专题01 与直线有关的4种对称问题（专项训练）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

专题01 与直线有关的4种对称问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、点关于直线对称（重点） 1 题型二、两点对称 5 题型三、直线关于直线对称——光线反射问题（难点） 6 题型四、用将军饮马解决对称中的最值问题（难点） 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、点关于直线对称 1．（24-25高二下·上海·月考）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 2．（22-23高二上·上海长宁·期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】解：设点， 因为直线的斜率为， 则有， 解得：， 所以点的坐标为. 故答案为： 3．（22-23高二下·上海闵行·月考）已知在中，其中的平分线所在的直线方程为，则点坐标为 . 【答案】 【详解】关于直线的对称点； ， ，， 的直线方程为， 则由角平分线以及对称可知一定在直线上， 联立，解得，， 故答案为： 4．（23-24高二上·上海奉贤·月考）点关于直线的对称点为 . 【答案】 【详解】设对称点为，则， 解得，即对称点为. 故答案为：. 5．（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【答案】 【详解】设直线l的斜率为k， 则， 直线的中点坐标为， 所以由点斜式写出直线方程为，即. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·单元测试）中，，、的平分线方程为、，则直线BC的方程是 ． 【答案】 【详解】∵、的平分线方程为、， ∴AB与BC对于对称，AC与BC对于对称． 因为点关于的对称点在直线BC上， 点关于的对称点也在直线BC上． 由两点式得 所求直线BC的方程：. 故答案为：. 7．（22-23高二上·上海嘉定·期末）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示） 【答案】 【详解】由题意可得所在直线方程为:，即， 联立直线方程，解得入射点， 设点关于直线的对称点为 则，解得，所以， 即反射光线方程为:，即 故答案为: 8．（24-25高二上·上海·月考）已知从点射出的光线经直线上的点反射后经过点.则 . 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即 因为反射光线进过点，根据垂直平分线的性质，可得： . 故答案为：. 9．（24-25高二上·上海闵行·期末）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值为 ． 【答案】1 【详解】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中； 当是图一时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为； 如图；根据直线的对称性可得：； 当是图2时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为， 如图：根据直线的对称性可得：； 因为，则，故只有. 故答案为：1． 题型二、两点对称 10．（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【答案】 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 11．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 【答案】 【详解】以为原点，边所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为，所以． 连接，因为点与点对称，所以． 当时，直线的斜率不存在，此时直线的方程为，点到的距离为．当时，．因为的中点为， 从而直线的方程为， 即．① 又直线的方程为，② 由①②解得，即点的横坐标为， 所以点到距离为. 当时也满足上式． 所以点到距离为. 题型三、直线关于直线对称——光线反射问题 12．（24-25高二下·上海宝山·月考）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 13．（22-23高二下·上海静安·期中）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数 ． 【答案】6或－2 【详解】在直线上任意取一点， 由题知点关于直线的对称点在直线上， 则，整理得，解得或. 故答案为：6或－2. 14．（25-26高二上·上海·月考）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以． 又点的坐标为，所以，直线的方程为， 由对称性可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为： 15．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据对称的性质，设点关于直线的对称点为，利用斜率和中点坐标可得，根据点即可求解入射光线直线的方程． 【详解】解：设点关于直线的对称点为， 则， 解得 则入射光线所在直线的方程为：， 即 故答案为：． 16．（23-24高二上·上海浦东新·月考）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图所示： 以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系， 则， 故的重心的坐标为，即； 设，关于直线的对称点分别设为， 则，设， 直线的方程为，则 解得，即， 由光的反射原理可知共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去）， 故点的坐标为. （2）由（1）可得，所以即为，即为， 由题意可知， 故的周长为. 题型四、用将军饮马解决对称中的最值问题 17.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】设关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：A 18．（22-23高二上·上海奉贤·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时路程和最小， 由题知，点满足： ，解得：，，即点， 因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：D 19．（23-24高二上·上海奉贤·月考）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【详解】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 20．（24-25高二上·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B 21．（24-25高二下·上海·月考）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【答案】 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：.    22.已知平面内点一定点，点M、N分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】作出点关于轴的对称点,则, 最小值即为到直线的距离, 所以的最小值为. 故答案为：. 23.已知点及直线，为轴上的动点，为上的动点，则△的周长最小值为 . 【答案】 【详解】由题，、与A分别关于y轴、直线l对称，则△的周长， 为，设，则，即，解得， 故，即△的周长最小值为. 故答案为： 24．（2023·上海徐汇·一模）已知正实数满足，则的取最小值 . 【答案】 【详解】设直线，点在直线上，且在第一象限， 设点， 所以， 如图所示， 点A关于直线对称的点设为， 则有解得， 所以，由图可知，当在直线时， 最小，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：. 25．设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为点，则关于轴的对称点为， 设关于的对称点为， 则，解得，即， 所以，， 所以的周长为， 则当共线时，的周长的值最小， 此时三角形周长为. 故答案为：． 26．设，求的最小值是 ． 【答案】 【详解】根据题意可得， 表示直线上一点到点和点的距离之和， 点关于直线的对称点为， 则满足解得； 所以点关于直线的对称点为，如下图所示： 则 所以. 故答案为： 27．（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 【答案】 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，所以， 则，所以“将军饮马”的最短总路程为，    故答案为：. 28．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为 ． 【答案】 【详解】 作点关于轴的对称点，和关于直线的对称点， 连接交轴于点，交直线于点， 此时的周长最小值，最小值为， 故答案为：. 一、单选题 1．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线：与：， 所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得， 故所求直线方程为， 故选：A 2．若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 3．已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】因为， 设，， 则表示点到点的距离之和， 设点关于直线的对称点为，又直线斜率为， 则，解得，则， 因为点在直线上， 所以， 当为与直线的交点时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 4．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即. 连接与直线相交于点，则的最小值为. 故选：A. 5．过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（    ） A．θ B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为直线和直线关于直线对称， 所以直线和直线也关于直线对称 ， 所以或， 对于A，当时，，所以A正确， 对于B，当时，，所以B正确， 对于C，若，则不成立，且也不成立，所以C错误， 对于D，当时，，所以D正确. 故选：C 6．（24-25高二上·上海·期末）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 二、填空题 7．（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意得：点关于轴的对称点， （当且仅当三点共线时取等号）， 又， 则， 故答案为：. 8．直线关于直线对称的直线方程为 【答案】 【详解】设所求直线方程为，且， 直线与直线间的距离为， 则直线与直线间的距离为，又，得， 所以所求直线方程为， 故答案为：. 9．已知为直线上的动点，，则m的最小值为 . 【答案】 【详解】由表示到和的距离之和， 又关于直线的对称点为， ∴到和的距离之和的最小值为与之间的距离， ∴. 故答案为：. 10．直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【详解】由得：，当时，，； 设直线关于点对称的直线方程为， ，解得：或（舍）， 直线关于点对称的直线方程为. 故答案为：. 11．已知点和点，在直线上有一个点，满足最小，则的最小值是 【答案】5 【详解】由于在上，所以点关于直线的对称点为，所以的最小值为. 故填：. 12．已知点，点在轴上，点在上，则的周长最小值为 ，此时点的坐标为 . 【答案】 【详解】解：如图所示：     ， 设点关于轴的对称点为，，点关于直线直线的对称点为，， 连接交于点，交轴于点，则此时的周长取最小值，且最小值为． 与关于直线对称， ，解得，， 与关于轴对称，， 此时直线的方程为即 由解得即 的最小周长，此时点的坐标为； 故答案为：；． 三、解答题 13．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知点和点B关于直线l：对称．若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程． 【答案】 【详解】设点，则，解得， 所以点关于直线l：对称的点的坐标为． 若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大， 当为到的距离时为距离最大，其他情况距离为以为斜边的直角边， 则直线与过点A、B的直线垂直，所以， 则直线的方程为，即． 14．（22-23高二上·上海杨浦·期中）已知直线，， (1)求两条直线、夹角的大小； (2)求直线关于直线对称的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设两直线的夹角为，因为的斜率， 所以的一个方向向量为， 因为的斜率， 所以的一个方向向量为， 所以， 所以直线、夹角的大小为. （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即：. 15．（23-24高二下·上海·月考）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 16．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 17．（24-25高二上·上海·月考）直线经过点，在下列条件下，求直线的方程 (1)直线与直线的夹角为. (2)经过直线的光线被直线反射，反射光线经过点. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）设直线的一个法向量为，其中不同时为， 则的方程为：， 由直线与直线的夹角为， 则有，化简得    ， 则或，此时， 当时，由可得， 当时，由可得， 即； 故直线的方程或； （2）设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 由题意可得点在直线上， 设直线为，则有，解得， 即直线为，即. 18．（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. (1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； (2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）①当时，此时点和点重合，折痕所在的直线方程； ②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为， 所以与关于折痕所在的直线对称，有，即，则． 故点坐标为， 从而折痕所在的直线与的交点坐标（即线段的中点）为． 所以折痕所在的直线方程，即． 综上：由①②可得折痕所在的直线方程为． （2）由（1）可知，对于， 令，可得，令可得， 依题意可得，解得， 如下图，折痕所在的直线与线段、的交点坐标为． 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以折痕的长的取值范围． 19．（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，且，则， 因， 则直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称得点， 则，得，即， 因三点共线，则, 直线所在的直线方程为，即. 20．（22-23高二下·上海黄浦·月考）已知初始光线从点出发，交替经直线与轴发生一系列镜面反射，设（不为原点）为该束光线在两直线上第次的反射点，为第次反射后光线所在的直线 (1)若初始光线在轴上，求最后一条反射光线的方程； (2)当斜率为的反射光线经直线反射后，得到斜率为的反射光线时，试探求两条光线的斜率之间的关系，并说明理由； (3)是否存在初始光线，使其反射点集中有无穷多个元素？若存在，求出所有的方程；若不存在，求出点集元素个数的最大值，以及使得取到最大值时所有第一个反射点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的最大值为取最大值4时，的轨迹方程为或 【详解】（1）由题可得的斜率为，故的方程为， 联立，解得，则， 设关于的对称点为，所以， 则关于的对称点为， 经过和，故的直线方程为， 所以，的斜率为，故的直线方程为， 后面不会再进行反射，所以最后一条反射光线的方程为. （2）由于和直线的夹角相等得夹角正切值相等，则， 所以或， 解得（舍）或. （3）由题意得当且时光线停止反射，设的斜率为， 1）当在直线上时，或不存在， ①当时，，反射1次； ②当时，，反射2次； ③当时，，反射3次； ④当时，不存在，不存在，，反射3次； ⑤当时，，反射4次； ⑥当不存在时，，反射1次； 2）当在轴上时，或不存在， ①当时，，反射2次； ②当时，，反射1次； ③当时，，反射4次； ④当时，反射3次； ⑤当不存在时，不存在，，反射2次； 综上，的最大值为4，由1），2）可知，取最大值4时，的轨迹方程为或. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与直线有关的4种对称问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、点关于直线对称（重点） 1 题型二、两点对称 2 题型三、直线关于直线对称——光线反射问题（难点） 2 题型四、用将军饮马解决对称中的最值问题（难点） 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、点关于直线对称 1．（24-25高二下·上海·月考）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·上海长宁·期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为 . 3．（22-23高二下·上海闵行·月考）已知在中，其中的平分线所在的直线方程为，则点坐标为 . 4．（23-24高二上·上海奉贤·月考）点关于直线的对称点为 . 5．（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 6．（24-25高二上·上海·单元测试）中，，、的平分线方程为、，则直线BC的方程是 ． 7．（22-23高二上·上海嘉定·期末）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示） 8．（24-25高二上·上海·月考）已知从点射出的光线经直线上的点反射后经过点.则 . 9．（24-25高二上·上海闵行·期末）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值为 ． 题型二、两点对称 10．（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 11．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 题型三、直线关于直线对称——光线反射问题 12．（24-25高二下·上海宝山·月考）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 13．（22-23高二下·上海静安·期中）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数 ． 14．（25-26高二上·上海·月考）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 15．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 16．（23-24高二上·上海浦东新·月考）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 题型四、用将军饮马解决对称中的最值问题 17.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 18．（22-23高二上·上海奉贤·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．（23-24高二上·上海奉贤·月考）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 20．（24-25高二上·上海·期中）已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高二下·上海·月考）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 22.已知平面内点一定点，点M、N分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值为 ． 23.已知点及直线，为轴上的动点，为上的动点，则△的周长最小值为 . 24．（2023·上海徐汇·一模）已知正实数满足，则的取最小值 . 25．设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为 ． 26．设，求的最小值是 ． 27．（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 28．（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为 ． 一、单选题 1．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 3．已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 5．过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（    ） A．θ B． C． D． 6．（24-25高二上·上海·期末）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为 ． 8．直线关于直线对称的直线方程为 9．已知为直线上的动点，，则m的最小值为 . 10．直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ． 11．已知点和点，在直线上有一个点，满足最小，则的最小值是 12．已知点，点在轴上，点在上，则的周长最小值为 ，此时点的坐标为 . 三、解答题 13．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知点和点B关于直线l：对称．若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程． 14．（22-23高二上·上海杨浦·期中）已知直线，， (1)求两条直线、夹角的大小； (2)求直线关于直线对称的直线的方程. 15．（23-24高二下·上海·月考）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 16．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 17．（24-25高二上·上海·月考）直线经过点，在下列条件下，求直线的方程 (1)直线与直线的夹角为. (2)经过直线的光线被直线反射，反射光线经过点. 18．（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. (1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； (2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 19．（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 20．（22-23高二下·上海黄浦·月考）已知初始光线从点出发，交替经直线与轴发生一系列镜面反射，设（不为原点）为该束光线在两直线上第次的反射点，为第次反射后光线所在的直线 (1)若初始光线在轴上，求最后一条反射光线的方程； (2)当斜率为的反射光线经直线反射后，得到斜率为的反射光线时，试探求两条光线的斜率之间的关系，并说明理由； (3)是否存在初始光线，使其反射点集中有无穷多个元素？若存在，求出所有的方程；若不存在，求出点集元素个数的最大值，以及使得取到最大值时所有第一个反射点的轨迹方程. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $