第二章 直线和圆的方程 单元模拟试题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程单元复习卷，覆盖直线方程、圆的方程及位置关系等核心知识，通过基础与综合应用梯度设计，适配单元复习，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|直线与圆交点（含绝对值曲线）、公切线、最短弦|结合几何直观，如第7题最短弦问题考查圆的性质推理| |多选题|3题|直线与圆位置关系判断、对称点坐标|注重逻辑推理，如第9题多选项辨析直线与圆位置关系| |填空题|3题|直线平行求参数、过定点及距离最值|强化运算能力，第14题考查直线过定点及距离最大值| |解答题|5题|交点坐标、圆的方程求法、直线过定点与面积最值、实际应用（绿地建建筑物）|突出综合应用，如第18题结合长方形绿地情境，考查轨迹与距离，体现模型意识；第17题融合定点问题与面积最值，培养数学思维|

高中数学人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程模拟试题 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．若直线y=kx与曲线(x-)2+(|y|-1)2=1有交点，则k的取值范围是（    ） A．[-，] B．[-1，1] C．[-，] D．[-，] 2．两条直线：与：的交点坐标为（    ）． A． B． C． D． 3．过点且与原点距离最远的直线为（    ）. A． B． C． D． 4．圆与圆的公切线共有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 6．若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．当直线被圆截得的弦最短时，的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆与轴相切于点，过点的直线交圆于另一点，点为坐标原点，若，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线，圆，则下列说法正确的有（    ） A．若，则l与圆C相切 B．若l与圆C相交，则 C．圆C可能关于l对称 D．若，则l被圆C截得的弦长为4 10．已知点，则下列命题正确的是（    ） A．过点且与线段有公共点的直线的斜率的取值范围为 B．过点且与直线平行的直线的方程为 C．过点且与直线垂直的直线的方程为 D．点关于直线的对称点的坐标为 11．下列命题正确的是（   ） A．若直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 B．两平行直线与之间的距离是 C．过点作圆的切线，则切线方程为 D．圆关于直线对称的圆的方程为： 三、填空题 12．已知直线，，若，则的值为______. 13．已知，且，则________． 14．直线过定点___________，原点到直线l的距离的最大值为___________. 四、解答题 15．回答下面两题 (1)求直线：，：的交点坐标； (2)求点到直线：的距离； 16．求满足下列条件的圆的方程，并画出图形： (1)经过点和，圆心在x轴上； (2)经过直线与的交点，圆心为点； (3)经过，两点，且圆心在直线上； (4)经过，，三点． 17．已知直线l：． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程． 18．如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的直角坐标系. (1)求出建筑物的中心的坐标； (2)由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为100万元/，求开通的这条路的最低造价.附：. 19．已知直线，直线过点，且于点. （1）求直线的方程； （2）若直线与轴相交于点，求△外接圆的方程. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程模拟 试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D B D A C AD ABC 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】画出曲线图象，根据直线和圆的位置关系求得的取值范围. 【详解】时，曲线方程为，图象是圆心为，半径为的圆.时，曲线方程为，图象是圆心为，半径为的圆. 画出曲线的图象如下图所示， 当直线与曲线相切时， ，或， 则的取值范围是. 故选：A 2．C 【分析】联立两直线的方程，解方程组即可求解. 【详解】因为直线：，直线：， 由，解得：， 所以与两条直线的交点坐标为， 故选：C. 3．A 【分析】过点且与原点O距离最远的直线垂直于直线，求出，从而过点且与原点O距离最远的直线的斜率为，由此能求出过点且与原点O距离最远的直线方程. 【详解】过点且与原点O距离最远的直垂直于直线， ，∴过点且与原点O距离最远的直线的斜率为， ∴过点且与原点O距离最远的直线方程为： ，即. 故选：A. 【点睛】本题考查点到直线方程的求法，考查点到直线的距离、直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 4．D 【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线． 【详解】 圆心坐标为（2，0）半径为2； 圆心坐标为，半径为1， 圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条． 故本题选D. 【点睛】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系． 5．B 【分析】求出圆、的圆心和半径，再由两圆没有公共点列不等式求解作答. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 因圆、没有公共点，则有或， 即或，又，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故选：B 6．D 【分析】由圆与圆的对称性可得，再利用几何关系，求点的轨迹方程. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由圆与圆关于直线对称， 可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线上，所以，解得， 经检验，满足题意，则点的坐标为， 设圆心为坐标为，则，整理得， 即圆心的轨迹方程为. 故选：D. 7．A 【分析】先求出直线经过的定点，再判断定点与圆的位置关系；确定直线被圆截得的弦最短时的条件，进而求出的值. 【详解】直线方程为， 直线方程可化为：， 由得，，直线经过定点, 圆方程为，圆心，半径， ,在圆的内部, 要使直线被圆截得的弦最短，则，， 又直线斜率为，且，，. 故选：A 8．C 【分析】利用圆的轨迹方程解出两点均在圆上，然后将直线的方程转化为两个圆得公共弦方程求解即可. 【详解】圆，即， 且圆与轴相切于点，故， 所以， 设动点，满足，则， 则，即， 故点的轨迹是圆，且，故两点均在圆上， 且两点均在圆上，故直线的方程为两个圆的公共弦方程， 两个圆的方程相减得：，即. 故选：C 9．AD 【分析】利用点到直线距离公式计算判断直线与圆的位置关系判断A，B，结合圆心能否在直线上判断C，应用几何法求弦长判断D选项． 【详解】直线l过定点，圆C：，所以圆心为，半径为 对于A，若，则圆心到直线的距离，所以l与圆C相切，故A正确； 对于B，依题意，由圆心到直线的距离，解得或，故B错误； 对于C，将到代入l的方程，得不成立，故l不能经过圆心C，则圆C不可能关于l对称，故C 错误； 对于D，若，圆心到直线的距离为，则弦长为，故D正确． 故选：AD. 10．ABC 【分析】对于A，先求出，再结合图形求解判断即可；对于B，根据直线平行得到所求直线的斜率，进而根据点斜式写出方程即可判断；对于C，根据直线垂直得到所求直线的斜率，进而根据点斜式写出方程即可判断；对于D，先求出直线的方程，设，进而列式计算即可判断. 【详解】对于A，由， 如图，要使直线过点且与线段有公共点， 则直线的斜率的取值范围为，故A正确； 对于B，由于，则所求直线的斜率为， 所以所求直线的方程为，即，故B正确； 对于C，由于，则所求直线的斜率为， 所以所求直线的方程为，即，故C正确； 对于D，由于，则直线的方程为，即， 设，则，解得， 则点的坐标为，故D错误. 故选：ABC 11．ACD 【分析】对于A，由数形结合即可判断；对于B，由距离公式即可求解；对于C，由圆心到直线的距离等于半径即可求解；对于D，确定圆心的对称点，即可判断； 【详解】对于A：，如图，    由图可知，或，故A正确； 对于B：直线，即， 则直线与之间的距离，故B不正确； 对于C：因为点在圆上，，所以切线的斜率， 所以切线方程为，即，故C正确； 对于D：圆的圆心为， 圆的圆心为，且半径均为1， 点与的中点为， 因为在直线上，且，由直线的斜率， 所以，所以点与关于直线对称，故D正确. 故选：ACD 12．-1 【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：-1. 13． 【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解. 【详解】因为且，所以，解得 故答案为： 14． 【分析】将化为可得直线所过定点； 由第一空答案结合图形，可得原点到直线l的距离的最大值. 【详解】由可得，则， 得，故l过定点；如图，设定点为A，当时，原点到直线l的距离的最大.理由如下：设为过A点的除l外的一条直线，其到原点距离如图为， 因为直角三角形，则.故当且仅当时，原点到直线l的距离的最大.此时最大距离为. 故答案为：；. 15．(1) (2)3 【分析】（1）联立两直线方程，即可求解； （2）代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）联立，得， 所以直线和的交点坐标为； （2）点到直线的距离， 所以点到直线的距离为. 16．(1)，图形见解析； (2)，图形见解析； (3)，图形见解析； (4)，图形见解析. 【分析】根据题意，利用待定系数法、直接法分别求出圆的方程，结合圆的标准方程确定圆心坐标和半径，进而即可画出对应的图形. 【详解】（1）圆心在x轴上，设圆的方程为：， 将点代入圆的方程， 得，解得， 所以圆的方程为：，其图形如下：    （2）圆心为点，设圆的方程为：， 由，解得， 即直线与直线的交点坐标为， 因为圆过交点，所以，解得， 所以圆的方程为：，其图形如下：    （3）设圆的方程为：， 圆心坐标为，在直线上，所以①， 又圆过点， 所以②，③， 联立①②③，得， 所以圆的方程为：，其图形如下：      （4）设圆的方程为：， 因为圆经过点， 则，解得， 所以圆的方程为：， 即，其图形如下：    17．(1)证明：直线l的方程可化为， 令，解得， 所以无论k取何值，直线总经过定点． (2)， 【分析】（1）由题意可得，从而可求得结论， （2）先求出两点的坐标，再表示出的面积，然后利用基本不等式可求出S的最小值，从而可求出直线l的方程． 【详解】（1）略 （2）由题意可知，再由l的方程，得，． 依题意得，解得． 因为， “=”成立的条件是且，即， 所以，此时直线的方程为． 18．(1) (2)112万元 【分析】（1）设出过点的圆的一般方程，代入三个点的坐标，待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程，得到圆心，即建筑物的中心的坐标； （2）求出，由垂径定理得到点到的距离，从而求出开通的这条路的最低造价. 【详解】（1）由题可知， 由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心， 设圆的方程为， 则，解得, 圆的方程为，即， 建筑物的中心的坐标为. （2）因为为建筑物的中心坐标， 设线段EF的中点为Q，由垂径定理得HQ的长度为点H到EF的最小距离， ，圆的半径为， 点到的距离为， 开通的这条路的最低造价为（万元）. 19．（1）；（2）. 【解析】（1）利用直线，而直线，可直接求出l的斜率，再由点斜式，求出l的方程； （2）先求出B的坐标，根据AH⊥BH，得到AB为所求圆的直径，从而求出圆的方程. 【详解】解：(1)直线的斜率，由题意 的斜率   又过点， 的方程为 即 （2）中令得， 故   于，    所以是外接圆的直径     ，的中点坐标为    外接圆方程为 【点睛】待定系数法可以求曲线方程的标准方程，是最常用的方法； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $