出福利活动：进店消费每满15元，即可参与1次“抽小球换文具”的活动．在一个不透明盒子里有3个不同颜色的小球，红色小球对应钢笔，绿色小球对应笔记本，蓝色小球对应修正带，每个小球除颜色外完全相同，且每抽完一次后，都会将小球放回盒中． (1)同学A获得1次抽奖资格，那么他能抽到“钢笔”的概率是______； (2)同学B获得2次抽奖资格，请求出他至少抽中1次“笔记本”的概率．（请用树状图或列表法解答） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接根据题意和概率公式求解即可； （2）用列表法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抽到“钢笔”的概率为， 故答案为：； （2）解：由题意得，列表如下： 第一次第二次 红（钢笔） 绿（笔记本） 蓝（修正带） 红（钢笔） 红红 绿红 蓝红 绿（笔记本） 红绿 绿绿 蓝绿 蓝（修正带） 红蓝 绿蓝 蓝蓝 共有9种等可能的情况，其中他至少抽中1次“笔记本”的情况有5种， ∴他至少抽中1次“笔记本”的概率为． 【变式7-2】第七届世界人工智能大会于2025年7月26日日在上海举办，本次大会展区分成四大区域．小刚和小亮到人工智能大会游玩，现将正面分别写有“核心技术馆”“行业应用馆”“智能终端馆”“全域链接馆”的四张外观、大小、质地完全相同的不透明卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，小刚和小亮通过随机抽取卡片的方式选择要参观的展馆（区），小刚先随机抽取一张卡片记下展馆（区）后放回并洗匀，小亮再随机抽取一张卡片． (1)小刚抽到写有“行业应用馆”卡片的概率为__________． (2)用画树状图或列表的方法，求小刚和小亮中至少有一人抽到写有“核心技术馆”卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的运算，熟练掌握列表法或树状图法是解题的关键． （1）分析可能性求解即可； （2）利用列表法求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有核心技术馆”“行业应用馆”“智能终端馆”“全域链接馆”四种情况，“行业应用馆”为其中一种， ∴小刚抽到写有“行业应用馆”卡片的概率为， 故答案为：； （2）解：由题意列表可得： 小刚小亮 由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小刚和小亮中至少有一人抽到写有“核心技术馆”卡片的情况有7种， ∴． 【变式7-3】某校音乐兴趣小组组建了一支舞蹈队，现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一名男生和一名女生．（温馨提示：用、、、分别表示甲、乙两班推荐的名学生） (1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果； (2)若要求选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率． 【答案】(1)（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，） (2) 【分析】本题考查概率的计算，掌握列举法、树状图和列表法是解题关键． （1）从名学生中选取人，用列举法列出所有可能的组合结果； （2）先通过列表法列出“甲班选人、乙班选人”的所有等可能结果，再统计其中“一男一女”的结果数，最后用“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【详解】（1）解：根据题意，从名学生、，、中选取人，所有可能的结果有： （，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）． （2）解：列表法表示所有可能出现的结果如下： 甲班乙班 男甲 女甲 男乙 男甲，男乙 女甲，男乙 女乙 男甲，女乙 女甲，女乙 共有种等可能的情况，其中恰好选中“一男一女”的情况有种， 故恰好选中“一男一女”的概率为． 答：． ▌题型08 用转盘求概率 1．转盘概率：指针落在各区域的可能性与圆心角（或面积）成正比。 2．双转盘问题：用列表法或树状图列出两个转盘的所有组合结果。 3．易错提醒：不等分转盘需将非等分区域拆分为等分小份后再列举。 【典例8】．如图，、是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色，同时转动两个转盘，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，不记，重转）的颜色，则两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： B盘A盘 黑 蓝 红 蓝 （蓝，黑） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，黑） （红，蓝） （红，红） 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的情况有种， 故两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为． 【变式8-1】．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，把第一个转盘分为相同的三部分，一部分为红，另两部分为蓝，再利用树状图展示所有12种等可能的结果数，找出一个转出红色，另一个转出蓝色的所占结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为 共有12种等可能的结果数，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的占5种， 可配成紫色的概率是， 故答案为：． 【变式8-2】如图，是一个均匀的圆形转盘，阴影部分扇形圆心角为． (1)转动转盘1次，求指针落在阴影部分（边界宽度忽略不计）的概率； (2)转动转盘2次，求两次指针都落在阴影部分（边界宽度忽略不计）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式，列表法或树状图求两步事件概率问题，将非阴影区域分成两等份，保证是等可能事件是解答（2）题的关键． （1）理解题意，运用概率公式列式化简，即可作答． （2）先将非阴影区域分成两等份，然后根据画树状图得出所有等可能的结果与指针都落在阴影区域的情况，再利用概率公式即可求解． 【详解】（1）解：依题意，阴影部分扇形圆心角为 ∴转动转盘1次，求指针落在阴影部分（边界宽度忽略不计）的概率； （2）解：如图，将非阴影区域分成两等份，设三份区域分别为其中C为阴影区域， 依题意，画树状图如下， 由表可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中两次指针都落在阴影区域的有1种， ∴两次指针都落在阴影区域的概率为． 【变式8-3】在“浙”城市篮球联赛的丽水农产品推销会上，主办方设置了一个如图所示的幸运转盘和观众互动（若指针恰好停在等分线上则重新转动一次，直至指针指向某一区域为止）．转盘被均匀地分成三个扇形区域，分别代表三种丽水特色农产品：“处州白莲”区域，“庆元香菇”区域，“云和雪梨”区域．    (1)观众随机转动转盘一次，求指针指向“处州白莲”区域的概率； (2)观众连续转动转盘两次，请用列表法或画树状图，求两次转动停止时，指针恰好一次指向“庆元香菇”区域，另一次指向“云和雪梨”区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用概率公式求概率和利用树状图或列表法求概率，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）通过画树状图可得共有9种等可能结果，指针恰好一次指向“庆元香菇”区域，另一次指向“云和雪梨”区域共有种，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵转盘被均匀地分成三个扇形区域，分别代表三种丽水特色农产品：“处州白莲”区域，“庆元香菇”区域，“云和雪梨”区域． ∴观众随机转动转盘一次，指针指向“处州白莲”区域的概率是 （2）解：依题意，把“处州白莲”区域，“庆元香菇”区域，“云和雪梨”区域分别记为， 画树状图如下：    ∴一共有9种等可能的结果，指针恰好一次指向“庆元香菇”区域，另一次指向“云和雪梨”区域共有种， ∴两次转动停止时，指针恰好一次指向“庆元香菇”区域，另一次指向“云和雪梨”区域的概率为． ▌题型09 需要计算结果支撑的概率问题 1．综合问题：先通过计算（如掷骰子求和、坐标运算）确定结果，再求概率。 2．解题步骤：明确实验→计算所有等可能结果→筛选符合条件的→用公式计算。 3．易错提醒：计算过程要仔细，特别是加法、乘法运算不要出错。 【典例9】彤彤和嘉嘉正在玩一个游戏：两人轮流掷骰子，骰子朝上的数字是几，就按箭头方向将同一颗棋子前进几格并获得格子中的物品，现在棋子在标有数字“0”的格子中，彤彤先掷一次，然后嘉嘉掷，则嘉嘉掷一次就获得小汽车的概率是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式的应用，列表法求概率，解题的关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与能获得“汽车”的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 当彤彤和嘉嘉投掷的点数和为时，嘉嘉掷一次就能获得小汽车， 共有36种等可能的结果，能获得奖品的有6种情况， 嘉嘉掷一次就获得小汽车的概率． 故答案为：． 【变式9-1】．一款游戏的规则如下：如图1为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图2是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏． (1)转动转盘一次，转盘停止后指针指向4的概率________； (2)请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式进行计算即可； （2）画出表格，利用概率公式进行计算即可. 【详解】（1）解：由题意，转动转盘一次，转盘停止后指针指向4的概率为； （2）解：由题意，列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 共16种等可能的结果，其中棋子最终能恰好落在终点的结果有2种， ∴. 【变式9-2】一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球． (1)第一次取出的小球标号为偶数的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求两次取出的小球标号的和等于4的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：从标号为1，2，3，4的小球中摸球，第一次取出的小球标号为偶数的概率为； （2）解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 ∴共有16种可能结果，其中两次取出的小球标号的和等于4的结果有3种， ∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为． 【变式9-3】四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字，，，，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的张中随机抽取第二张． (1)用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况． (2)在（1）的条件下，若记第一次抽取的数字为，第二次抽取的数字为，求点在直线上的概率． 【答案】(1)前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况共种，树状图如下： (2) 【分析】（1）根据树状图的画法解题即可； （2）找到所有符合条件的情况，根据概率的公式进行计算． 【详解】（1）略； （2）解：其中点，，在直线上， ． ▌题型10 概率其它问题 1．综合应用：概率与衣服搭配、数轴移动、传球问题等实际场景结合。 2．建模思路：识别实验类型→选择列举/树状图/列表→计算概率。 3．易错提醒：实际问题要仔细读题，弄清"放回"与"不放回"、"至少"与"恰好"的区别。 【典例10】商场里新上市一套衣服，上衣有棕色，蓝色和白色三种不同颜色，裤子有黑色和白色两种不同颜色．这些上衣和裤子除了颜色不同，其他都一样． (1)求上衣和裤子各取一件可以配成多少套不同的衣服； (2)若任意拿出1件上衣和1条裤子，求正好是白色套装的概率．（请列出表格或画出树状图）． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）列举出所有可能； （2）画出树状图，再利用概率计算公式求解． 【详解】（1）解：棕色上衣搭配黑色裤子； 棕色上衣搭配白色裤子； 蓝色上衣搭配黑色裤子； 蓝色上衣搭配白色裤子； 白色上衣搭配黑色裤子； 白色上衣搭配白色裤子； 可知，上衣和裤子各取一件可以配成6套不同的衣服； （2）解：画出树状图如下： ． 【变式10-1】一个质点从数轴的原点出发，每次等可能地向左或向右移动1个单位长度．移动2次后，该质点恰好回到原点的概率是_______． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率． 根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出该质点恰好回到原点的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有4种等可能性，其中该质点恰好回到原点的可能性有2种， ∴该质点恰好回到原点的概率为． 故答案为：． 【变式10-2】现有五张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，其中标有数字2，5的卡片在甲手中，标有数字1，3，4的卡片在乙手中． (1)若从乙手中随机抽取一张卡片，求该卡片数字比2大的概率． (2)若从甲乙手中各随机抽取一张卡片，求两张卡片上的数字和等于6的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵乙手中有标有数字1，3，4的卡片，共张，且比大的数字有3，4，共张， ∴从乙手中随机抽取一张卡片，该卡片数字比2大的概率； （2）解：画树状图可得： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中两张卡片上的数字和等于6的情况有种， 故两张卡片上的数字和等于6的概率为． 【变式10-3】．如图，放在平面直角坐标系中的正方形的边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（如图，它有四个顶点，各顶点数分别是1、2、3、4），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）． (1)求点落在正方形面上（含边界，下同）的概率； (2)将正方形平移数个单位，是否存在一种平移，使点落在正方形面上的概率为？若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、列表法求概率，平面直角坐标系内点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，第一象限点的符号为． （1）列表格把每种情况都列举出来，看看满足条件的有几种，然后作比即可； （2）将正方形向左平移1个单位，向下平移1个单位就能够满足条件． 【详解】（1）解：由图可知，点落在正方形面上（含边界，下同）的情况是：，，，，，，，，；概率是：．            1 2 3 4 1 2 3 4 （2）解：如图所示， 平移后第一象限内的点有：，，，， ∴点落在正方形面上的概率为． 【变式10-4】浙城市争霸赛火热进行中，余姚队明星球员号虞航、号徐启超、号马翔宇赛后进行传球训练，篮球从一人传给另一人就记为传球一次． (1)从号徐启超开始，经过两次传球后，篮球传到号虞航处的概率是多少？（用树状图或列表法说明） (2)经过两次传球后，若要使篮球传到号徐启超处的可能性最大，则应从谁开始传球？请说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)应从徐启超开始，理由见解析 【分析】本题考查“列举法”求概率，概率的比较与实际应用，通过树状图表示两次传球的所有可能结果是解题关键． （1）从号开始，用树状图列举两次传球的所有等可能结果，再通过古典概型公式计算篮球传到号处的概率； （2）分别以号、号、号为起点，列举两次传球的可能情况并计算传到号处的概率，比较后确定传球起点． 【详解】（1）解：画树状图为： 据图可知，共有种等可能的结果，其中传给虞航的情况有种， 故经过两次传球后，篮球传到虞航处的概率． 答：． （2）解：要使传到徐启超处的可能性最大，则应从徐启超开始．理由如下： 由（1）得从虞航开始，经过两次传球后，篮球传到徐启超处的概率为， 同理可得从马翔宇开始，经过两次传球后，篮球传到徐启超处的概率为， 若从徐启超开始传， 画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中传到徐启超处的结果数为， 则经过两次传球后，传到徐启超处的概率， 由， 故要使篮球传到徐启超处的可能性最大，则应从徐启超开始传． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 概率的计算方法 （题型突破·举一反三） 题型01 列举法求概率 题型02 几何概率 题型03 用树状图求概率（不放回） 题型04 用树状图求概率（放回） 题型05 三步实验的树状图 题型06 用列表法求概率（不放回） 题型07 用列表法求概率（放回） 题型08 用转盘求概率 题型09 需要计算结果支撑的概率问题 题型10 概率其它问题 ▌题型01 列举法求概率 1．列举法：把实验所有等可能结果不重不漏地列出来，再用公式 计算。 2．适用条件：实验结果有限个且每个结果出现的可能性相等。 3．易错提醒：列举时注意有序与无序的区别，放回与不放回的结果总数不同。 【典例1】四根木棒的长度分别为 ， ， ， ．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，能够组成三角形的概率是（     ） A． B．1 C． D． 【变式1-1】现有四张分别标有数字0，，，的卡片，随机抽出两张卡片，两张卡片数字的积为有理数的概率是________． 【变式1-2】《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》及《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某校九年级准备从这四部著作中随机抽取两本开展“数学文化”活动，则该年级的学生恰好抽取到《周髀算经》和《测圆海镜》的概率是_______． 【变式1-3】从甲、乙、丙三人中随机选取2人参加学校举办的“水资源保护”知识竞赛活动，则甲被选中的概率为______． ▌题型02 几何概率 1．几何概率：用面积（或长度、体积）之比求概率，。 2．常见模型：飞镖靶、转盘、方格纸等，关键是确定"有利区域"与"总区域"。 3．易错提醒：必须保证每个点落入区域内是等可能的；注意单位统一。 【典例2】如图是5张背面完全相同的卡片，其正面分别写有，，，，，现将这5张卡片洗匀，从中任意抽取3张．求所抽取的3张卡片上的度数恰能成为三角形三个内角的概率． 【变式2-1】．如图将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】小华设计了一个圆内接正方形的气枪射击的靶盘，如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的直角边长度分别为2和1．若随机射击一次，则击中阴影区域的概率约为_____． 【变式2-4】．如图是一个转盘，转盘上共有红、黄、蓝三种不同颜色的区域，已知红色区域的圆心角为，黄色区域的圆心角为，自由转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是_________． ▌题型03 用树状图求概率（不放回） 1．树状图法：用树形图不重不漏地列出两步或多步实验的所有等可能结果。 2．不放回特征：第一次取出后不再放回，第二次可选数量减少，分支数递减。 3．易错提醒：注意"不放回"导致各步不独立，分母逐次减1。 【典例3】如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光． (1)任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于__________； (2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率． 【变式3-1】截至2025年底，中国的高铁里程数已突破5万公里，位居世界第一，随着智能化高铁的出现，越来越多的人愿意选择高铁出行．元旦假期，越越和兴兴乘坐高铁外出游玩，由于一等座余票不多，售票系统将随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是在一等座同一排座位的排列示意图．求下列事件发生的概率： (1)越越被分配到靠窗的座位． (2)越越和兴兴被分配到相邻的座位（过道两侧座位不算相邻）． 【变式3-2】明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着（楼梯），（客厅），（走廊），（洗手间）四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯． (1)若明明任意按下一个开关，则打开走廊灯的概率是_____． (2)若任意按下一个开关后，再按下另三个开关中的一个，则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明． 【变式3-3】我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象．小明将关于地域特产的4个IP形象（A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶），制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP形象玩具． (1)若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是 （填序号）； ①必然事件    ②随机事件    ③不可能事件 (2)若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率． ▌题型04 用树状图求概率（放回） 1．放回特征：每次取出后放回搅匀，各步独立，每步可选数量相同。 2．树状图规律：每步分支数相同，总结果数 （ 为每步选项数， 为步数）。 3．易错提醒：放回实验的树状图每层分支数一致，不要与不放回混淆。 【典例4】2026年春节期间有三部热门电影：《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》，小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是________． 【变式4-1】某智能仓库共有个储物箱，编号分别为，，，，，管理软件随机分配取货任务，每次分配任务时每个箱子被选中的概率相同，则连续两次分配任务中（每个储物箱可以被重复选择），恰有一次分配到奇数编号储物箱的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】一个不透明的布袋里放有2个红球、1个黑球，它们除颜色外其余都相同． (1)从布袋里任意摸出1个球，求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出一个球放回搅匀后，再摸出一个球．请列表或用树状图分析，两次摸出的球颜色不一样的概率． 【变式4-3】有三张大小、形状完全相同的卡片，正面分别写着如图中所示数的计算式．从中任意抽取一张，记下卡片上计算式的结果后，放回搅匀，再任意抽取一张．求两次抽取的卡片上计算式的结果都是正整数的概率． ▌题型05 三步实验的树状图 1．三步实验：实验分三步完成，树状图有三层分支，总结果数为各步选项数之积。 2．画树状图要点：按实验顺序逐层展开，每层标注所有等可能结果。 3．易错提醒：三步实验结果数较多，画完后务必检查是否遗漏或重复。 【典例5】如图，现对由四个小正方形组成的图形进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则任意相邻两块小正方形都是不同颜色的概率为______． 【变式5-1】2025年11月16日，2025横店马拉松在浙江省东阳市横店影视城鸣枪起跑．参赛选手通过比赛，彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神，比赛设置“全程马拉松”“半程马拉松”两种不同项目，甲、乙、丙三人分别参加了其中一个项目． (1)甲恰好参加的是：“半程马拉松”的概率是_______； (2)请画树状图求“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率． 【变式5-2】甲、乙、丙三人玩传球游戏，拿到球的人须将球随机传给另外两人中的一人．若开始传球时球在甲手上，第一次传球时甲将球随机传给乙或丙，由此经历三次传球．问第三次传球完成时，球回到甲手中的概率是______． 【变式5-3】现有A，B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同． (1)将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球标记的数字是奇数的概率为________； (2)分别将A，B两个袋子中的小球摇匀，然后从A，B袋中各随机摸出一个小球，小强说：“摸出的这两个小球标记的数字之和为6的概率与数字之和为8的概率相同．”请利用画树状图或列表的方法，说明小强的说法是否正确？ 【变式5-4】有A，B，C三个小球，按如图所示的方式悬挂在天花板上，每次摘下一个小球且摘A之前需先摘下B，直到3个小球都被摘下，则第二个摘下的小球是A的概率是________ ． ▌题型06 用列表法求概率（不放回） 1．列表法：用二维表格列出两步实验的所有组合，适合两步且结果数适中的情况。 2．不放回特征：表格中对角线位置（同一元素取两次）不存在，有效结果数 。 3．易错提醒：不放回时表格对角线要画"—"或留空，不能计入总结果数。 【典例6】．一个不透明的口袋里装有个分别标有数字，，的小球，它们除标的数字外其它都相同，现随机从口袋中摸出一个小球记下数字作为点的横坐标，不放回，再摸出一个小球记下数字作为纵坐标． (1)请用列表或树状图的方法，表示出两次所得数字可能出现的所有结果； (2)求出点的坐标在第四象限的概率． 【变式6-1】中国古代四大发明对世界影响深远，其分别是：造纸术，指南针，火药，印刷术．如图是小江同学收集的关于中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀后放好． (1)若随机抽一张卡片，则抽到的卡片恰好是“火药”的概率为__________． (2)若小江从这四张卡片中先随机抽取一张，不放回，再随机抽取另一张．请用列表或画树状图的方法，求抽到的卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率． 【变式6-2】宁波市中考体育随机选测从以下6个项目中抽取： 抽签时，使用电动摇号机从项目编号①～⑥的球中随机抽取，每次抽取1个球，记录编号后不放回，重复抽取直至选出3个随机选测项目． (1)若仅抽取一次，求抽到“项目⑤”的概率； (2)在正式抽签中，已知第一次抽到“项目⑥”，求接下来两次抽取中，抽到“项目①和项目②”的概率．请画树状图或列表求解． 【变式6-3】在古镇的休息区摆有圆形桌子，每张桌子配有个座位，如图所示，小聪和小慧在古镇游玩，玩累了想坐下休息，涂色的座位代表已有人． (1)现小聪随机选择个空座位坐下，选择号空座位的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法，求小聪和小慧坐在相邻位置的概率． ▌题型07 用列表法求概率（放回） 1．放回特征：两次独立选取，表格所有格子都有效，总结果数 。 2．列表步骤：行标第一次结果，列标第二次结果，逐格填写组合。 3．易错提醒：放回实验的对角线（同一元素取两次）是有效的，不要遗漏。 【典例7】一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球． (1)从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率． (2)从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球．小滨认为摸到同色的可能性大，小江觉得摸到不同色的可能性大，请判断谁说的正确，并说明理由，要求画树状图或列表． 【变式7-1】某文具店新开业，推出福利活动：进店消费每满15元，即可参与1次“抽小球换文具”的活动．在一个不透明盒子里有3个不同颜色的小球，红色小球对应钢笔，绿色小球对应笔记本，蓝色小球对应修正带，每个小球除颜色外完全相同，且每抽完一次后，都会将小球放回盒中． (1)同学A获得1次抽奖资格，那么他能抽到“钢笔”的概率是______； (2)同学B获得2次抽奖资格，请求出他至少抽中1次“笔记本”的概率．（请用树状图或列表法解答） 【变式7-2】第七届世界人工智能大会于2025年7月26日日在上海举办，本次大会展区分成四大区域．小刚和小亮到人工智能大会游玩，现将正面分别写有“核心技术馆”“行业应用馆”“智能终端馆”“全域链接馆”的四张外观、大小、质地完全相同的不透明卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，小刚和小亮通过随机抽取卡片的方式选择要参观的展馆（区），小刚先随机抽取一张卡片记下展馆（区）后放回并洗匀，小亮再随机抽取一张卡片． (1)小刚抽到写有“行业应用馆”卡片的概率为__________． (2)用画树状图或列表的方法，求小刚和小亮中至少有一人抽到写有“核心技术馆”卡片的概率． 【变式7-3】某校音乐兴趣小组组建了一支舞蹈队，现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一名男生和一名女生．（温馨提示：用、、、分别表示甲、乙两班推荐的名学生） (1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果； (2)若要求选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率． ▌题型08 用转盘求概率 1．转盘概率：指针落在各区域的可能性与圆心角（或面积）成正比。 2．双转盘问题：用列表法或树状图列出两个转盘的所有组合结果。 3．易错提醒：不等分转盘需将非等分区域拆分为等分小份后再列举。 【典例8】．如图，、是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色，同时转动两个转盘，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，不记，重转）的颜色，则两个指针指向区域的颜色是一红一蓝的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是_____． 【变式8-2】如图，是一个均匀的圆形转盘，阴影部分扇形圆心角为． (1)转动转盘1次，求指针落在阴影部分（边界宽度忽略不计）的概率； (2)转动转盘2次，求两次指针都落在阴影部分（边界宽度忽略不计）的概率． 【变式8-3】在“浙”城市篮球联赛的丽水农产品推销会上，主办方设置了一个如图所示的幸运转盘和观众互动（若指针恰好停在等分线上则重新转动一次，直至指针指向某一区域为止）．转盘被均匀地分成三个扇形区域，分别代表三种丽水特色农产品：“处州白莲”区域，“庆元香菇”区域，“云和雪梨”区域．    (1)观众随机转动转盘一次，求指针指向“处州白莲”区域的概率； (2)观众连续转动转盘两次，请用列表法或画树状图，求两次转动停止时，指针恰好一次指向“庆元香菇”区域，另一次指向“云和雪梨”区域的概率． ▌题型09 需要计算结果支撑的概率问题 1．综合问题：先通过计算（如掷骰子求和、坐标运算）确定结果，再求概率。 2．解题步骤：明确实验→计算所有等可能结果→筛选符合条件的→用公式计算。 3．易错提醒：计算过程要仔细，特别是加法、乘法运算不要出错。 【典例9】彤彤和嘉嘉正在玩一个游戏：两人轮流掷骰子，骰子朝上的数字是几，就按箭头方向将同一颗棋子前进几格并获得格子中的物品，现在棋子在标有数字“0”的格子中，彤彤先掷一次，然后嘉嘉掷，则嘉嘉掷一次就获得小汽车的概率是_________． 【变式9-1】．一款游戏的规则如下：如图1为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图2是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏． (1)转动转盘一次，转盘停止后指针指向4的概率________； (2)请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率． 【变式9-2】一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球． (1)第一次取出的小球标号为偶数的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法求两次取出的小球标号的和等于4的概率． 【变式9-3】四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字，，，，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的张中随机抽取第二张． (1)用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况． (2)在（1）的条件下，若记第一次抽取的数字为，第二次抽取的数字为，求点在直线上的概率． ▌题型10 概率其它问题 1．综合应用：概率与衣服搭配、数轴移动、传球问题等实际场景结合。 2．建模思路：识别实验类型→选择列举/树状图/列表→计算概率。 3．易错提醒：实际问题要仔细读题，弄清"放回"与"不放回"、"至少"与"恰好"的区别。 【典例10】商场里新上市一套衣服，上衣有棕色，蓝色和白色三种不同颜色，裤子有黑色和白色两种不同颜色．这些上衣和裤子除了颜色不同，其他都一样． (1)求上衣和裤子各取一件可以配成多少套不同的衣服； (2)若任意拿出1件上衣和1条裤子，求正好是白色套装的概率．（请列出表格或画出树状图）． 【变式10-1】一个质点从数轴的原点出发，每次等可能地向左或向右移动1个单位长度．移动2次后，该质点恰好回到原点的概率是_______． 【变式10-2】现有五张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，其中标有数字2，5的卡片在甲手中，标有数字1，3，4的卡片在乙手中． (1)若从乙手中随机抽取一张卡片，求该卡片数字比2大的概率． (2)若从甲乙手中各随机抽取一张卡片，求两张卡片上的数字和等于6的概率． 【变式10-3】．如图，放在平面直角坐标系中的正方形的边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（如图，它有四个顶点，各顶点数分别是1、2、3、4），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）． (1)求点落在正方形面上（含边界，下同）的概率； (2)将正方形平移数个单位，是否存在一种平移，使点落在正方形面上的概率为？若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，说明理由． 【变式10-4】浙城市争霸赛火热进行中，余姚队明星球员号虞航、号徐启超、号马翔宇赛后进行传球训练，篮球从一人传给另一人就记为传球一次． (1)从号徐启超开始，经过两次传球后，篮球传到号虞航处的概率是多少？（用树状图或列表法说明） (2)经过两次传球后，若要使篮球传到号徐启超处的可能性最大，则应从谁开始传球？请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $