专题02 直线的方程大题（36题）（举一反三专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线方程核心题型，以36道大题构建从方程求解到对称关系的完整训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线方程的求解|6题|结合斜率、截距、中点等条件求方程|从直线方程基本形式到三角形应用，体现概念生成到应用拓展| |直线过定点问题|6题|含参数直线过定点证明及应用|通过参数分离法培养数学思维，连接方程与几何性质| |两直线平行垂直的判定及求参|6题|由位置关系求参数值|基于斜率关系推理，强化逻辑思维与符号意识| |直线的交点问题|6题|求交点及过交点的直线方程|承接收敛性思维，构建方程联立与直线性质的联系| |平面上的距离问题|6题|点到线、线到线距离计算|运用距离公式解决几何问题，发展数学语言表达能力| |点、线间的对称关系|6题|点对称、线对称及反射问题|综合方程与几何变换，提升空间观念与创新意识|

专题02 直线的方程大题（36题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 直线方程的求解 1．（25-26高二上·江西景德镇·期末）根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 2．（25-26高二上·四川南充·期末）已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 3．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； 4．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 5．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知中，，． (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程． 6．（25-26高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 题型二 直线过定点问题 7．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知直线，点． (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 8．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 9．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 10．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 11．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 12．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)求与原点距离最大的直线方程； (3)过点引直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 题型三 两直线平行、垂直的判定及求参 13．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 14．（25-26高二上·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 15．（25-26高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 16．（25-26高二上·广东广州·期中）给出两条直线，，其中． (1)当为何值时，与重合？ (2)若，求； (3)求的值，使得． 17．（25-26高二上·全国·课后作业）判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由． (1)经过点，经过点； (2)的斜率为，经过点； (3)，. 18．（25-26高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 题型四 直线的交点问题 19．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线与的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 20．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线，，求下列直线l的一般方程: (1)若直线经过和的交点，且经过点 ； (2)若直线经过和的交点，且与直线垂直. 21．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 22．（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 23．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知直线和直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 24．（25-26高二上·河南·期中）已知直线. (1)求经过直线的交点，且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 题型五 平面上的距离问题 25．（25-26高二上·四川凉山·期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 26．（25-26高二上·四川凉山·期中）已知直线与直线. (1)当时，求的值． (2)当时，求与之间的距离． 27．（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，. (1)求边上的高的方程； (2)若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 28．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 29．（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）已知直线：和直线：. (1)求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离； (2)若，求两直线与间的距离. 30．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程. 题型六 点、线间的对称关系 31．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 32．（25-26高二上·湖北·期中）已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． (1)求点B的坐标； (2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 33．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 34．（25-26高二上·四川广安·期中）已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 35．（25-26高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 36．（25-26高二上·四川自贡·阶段检测）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线的方程大题（36题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 直线方程的求解 1．（25-26高二上·江西景德镇·期末）根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 【答案】(1)， (2)， 【解题思路】（1）利用点斜式方程写出直线和的方程，然后转化为一般式方程； （2）利用两点式方程可得出直线的方程，利用截距式方程可得出直线的方程，再将这两直线的方程化为一般式方程即可. 【解答过程】（1）由题意可知直线的方程为，即， 直线的方程为，即. （2）直线的方程为，即， 直线的方程为，即. 2．（25-26高二上·四川南充·期末）已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出BC的斜率，从而可求BC边的高的斜率，由此利用点斜式方程能求出BC边的高所在直线的方程． （2）利用中点坐标公式求出，，由此能求出过点M且平行于边的直线方程． 【解答过程】（1）因为，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为，又， 所以边上的高所在直线的方程为， 即； （2）因为，且点是线段的中点， 所以，即， 又，所以， 又因为直线经过点且平行于直线，所以， 所以直线的方程为，即． 3．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据直线方程得出已知直线的斜率，由平行关系求得所求直线的斜率，然后利用点斜式写出所求直线方程化简即可； （2）根据直线方程得出已知直线的斜率，由垂直关系求得所求直线的斜率，然后利用点斜式写出所求直线方程化简即可； 【解答过程】（1）由直线的斜率为， 设所求直线的斜率为， 因为所求直线与直线平行， 所以， 又所求直线经过，根据点斜式方程可得：， 即所求直线方程为. （2）由直线的斜率， 由题知两条直线垂直且，所以所求直线斜率存在， 设所求直线的斜率为， 由，解得：， 又所求直线经过点，根据点斜式方程可得：， 即所求直线方程为. 4．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，可得出边上的高所在直线的点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）由图可知，所以的平分线所在直线的斜率为，可得到的平分线所在直线的点斜式方程，化为斜截式方程即可. 【解答过程】（1）因为点、，则， 所以，边上的高所在直线的斜率为， 又，所以边上的高所在直线的方程为，即， 即边上的高所在直线的一般式方程为. （2）    如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为， 又，所以的平分线所在直线的方程为，即， 即的平分线所在直线的斜截式方程为. 5．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知中，，． (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式，结合直线两点式方程进行求解即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 因此边所在直线的方程为. 6．（25-26高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【解答过程】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 题型二 直线过定点问题 7．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知直线，点． (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）将化为，建立方程组即可求解； （2）分别表示出，两点坐标，求出直线的斜率，再利用点斜式即可解得. 【解答过程】（1）因为直线， 所以， 因为， 所以，解得， 所以对任意实数，直线都经过一个定点. （2）因为为直线经过的定点，由（1）可知的坐标为， 又因为为线段的中点，则，即， 则，则直线的方程为：，即为. 8．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【解答过程】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 9．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为4，直线方程为. 【解题思路】（1）整理直线方程，即可求得定点； （2）通过直线方程得到纵截距，由纵截距和斜率列出方程，即可求得的取值范围； （3）通过直线方程得到交点的坐标，然后得到三角形面积，利用基本不等式即可求得最小值，同时求出此时的直线方程. 【解答过程】（1）∵， ∴直线过定点. （2）∵，直线的纵截距为， 要使得直线不经过第四象限，则， 即. （3）由题意可知：， 由直线方程可得，，， ∴，即， ， 当且仅当时，取等号. 即当直线方程时，面积取最小值4. 10．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)或； (3). 【解题思路】（1）求出直线所过定点即可. （2）求出直线的横纵截距，再列式求解. （3）求出直线的斜率及纵截距，结合题意列式求解. 【解答过程】（1）直线：，即， 由，得，所以直线必过定点，此定点坐标为. （2）依题意，，在直线：中，令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，解得或， 所以或. （3）直线：的斜率为，纵截距为， 由直线不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得， 所以的取值范围是. 11．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【解题思路】(1) 因为，，通过化简得，结合过定点列方程组，解出方程组的解即可得到定点坐标. (2) 令得，，令可得，.因为，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，所以得到的取值范围，再利用均值不等式求出的值即可得到直线方程. (3) 由(2)可知直线l分别与x，y 轴的正半轴相交，所以，，均为正整数且a也为正整数求得. 将的值代入原方程即可. 【解答过程】（1）由得，则，解得， ∴不论a为何值，直线l必过一定点； （2）由， 当时，，当时，， 又由，得， ， 当且仅当，即时，取等号． ，， ∴直线方程为． （3）直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，即，均为正整数，而a也为正整数， ，， ∴直线l的方程为． 12．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)求与原点距离最大的直线方程； (3)过点引直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解； （2）原点到直线的距离最大时，，先求出直线的斜率，即可求解； （3）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【解答过程】（1）由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点． （2）由（1）知直线过定点，当时，原点到直线的距离最大， 又，所以直线的方程为，即， 所以与原点距离最大的直线方程为. （3）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 题型三 两直线平行、垂直的判定及求参 13．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用一般式方程两条直线平行的条件可得答案； （2）利用一般式方程两条直线垂直的条件可得答案． 【解答过程】（1）因为，所以，解得， 所以当时，； （2）因为，所以，解得， 所以当时，． 14．（25-26高二上·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 【答案】(1)或； (2)或. 【解题思路】（1）根据两直线垂直则斜率之积为，列方程求解即可； （2）根据两直线平行则斜率相等，列方程求解即可. 【解答过程】（1）经过，两点的斜率为：， 经过，两点的斜率为：， 两直线垂直则斜率之积为，所以，解得或； （2）经过，两点的斜率为：， 两直线平行则斜率相等，所以，解得或. 15．（25-26高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【解答过程】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 16．（25-26高二上·广东广州·期中）给出两条直线，，其中． (1)当为何值时，与重合？ (2)若，求； (3)求的值，使得． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】直线，的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）与重合； （2）与平行； （3）与垂直. 【解答过程】（1）由，解得，所以当时，与重合. （2）由，解得，所以时，与平行. （3）当时，即时，与相垂直. 17．（25-26高二上·全国·课后作业）判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由． (1)经过点，经过点； (2)的斜率为，经过点； (3)，. 【答案】(1)既不平行又不垂直，理由见解析 (2)垂直，理由见解析 (3)平行，理由见解析 【解题思路】先判断直线是否存在斜率，若不存在，则易判断两直线位置关系；若不存在，则求出斜率，并判断斜率是否相等，或乘积是否为，斜率相等时注意是否重合. 【解答过程】（1）设直线，的斜率分别为， 因为，， 所以，从而与既不平行又不垂直． （2）设直线，的斜率分别为， 因为， 所以，从而与垂直． （3）设直线，的斜率分别为， 因为，且与不重合， 从而与平行. 18．（25-26高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【答案】(1)或； (2) 【解题思路】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【解答过程】（1）因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； （2）若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故. 题型四 直线的交点问题 19．（25-26高二上·甘肃平凉·期末）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线与的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）由题意，设的方程为，根据题意，直线过点，代入可得m值，即可得直线的方程，与的方程联立，可得交点坐标. （2）讨论过原点和不过原点两种情况，分别设出的方程，代入直线与的交点坐标，计算求解，综合即可得答案. 【解答过程】（1）因为，且的方程为， 所以设的方程为， 因为在轴上的截距为，即过点， 所以，解得，即． 联立，解得，则直线与的交点坐标为． （2）当过原点时，设方程为，又直线过点，代入解得， 所以的方程为，即 当不过原点时，设的方程为， 又直线过点，所以，解得， 所以的方程为． 综上，的方程为或． 20．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线，，求下列直线l的一般方程: (1)若直线经过和的交点，且经过点 ； (2)若直线经过和的交点，且与直线垂直. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)先联立和的方程，解出交点，用交点和求斜率，最后用点斜式得方程后整理为. (2)根据垂直关系，由斜率得的斜率为，点斜式得方程后整理为. 【解答过程】（1）首先求直线和的交点，联立方程：， 解得，所以两直线交点坐标为，已知直线过点和点， 则直线的斜率，则直线的方程为， 即直线l的一般方程. （2）直线的方程为，化为斜截式得， 即斜率为：，与垂直的直线斜率满足， 所以直线的斜率为，直线经过交点， 由点斜式得：，化为一般式为. 21．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【解答过程】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 22．（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求得直线l1与l2的交点，根据直线的点斜式方程求得直线的方程，并转化为一般式方程； （2）根据平行求出直线l4的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程； （3）根据垂直求出直线l5的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程. 【解答过程】（1）联立直线方程得解得：，∴交点 ∵直线的倾斜角为，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （2）∵直线与直线平行，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （3）∵直线与直线垂直，∴，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. 23．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知直线和直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）由直线的垂直关系进行求解； （2）分直线过原点及不过原点进行求解． 【解答过程】（1）由直线即可得其斜率为， 根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得. （2）联立，解得， 即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，由直线经过点得直线方程为； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 24．（25-26高二上·河南·期中）已知直线. (1)求经过直线的交点，且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】(1)； (2)或． 【解题思路】（1）求出交点坐标，再根据两直线垂直时斜率的关系即可得到直线方程； （2）分直线过原点和不过原点时讨论，当不过原点时，设截距式方程再代入点即可. 【解答过程】（1）联立方程，解得. 由题知直线的斜率为，所以经过直线的交点， 且与直线垂直的直线方程为，即， 故经过直线的交点，且与直线垂直的直线方程为． （2）由（1）知，直线的交点为． ①若所求直线经过原点，则直线的方程为． ②若所求直线不经过原点，设直线方程为， 代入点，得，解得， 所求方程为，整理得． 故经过直线的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或． 题型五 平面上的距离问题 25．（25-26高二上·四川凉山·期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【解答过程】（1）由题可得，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即； （2）∵直线化简得：， 令，解得，∴定点， 则点到直线的距离， ∴到直线的距离为. 26．（25-26高二上·四川凉山·期中）已知直线与直线. (1)当时，求的值． (2)当时，求与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由两直线垂直可得出关于实数的方程，解之即可； （2）由两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得与之间的距离． 【解答过程】（1）解：由，则，解得. （2）解：由可得，解得， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 因此，与之间的距离为. 27．（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，. (1)求边上的高的方程； (2)若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）先求直线的斜率，进而得，再根据点斜式方程求解即可； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况分别讨论求解即可; 【解答过程】（1）解：∵， ∴， ∴边上的高的斜率为， ∴边上的高的方程为，即 （2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时两点到直线的距离相等，且等于，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ∵到直线的距离相等， ∴，即，解得， ∴直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 28．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)4. 【解题思路】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【解答过程】（1）直线方程为即为， 由可得则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 29．（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）已知直线：和直线：. (1)求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离； (2)若，求两直线与间的距离. 【答案】(1)定点，距离为 (2) 【解题思路】先求出直线的定点，再利用点到直线的距离公式求解即可； （2）利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线之间的距离公式即可得到答案. 【解答过程】（1）直线：恒过定点， 定点到直线的距离为. （2）由，则，即， 此时：，即，：，满足， 则两直线与间的距离为. 30．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程； (3)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用斜率公式求出，利用点斜式求出直线的方程，利用点到直线的距离求出点到直线的距离； （2）两直线垂直，且都存在斜率，则有； （3）利用中点坐标公式求出的中点，利用斜率公式求出直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程. 【解答过程】（1），，则，直线的方程为， 即，，点到直线的距离为； （2）设边上的高所在直线的斜率为 ， ，，， 边上的高所在的直线过， 边上的高所在直线的方程为，即； （3）设中点，，， ，， ，， 则边上的中线所在直线的方程为， 即. 题型六 点、线间的对称关系 31．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. 【解答过程】（1）直线的斜率为， 设，又，依题意可得， 解得，所以. （2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点， 则，解得，故. 设直线与直线的交点为，则由，解得，即. 所以直线经过点， 则，所以直线的方程为，即.    32．（25-26高二上·湖北·期中）已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． (1)求点B的坐标； (2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【解答过程】（1）由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. （2）设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 33．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. （2）根据所求直线过已知两直线的交点，以及上的任一点关于对称的点在所求直线上即可求解. 【解答过程】（1）因为直线：与：平行，所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得或（舍去）， 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得或7（舍去）， 故所求直线方程为， （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有，解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即：. 34．（25-26高二上·四川广安·期中）已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1). (2). (3) 【解题思路】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【解答过程】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 35．（25-26高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分离参数，列方程可得直线过定点； （2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程. 【解答过程】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 36．（25-26高二上·四川自贡·阶段检测）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【解答过程】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $