专题28.2.1中心对称及其性质（6大题型）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦中心对称及其性质核心知识点，系统梳理定义（旋转180°重合）、性质（全等、对称点连线过中心且被平分等）、作图步骤（确定中心、找关键点等）及坐标规律（原点对称横纵坐标变号），构建从概念到应用的学习支架。 资料特色为分6类题型系统训练（含例题与变式），精准剖析易错点（如混淆中心对称与中心对称图形），技巧口诀助力理解。通过作图题培养几何直观，计算题发展推理能力，课中辅助分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

专题28.2.1中心对称及其性质 【新人教版】 【题型1 中心对称】...............................................................................................................................................2 【题型2 画已知图形关于某点对称的图形】.......................................................................................................3 【题型3 确定对称中心】.......................................................................................................................................5 【题型4 根据中心对称的性质求线段长度】.......................................................................................................6 【题型5 根据中心对称的性质求面积】...............................................................................................................7 【题型6 根据中心对称的性质求周长、角度】...................................................................................................8 1. 中心对称定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。 2. 中心对称的性质 · 中心对称的两个图形全等； · 对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分； · 对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。 3. 中心对称作图步骤 ① 确定对称中心； ② 找出已知图形关键点； ③ 作出各关键点关于对称中心的对称点； ④ 依次连接对称点，得到中心对称图形。 4. 坐标规律（原点为对称中心） 点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y)。 易错1：混淆中心对称与中心对称图形 中心对称描述两个图形的位置关系；中心对称图形指一个图形自身的特征。 易错2：误认为对称中心一定在图形内部 对称中心可以在图形外部、边上。 易错3：坐标对称符号出错 点关于原点对称，横、纵坐标同时变号，只改变一个符号导致错误。 易错4：作图不规范 连接对称点时没有保证对称中心平分线段，随手描点。 易错5：和轴对称性质混淆 轴对称：连线垂直对称轴；中心对称：连线被对称中心平分。 技巧1：速记口诀 旋转一百八十度，两图重合中心称； 对称点连线过中心，中心平分这条线； 原点对称坐标变，横纵同时添负号。 技巧2：寻找对称中心方法 连接两组对应点，两条线段的交点即为对称中心。 技巧3：作图通用流程 找关键点→延长线段、截取等长得到对称点→顺次连接。 技巧4：快速区分 轴对称：翻折重合；中心对称：旋转180°重合。 技巧5：原点对称坐标速判 看见原点中心对称，直接x、y全部取相反数。题型一 中心对称 【例1】（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知函数和的图象关于点P对称，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型二 画已知图形关于某点对称的图形 【例2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，将绕点顺时针旋转得到，点、对应点分别是、． (1)请在图中画出； (2)画出，使与关于原点成中心对称； 【变式2-1】（25-26九年级上·广东肇庆·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，． (1)画出绕点逆时针旋转后得到的； (2)画出关于原点的对称图形． 【变式2-2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为，，． (1)以为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点O顺时针旋转90°得到，点A、B、C的对应点分别为、、； (2)作关于原点O的中心对称图形（A、B、C的对应点分别为D、E、F）； (3)在（1）的条件下，连接点和，求线段扫过的图形的面积（结果保留）． 题型三 确定对称中心 【例3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【变式3-1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为______； (2)作关于点的中心对称图形． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移5个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点(____,____)中心对称． 【变式3-3】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于原点对称的； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出； (3)若和关于点对称，请直接写出的坐标_____ 题型四 根据中心对称的性质求线段长度 【例4】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【变式4-1】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为_________ ． 题型五 根据中心对称的性质求面积 【例5】（25-26九年级上·四川德阳·期中）如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 【变式5-1】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称如果，那么图中所示的封闭图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级下·山东·开学考试）如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为_______． 【变式5-3】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是______． 题型六 根据中心对称的性质求周长、角度 【例6】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）点O是矩形的对称中心，连接、，若，则的度数是______°． 【变式6-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，与关于点成中心对称，若，，求的长度和的度数． 【变式6-2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【变式6-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，请在图中画出它们的对称中心，并求出的周长．    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.2.1中心对称及其性质 【新人教版】 【题型1 中心对称】...............................................................................................................................................2 【题型2 画已知图形关于某点对称的图形】.......................................................................................................4 【题型3 确定对称中心】.......................................................................................................................................9 【题型4 根据中心对称的性质求线段长度】.....................................................................................................15 【题型5 根据中心对称的性质求面积】.............................................................................................................18 【题型6 根据中心对称的性质求周长、角度】.................................................................................................20 1. 中心对称定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。 2. 中心对称的性质 · 中心对称的两个图形全等； · 对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分； · 对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。 3. 中心对称作图步骤 ① 确定对称中心； ② 找出已知图形关键点； ③ 作出各关键点关于对称中心的对称点； ④ 依次连接对称点，得到中心对称图形。 4. 坐标规律（原点为对称中心） 点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y)。 易错1：混淆中心对称与中心对称图形 中心对称描述两个图形的位置关系；中心对称图形指一个图形自身的特征。 易错2：误认为对称中心一定在图形内部 对称中心可以在图形外部、边上。 易错3：坐标对称符号出错 点关于原点对称，横、纵坐标同时变号，只改变一个符号导致错误。 易错4：作图不规范 连接对称点时没有保证对称中心平分线段，随手描点。 易错5：和轴对称性质混淆 轴对称：连线垂直对称轴；中心对称：连线被对称中心平分。 技巧1：速记口诀 旋转一百八十度，两图重合中心称； 对称点连线过中心，中心平分这条线； 原点对称坐标变，横纵同时添负号。 技巧2：寻找对称中心方法 连接两组对应点，两条线段的交点即为对称中心。 技巧3：作图通用流程 找关键点→延长线段、截取等长得到对称点→顺次连接。 技巧4：快速区分 轴对称：翻折重合；中心对称：旋转180°重合。 技巧5：原点对称坐标速判 看见原点中心对称，直接x、y全部取相反数。题型一 中心对称 【例1】（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立； 故选D． 【变式1-1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据中心对称的性质“成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等”逐项判断即可得解． 【详解】解：∵与成中心对称，点O是对称中心， ∴点与点是对应点，，， 故选项A、B、C不合题意； 不能说明，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知函数和的图象关于点P对称，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的变换，求出两个函数的顶点坐标，根据对称性，求出中点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； ∵， ∴顶点坐标为， ∵函数和的图象关于点P对称， ∴和关于点对称， ∴，即； 故选B． 题型二 画已知图形关于某点对称的图形 【例2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，将绕点顺时针旋转得到，点、对应点分别是、． (1)请在图中画出； (2)画出，使与关于原点成中心对称； 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 【分析】（1）根据旋转的性质画出图形即可． （2）根据中心对称的性质画出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2-1】（25-26九年级上·广东肇庆·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，． (1)画出绕点逆时针旋转后得到的； (2)画出关于原点的对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称图形的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图：即为所求． 【变式2-2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为，，． (1)以为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 【答案】(1) 解：如图，即为所求， (2) 解：如图，即为所求， (3)， 【分析】（1）根据旋转方式找到对应点，顺次连接即可； （2）找到各顶点关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （3）根据所作图形写出点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式2-3】（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点O顺时针旋转90°得到，点A、B、C的对应点分别为、、； (2)作关于原点O的中心对称图形（A、B、C的对应点分别为D、E、F）； (3)在（1）的条件下，连接点和，求线段扫过的图形的面积（结果保留）． 【答案】(1)将绕原点O顺时针旋转90°得到，如图即为所求； (2)如图，即为所求； (3) 【分析】（1）将的三个顶点A、B、C分别绕原点O顺时针旋转90°得到、、，顺次连接得到； （2）作的三个顶点A、B、C关于原点O中心对称的对称点D、E、F，顺次连接得到； （3）线段扫过的图形是扇形，根据扇形面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）线段扫过的图形是圆心角为90°的扇形， ∵， ∴根据勾股定理得，，即扇形半径， 线段扫过的图形面积为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、中心对称图形、扇形面积公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型三 确定对称中心 【例3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为______； (2)作关于点的中心对称图形． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查中心对称图形的对称中心、画中心对称图形等，解答本题的关键是熟练掌握中心对称的性质． （1）根据对应点连线的交点即为对称中心，根据坐标系即可求出坐标； （2）分别找到各点的对应点，顺次连接即为所求图形． 【详解】（1）解：如图，分别连接两点和两点，相交于点， 由图可知，点的坐标为； （2）如图，为所求作． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移5个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点(____,____)中心对称． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3) 【分析】本题主要考查了平移变换、旋转变换、中心对称图形，一次函数等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）分别作出点向左平移5个单位后的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点绕原点O旋转后得到的点，再顺次连接即可； （3）连接，交点即为对称中心，再求出直线和直线的表达式，然后求出交点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，交点即为对称中心， 可得，，， 设直线， 则， 解得， ∴直线； 同理可求直线， ∴， 解得， ∴与关于点中心对称， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于原点对称的； (2)将向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，画出； (3)若和关于点对称，请直接写出的坐标_____ 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查了中心对称图形、平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）找到三角形三个顶点关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据图象即可解题． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图： 由图可知，． 题型四 根据中心对称的性质求线段长度 【例4】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 【变式4-1】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得到 对称性得到，，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，对角线、相交于点，， ∴， ∵与关于点成中心对称， ∴，，三点共线， ∴， 在中，． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为_________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，中心对称图形．根据等腰三角形的性质可得，再由中心对称图形的性质可得，，，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在等腰三角形中，∵是底边的中线，， ∴， ∵与关于点 C 成中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为： 题型五 根据中心对称的性质求面积 【例5】（25-26九年级上·四川德阳·期中）如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E， ∵直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故选：B 【变式5-1】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称，曲线和曲线关于点成中心对称如果，那么图中所示的封闭图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题主要考查了中心对称的应用，求不规则图形的面积， 先连接，可得封闭图形的面积等于三角形的面积，再根据三角形面积公式求出结果即可. 【详解】解：如图所示，连接，由曲线和曲线关于点D成中心对称，曲线和曲线关于点E成中心对称，曲线和曲线关于点O成中心对称， ∴经过点D，O，E，且弧形的面积相等， ∴封闭图形的面积等于. 故选：B. 【变式5-2】（25-26九年级下·山东·开学考试）如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为_______． 【答案】 【分析】本题考查几何概率、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键． 所求概率等于阴影部分面积与平行四边形面积之比． 【详解】解：由题意可知：和关于点中心对称， ， ， 飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】7 【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为8和正方形的边长为6， ∴正方形的面积为64，正方形的面积为36， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故答案为：7． 题型六 根据中心对称的性质求周长、角度 【例6】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）点O是矩形的对称中心，连接、，若，则的度数是______°． 【答案】70 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：如图， ∵点O是矩形的对称中心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为70． 【变式6-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，与关于点成中心对称，若，，求的长度和的度数． 【答案】2， 【分析】本题主要考查了中心对称的性质、全等三角形的性质等知识点，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 根据中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ， ，． 【变式6-2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心O； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1) 解：如图所示，点即为所求．（作法不唯一） (2)18 【分析】本题考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解此题的关键． （1）连接、，其交点就是对称中心； （2）根据和关于点成中心对称，得出，，，再由三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴，，， ∴的周长， 答：的周长为18． 【变式6-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，请在图中画出它们的对称中心，并求出的周长．    【答案】 如图所示，点即为所求；    15 【分析】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 连接，，其交点就是对称中心；依据和关于点成中心对称，即可得到，进而得出的周长． 【详解】解：和关于点成中心对称， ， ，，， 的周长； 答：的周长为15． 1 学科网（北京）股份有限公司 $