专题28.1图形的旋转 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“图形的旋转”核心知识点，系统梳理旋转定义、三要素（中心、方向、角度）、性质（全等、对应点距中心等距、旋转角为对应点与中心连线夹角）及作图步骤，构建从基础概念到性质应用再到综合解题的学习支架。 资料特色在于9类分层题型设计，从生活现象判断到坐标与旋转规律综合题，结合易错点（如旋转角混淆）和实用技巧（速记口诀、作图流程）。通过生活实例培养数学眼光，综合题发展推理意识，辅助教师授课与学生课后查漏补缺，强化空间观念与应用能力。

专题28.1图形的旋转 【新人教版】 【题型1 判断生活中的旋转现象】.......................................................................................................................2 【题型2 找旋转中心、旋转角、对应点】...........................................................................................................3 【题型3 利用旋转的性质求解】...........................................................................................................................4 【题型4 画旋转图形】...........................................................................................................................................5 【题型5 绕某点旋转90°的点的坐标】..............................................................................................................6 【题型6 坐标与旋转规律问题】...........................................................................................................................8 【题型7 旋转综合题——线段问题】...................................................................................................................9 【题型8 旋转综合题——线面积问题】.............................................................................................................10 【题型9 旋转综合题——其他问题】.................................................................................................................12 1.旋转定义 在平面内，将一个图形绕定点沿某个方向转动一个角度，图形的这种变换叫做旋转。 定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 2.旋转三要素 旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角。 3.旋转的性质 · 旋转前后图形全等； · 对应点到旋转中心的距离相等； · 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； · 对应线段、对应角分别相等。 4. 旋转作图步骤 ①确定旋转中心、方向、旋转角；②找出图形关键点；③将每个关键点绕旋转中心旋转得到对应点； ④依次连接各对应点，得到旋转后的图形。 易错1：旋转三要素缺失 做题忽略旋转中心、方向、角度任意一个条件，无法确定唯一图形。 易错2：混淆旋转角 旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是对应线段的夹角。 易错3：作图误差 旋转作图不用圆规截取等距，随手画图，造成对应点距离不相等。 易错4：平移、轴对称、旋转性质混淆 平移无定点；轴对称有对称轴；旋转必须有旋转中心。 易错5：审题不分顺时针、逆时针 角度相同，旋转方向不同，得到的图形位置不同。 技巧1：速记口诀 旋转中心定顶点，距离相等角不变； 图形全等是根本，作图找准关键点。 技巧2：求旋转角思路 找到一组对应点，分别连接旋转中心，两条线段夹角即为旋转角。 技巧3：旋转证明常用思路 出现共顶点等线段，优先考虑构造旋转全等；利用“等距、等角”转化边和角。 技巧4：旋转作图流程 标关键点→连中心点→量角截取对应点→顺次连线。 技巧5：图形变换快速区分 平移：定点无限远；轴对称：翻折；旋转：绕定点转动。题型一 判断生活中的旋转现象 【例1】（25-26九年级上·江西上饶·期中）数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【变式1-1】（25-26九年级上·河北邢台·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【变式1-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）下列现象中是旋转的是（　　） A．雪橇在雪地上滑行 B．抽屉来回运动 C．电梯的上下移动 D．汽车方向盘的转动 【变式1-3】（25-26九年级下·上海·阶段检测）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（   ） A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动 C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行 题型二 找旋转中心、旋转角、对应点 【例2】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在的方格纸中，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心最可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-2】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，点P为等边内一点，连接，且，若等边绕点P旋转一定角度后，能与自身重合，则旋转的角度不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 题型三 利用旋转的性质求解 【例3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，将含角的直角三角尺绕点B顺时针旋转后得到，连接．若，则的面积为__________________． 题型四 画旋转图形 【例4】（25-26八年级下·广东揭阳·期末）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，仅用无刻度的直尺画图． (1)平移得到，使得点的对应点为； (2)将绕点顺时针旋转，得到． 【变式4-1】（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点O顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）． (1)在图中画出，点的坐标为 ； (2)若点位于内（不含边界），点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围． 【变式4-2】（2026·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 【变式4-3】（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将向左平移5个单位，向下平移4个单位，画出平移后的． (2)将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的． (3)若四边形是平行四边形，则D点坐标为______． 题型五 绕某点旋转90°的点的坐标 【例5】（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·浙江舟山·一模）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点A顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 题型六 坐标与旋转规律问题 【例6】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点在原点，顶点在轴上，已知，，将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点处，点在x轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……若点，则点的横坐标是（     ） A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5 【变式6-2】（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 题型七 旋转综合题——线段问题 【例7】（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，在等边中，，是内一点，将线段绕点逆时针旋转，得到，直线与交于点，则的最大值是___________． 【变式7-1】（25-26九年级上·天津·阶段检测）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为． (1)如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________； (2)如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）． 【变式7-2】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在等腰和等腰中，，将绕点C逆时针旋转，连接，点O为线段的中点，连接，．    (1)如图1，当点B旋转到边上时，线段与线段有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由； (2)如图2，当点B旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； (3)若，在绕点C逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长． 【变式7-3】（25-26八年级下·上海·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，且一次函数的图像交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的一次函数图像上有一点P，满足，请求出点P的坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． (4)在中找一点Q，使的值最小，直接写出点Q的坐标． 题型八 旋转综合题——线面积问题 【例8】（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 【变式8-1】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 【变式8-2】（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，在矩形中， ，以点 为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形得到矩形 ，旋转角为（ ）．取的中点 ，连接 ，， ，在矩形旋转的过程中， 面积的最大值为_________． 【变式8-3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在正方形中，，点E为正方形内一点，连结，，． (1)如图2，将线段绕点B按顺时针方向旋转得到，连结，求证：． (2)如图3，在（1）的条件下，当时，连结，，求的面积． (3)如图4，若将绕点B按顺时针方向旋转得到，当点C在直线上，且面积为3时，求的值． 题型九 旋转综合题——其他问题 【例9】（25-26九年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动．已知正方形中，，点E是射线上一点（不与点C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接． 特例分析：（1）如图1，当点E与点D重合时，则= ； 深入谈及：（2）当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由； 【变式9-1】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，现将绕A点按逆时针方向旋转．如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． (1)若是等腰三角形，则旋转角的度数为______． (2)在旋转过程中，连接AP，CE，求证：AP所在的直线是线段CE的垂直平分线． (3)在旋转过程中，是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角的度数；若不能，说明理由． 【变式9-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）在和中，，，，，． (1)如图1，当点D、E分别恰好在、上时，求与四边形的面积比； (2)如图2，绕点A逆时针旋转角度连接，在上找一点F，使得，取中点G，连接，求的长； (3)如图3，经旋转得到以为长、为宽的矩形，矩形绕点A逆时针旋转一周，当B、M、E三点共线时，直接写出的长． 【变式9-3】（25-26八年级下·山东济南·期末）在中，，，点D，E是边，的中点，连接，，点M，N分别是和的中点，连接．    (1)如图1，与的数量关系是_________； (2)如图2，将绕点A顺时针旋转，连接，请写出和的数量关系，并就图2的情形说明理由； (3)在的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.1图形的旋转 【新人教版】 【题型1 判断生活中的旋转现象】.......................................................................................................................2 【题型2 找旋转中心、旋转角、对应点】...........................................................................................................4 【题型3 利用旋转的性质求解】...........................................................................................................................6 【题型4 画旋转图形】...........................................................................................................................................9 【题型5 绕某点旋转90°的点的坐标】............................................................................................................15 【题型6 坐标与旋转规律问题】.........................................................................................................................18 【题型7 旋转综合题——线段问题】.................................................................................................................23 【题型8 旋转综合题——线面积问题】............................................................................................................36 【题型9 旋转综合题——其他问题】................................................................................................................43 1.旋转定义 在平面内，将一个图形绕定点沿某个方向转动一个角度，图形的这种变换叫做旋转。 定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 2.旋转三要素 旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角。 3.旋转的性质 · 旋转前后图形全等； · 对应点到旋转中心的距离相等； · 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； · 对应线段、对应角分别相等。 4. 旋转作图步骤 ①确定旋转中心、方向、旋转角；②找出图形关键点；③将每个关键点绕旋转中心旋转得到对应点； ④依次连接各对应点，得到旋转后的图形。 易错1：旋转三要素缺失 做题忽略旋转中心、方向、角度任意一个条件，无法确定唯一图形。 易错2：混淆旋转角 旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是对应线段的夹角。 易错3：作图误差 旋转作图不用圆规截取等距，随手画图，造成对应点距离不相等。 易错4：平移、轴对称、旋转性质混淆 平移无定点；轴对称有对称轴；旋转必须有旋转中心。 易错5：审题不分顺时针、逆时针 角度相同，旋转方向不同，得到的图形位置不同。 技巧1：速记口诀 旋转中心定顶点，距离相等角不变； 图形全等是根本，作图找准关键点。 技巧2：求旋转角思路 找到一组对应点，分别连接旋转中心，两条线段夹角即为旋转角。 技巧3：旋转证明常用思路 出现共顶点等线段，优先考虑构造旋转全等；利用“等距、等角”转化边和角。 技巧4：旋转作图流程 标关键点→连中心点→量角截取对应点→顺次连线。 技巧5：图形变换快速区分 平移：定点无限远；轴对称：翻折；旋转：绕定点转动。题型一 判断生活中的旋转现象 【例1】（25-26九年级上·江西上饶·期中）数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴转动，且形状和大小不变是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．钟表时针围绕中心轴转动，属于旋转，符合题意； B． 火箭升空是直线平移运动，不符合题意； C． 月亮倒影是光的反射形成的像，不是物体运动，不符合题意；    D． 足球滚动时接触点变化，旋转中心移动，不属于固定点旋转，不符合题意． 故选A． 【变式1-1】（25-26九年级上·河北邢台·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）下列现象中是旋转的是（　　） A．雪橇在雪地上滑行 B．抽屉来回运动 C．电梯的上下移动 D．汽车方向盘的转动 【答案】D 【分析】根据旋转的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、雪橇在雪地上滑行不是旋转，故此选项不符合题意； B、抽屉来回运动是平移，故此选项不符合题意； C、电梯的上下移动是平移，故此选项不符合题意； D、汽车方向盘的转动是旋转，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查生活中的旋转现象．熟练掌握旋转的三要素，是解题的关键． 【变式1-3】（25-26九年级下·上海·阶段检测）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（   ） A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动 C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的定义，熟记旋转的定义是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 升旗的过程属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意； B． 摩天轮的转动属于旋转，故该选项符合题意； C． 汽车刹车时的滑动属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意； D．电梯的运行属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题 故选：B ． 题型二 找旋转中心、旋转角、对应点 【例2】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握旋转的性质． 由旋转得，故，可得，从而知旋转角为． 【详解】解：由旋转的性质得：， ． ． ∴旋转角为． 故选：B． 【变式2-1】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在的方格纸中，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心最可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心． 【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心； 故选：B． 【变式2-2】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，点P为等边内一点，连接，且，若等边绕点P旋转一定角度后，能与自身重合，则旋转的角度不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质及判断点为三角形中心，利用旋转对称性确定旋转角度需为的整数倍即可． 【详解】解：是等边三角形，且 点是的中心 等边绕点旋转能与自身重合的角度必须是的整数倍 、、均为的整数倍 而不是的整数倍 旋转的角度不可能是． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【答案】或 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时， 连接， 分别作线段的垂直平分线交于点E， 点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时， 连接，分别作线段的垂直平分线交于点M， 点M即为旋转中心． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点E，如图1所示， 点的坐标为，B点的坐标为， E点的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点M，如图2所示， 点的坐标为，B点的坐标为， M点的坐标为． 综上所述：这个旋转中心的坐标为或． 【点睛】利用分类讨论的思想方法，理解对应点连线的线段垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键． 题型三 利用旋转的性质求解 【例3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再根据旋转的性质对应边的夹角即为旋转角． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴旋转角等于． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形中的对应角相等． 利用旋转的性质得到，再利用三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵绕着点顺时针旋转后得到， ， ，， ． 故选：A． 【变式3-2】（25-26八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质，，，，由勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】由旋转可得，，，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴． 【变式3-3】（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，将含角的直角三角尺绕点B顺时针旋转后得到，连接．若，则的面积为__________________． 【答案】 【分析】过D点作，垂足为F，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，根据旋转的性质以及等积法求出的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：过D点作，垂足为F， 由题意，在中，， ∴，， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积为. 题型四 画旋转图形 【例4】（25-26八年级下·广东揭阳·期末）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，仅用无刻度的直尺画图． (1)平移得到，使得点的对应点为； (2)将绕点顺时针旋转，得到． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求． (2)解：如图所示，即为所求． 【分析】（1）利用点B对应点的位置关系，分析平移规律可知点B先向右移1格，再向下移5格，进而确定点A、C的对应点，用直尺顺次连接即可； （2）旋转可以利用“横变竖，竖变横”的规律找到线段和分别绕点C旋转后的对应点，再顺次连接成即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-1】（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点O顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）． (1)在图中画出，点的坐标为 ； (2)若点位于内（不含边界），点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先回忆平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，因为要得到A、B的对应点坐标，所以用该规律计算的坐标，再顺次连接O、得到旋转后的三角形． （2）对于点M的旋转，因为M的坐标是，所以同样用顺时针旋转的坐标变换公式得到的坐标，进而得到纵坐标n与m的关系．先确定M在内（不含边界）时m的取值范围，再根据n和m的对应关系，推导出n的取值范围． 【详解】（1）解：根据旋转的性质，点绕原点顺时针旋转后对应点坐标为． ∵， 代入得坐标为， 同理得对应点， 连接、、即可画出． （2）解：∵是直角三角形，三个顶点为、、， 设斜边的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为． ∵ 点在内部（不含边界）， ∴满足， 解得的范围． ∵点顺时针旋转后，对应点的纵坐标， ∴由，两边同乘得： ． 答案： (1) ； (2) ． 【变式4-2】（2026·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 【答案】(1)解：下图为所求： (2)解：下图线段为所求： (3) 下图线段为所求，点的坐标为 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据旋转的性质作图即可，再结合图形写出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式4-3】（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将向左平移5个单位，向下平移4个单位，画出平移后的． (2)将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的． (3)若四边形是平行四边形，则D点坐标为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移方式可得点的坐标，据此作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点确定点的位置，再作图即可； （3）根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设点D的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴和的中点的坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 题型五 绕某点旋转90°的点的坐标 【例5】（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，根据点绕原点逆时针旋转，坐标变换规则为求解即可． 【详解】解：∵点绕原点O逆时针旋转， ∴对应点的坐标为． 故选：B． 【变式5-2】（2026·浙江舟山·一模）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点A顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据题意画出图象即可得到答案．解题的关键是正确作出图形． 【详解】解：如图，观察图象，点C的对应点的坐标是 故选：B． 【变式5-3】（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】三角形旋转后，边长大小不变，根据旋转方向分为顺时针和逆时针旋转，进行两种情况的讨论画图求解即可． 【详解】解： 因为，所以时，，当时，，解得 即点，所以， 三角形旋转后形状不变，，所以 ①当绕点A顺时针旋转90°后得到，如图①，此时在第一象限，则点 横坐标是，纵坐标是，则点坐标为； ②当绕点A逆时针旋转90°后得到，如图②，此时在第三象限，则点 横坐标是，纵坐标是，则点坐标为， 所以点坐标为或， 故选： 【点睛】本题主要考查了旋转与坐标结合，如何应用旋转的性质并分类讨论是解题的关键． 题型六 坐标与旋转规律问题 【例6】（25-26八年级下·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点在原点，顶点在轴上，已知，，将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：过点作轴于．由等腰三角形的性质可得；再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得；再根据旋转的性质并画出图形得到，，，，，，，6次一个循环，然后再求第2026次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴于． ，， ， 在中，，， ， ，， ， ， 将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转， 、在轴上， ，； 与关于轴对称， ； 与关于原点对称， ； 与关于轴对称， ， 与重合， ； ， ∵， ∴6次一个循环， ， ． 【变式6-1】（25-26八年级·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点处，点在x轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……若点，则点的横坐标是（     ） A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5 【答案】D 【分析】先求出，，，，各点的坐标，再根据规律解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中， ， 由旋转得，，， ∴，， ∴，，，， ∴点的横坐标是． 【变式6-2】（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，每次变换后线段的长度变为原来的2倍，方向顺时针旋转，由此可得，且每旋转6次回到初始方向所在的直线上，通过计算的余数确定点所在的象限及具体位置，最后利用含30度角的直角三角形的性质求出坐标即可. 【详解】解：点的坐标为， ∴， ∵每一次将三角形绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍， ∴，，，…，， ∴， ∵， ∴每旋转6次，点的对应点回到轴负半轴方向， ∵， ∴点的位置与点的方向相同， ∵点在轴负半轴，顺时针旋转， ∴点在轴正半轴，点在第四象限，且与轴正半轴夹角为， ∴点在第四象限，且， 过点作轴的垂线，垂足为， 在中，，， ∴， ∴， ， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为. 【变式6-3】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 【答案】 【分析】．根据题意得出 点坐标变化规律，进而得出点 的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律， 每4次循环一周，即，即，即，即， ， 点与同在一个象限内， 点． 题型七 旋转综合题——线段问题 【例7】（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，在等边中，，是内一点，将线段绕点逆时针旋转，得到，直线与交于点，则的最大值是___________． 【答案】 【分析】结合等边三角形的性质及旋转的性质，由可判定，由全等三角形的性质得，由三角形内角和得，可得、、、四点共圆，圆心为等边三角形的外心，当点在线段的延长线上时，时，最小，当点在线段上时，时，最小，点的运动轨迹为以为圆心，的长为半径的，当是的直径时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， 线段绕点逆时针旋转至， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 、、、四点共圆，圆心为等边三角形的外心， 如图， 点的运动轨迹为以为圆心，的长为半径的， 当是的直径时，取得最大值， 连接，过点作交于， ，， ∴， ∴ ， 取得最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，圆的基本性质，勾股定理等；掌握等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，圆的基本性质，能找出动点的运动轨迹，并能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【变式7-1】（25-26九年级上·天津·阶段检测）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为． (1)如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________； (2)如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，根据勾股定理求出，由旋转可得，，，证明得到，求出，，可得点坐标，证明得到，求出，，可得点的坐标； （2）由旋转可得，，，证明得到，求出，即可求解； （3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于点，过点作轴于点， 点，点，四边形是矩形， ，，， ， 由旋转可得，，， ，， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 故答案为：，； （2）由旋转可得，，，， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动， ，， ， ，， ． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，解答此题的关键是熟练掌握旋转的性质，相似三角形的判定与性质． 【变式7-2】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在等腰和等腰中，，将绕点C逆时针旋转，连接，点O为线段的中点，连接，．    (1)如图1，当点B旋转到边上时，线段与线段有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由； (2)如图2，当点B旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； (3)若，在绕点C逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) 解：，； 理由：当点旋转到边上时，点必在边上， ， 在中，点是的中点， ， ， 在中，点是的中点， ， ， ， 等腰，且， ， ， ； (2) 仍然成立， 证明：如图2，延长到点，使得，连接，，，     是的中点， ， ， ， ，， 和是等腰三角形，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，； (3)2或 【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，进而得出，同理得出，，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，再判断出，进而判断出，即可得出结论； （3）分点在左侧和右侧两种情况，类似（2）的方法判断出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①当点在左侧时，如图3，    延长到点，使得，连接，，， 同（2）的方法得，， ，，， ， ， 在五边形中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 在中，， 过点作交的延长线于， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ②当点在右侧时，如图4，    同①的方法得，，， 连接，过点作于， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中，根据勾股定理得，， ， 即：线段的长为2或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，五边形的内角和，判断出是解本题的关键． 【变式7-3】（25-26八年级下·上海·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，且一次函数的图像交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的一次函数图像上有一点P，满足，请求出点P的坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． (4)在中找一点Q，使的值最小，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或． (4) 【分析】（1）先将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，从而求出反比例函数的解析式；然后将A点的坐标代入反比例函数解析式就可以求出a的值，确定点A的坐标，最后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数解析式求得C、D的坐标，进而求得，进一步根据题意得到的长度，利用距离公式求得点P的坐标； （3）通过图像观察就可以直接看出当时，x的取值范围； （4）如图：将绕O旋转得到，易得是等边三角形，则，；进而得到如图：当D，Q、、共线时，有最小值，此时；再求得点的坐标，运用待定系数法求得直线的方程为；然后说明是等腰直角三角形，即；设，即，然后代入直线解析式求得t即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像过点， ∴， ∴， ∵在双曲线上， ∴，即， ∴， ∵一次函数的图像经过A、B两点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式． （2）解：在中，当时，；当时，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设点P的坐标为，则， 解得或（舍去）， ∵点P在第四象限， ∴， ∴，则， ∴P的坐标为； （3）解：由（1）可知：一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， 观察图像可知，当时，x的取值范围是或． （4）解：如图：将绕O旋转得到，则，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴如图：当D，Q、、共线时，有最小值，此时， 如图：过作轴于F， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的方程为， ，解得：， ∴直线的方程为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：过作轴于G，则是等腰直角三角形， ∴， 设，即， ∵点Q在直线的方程为上， ∴，解得：， ∴． 题型八 旋转综合题——线面积问题 【例8】（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形判定与性质及二次函数求最值．先过点作，先通过证明与全等，得到对应边相等，再用和表示的面积，最后通过二次函数求面积的最大值． 【详解】解：如图，过点作，则．    设()． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∴． 又， ∴． 在和中：， ∴． ∴， ∴， ∴的面积， ∵是关于的二次函数，图象开口向下，， ∴当时，面积取得最大值：， 故选：A． 【变式8-1】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 【答案】/6.25/ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形三线合一的性质．连接，利用正方形的性质及已知条件得出，，再由得出，从而证明，进而得出，求出面积． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， ∴， 又∵O为对角线中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，在矩形中， ，以点 为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形得到矩形 ，旋转角为（ ）．取的中点 ，连接 ，， ，在矩形旋转的过程中， 面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】依题意，为等腰直角三角形，由题意证得当三点共线时，面积最大，此时，的最大值为，计算即可得出答案． 【详解】解： 连，由题意得 ， ∵ ， ， ∴，为等腰直角三角形， ， ∵的底边是个定值， 如图，作边上的高， ∴当高最大时， 面积才能取得最大值， ∴如图，当矩形旋转到三点共线时，高才能取得最大值， 此时， 的最大值为， ∴ 的面积最大值为． 【变式8-3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在正方形中，，点E为正方形内一点，连结，，． (1)如图2，将线段绕点B按顺时针方向旋转得到，连结，求证：． (2)如图3，在（1）的条件下，当时，连结，，求的面积． (3)如图4，若将绕点B按顺时针方向旋转得到，当点C在直线上，且面积为3时，求的值． 【答案】(1)解：∵正方形， ∴， ∵线段绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ，即， 在和中， ， ； (2)10 (3)或1或 【分析】（1）根据正方形的性质及旋转的性质得出，，，确定，再由全等三角形的判定证明即可； （2）延长交于点M．根据全等三角形的性质得出，勾股定理得出，利用矩形的判定和性质得出，，结合图形求面积即可； （3）分两种情况分析：当在正方形内部时，当在正方形外部时，作出辅助线，利用全等三角形的判定和性质，勾股定理等结合图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：延长交于点M， ， ，， ，， ∴， ， ∵， ∴， 四边形是矩形， ，， ． （3）解：当在正方形内部时，过点A作，垂足为F， ∵将绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵点C在直线上， ∴， 在正方形中，， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 设，，则，， ， ． ，即， 整理得：， 解得：或，即或1． 当在正方形外部时， 同理得：，， ， ． ，即， 整理得：， ，即． 综上所述，或1或． 题型九 旋转综合题——其他问题 【例9】（25-26九年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动．已知正方形中，，点E是射线上一点（不与点C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接． 特例分析：（1）如图1，当点E与点D重合时，则= ； 深入谈及：（2）当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由； 【答案】（1）；（2）仍然成立，理由详见解析． 【分析】（1）根据正方形的性质，，求得根据旋转的性质得到，于是得到； （2）如图2，过点作交的延长线于点，则，根据正方形的性质得到，由旋转的性质可知，，根据全等三角形的性质得到．求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论； 如图3，过点作交的延长线于点，则，根据正方形的性质得到，，由旋转的性质可知，，根据全等三角形的性质得到．求得．根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， 由旋转可知， （2）仍然成立 ①若选图2，证明如下： 如图，过点F作交的延长线于点G，则． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴，． 由旋转的性质可知，． ∴． ∴， ∴， ∴，． ∴，即， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ②若选图3，证明如下： 如图，过点F作交的延长线于点G，则． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴，． 由旋转的性质可知，． ∴． ∴ ∴ ∴，． ∴，即 ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式9-1】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，现将绕A点按逆时针方向旋转．如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． (1)若是等腰三角形，则旋转角的度数为______． (2)在旋转过程中，连接AP，CE，求证：AP所在的直线是线段CE的垂直平分线． (3)在旋转过程中，是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角的度数；若不能，说明理由． 【答案】(1)60°或15° (2)证明见解析 (3)能，或 【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据旋转的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论； （3）当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋转的定义可求得∠的度数；当∠CPN=90°时，由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠A NF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠的度数． 【详解】（1）解：当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形； ∵∠BAC=90°， ∴=90°-30°=60°， 当AM=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形， ∵∠C=30°， ∴∠CAM=∠AMC=75°， ∵∠BAC=90°， ∴=15°， 综上所述，当旋转角=60°或15°时，△AMC是等腰三角形， 故答案为：60°或15°； （2）证明：由题意可知，，，，， ∵现将绕A点按逆时针方向旋转， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点P在CE的垂直平分线上， ∵， ∴点A在CE的垂直平分线上， ∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线． （3）如图1所示：当时． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 如图2所示：当时． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 【变式9-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）在和中，，，，，． (1)如图1，当点D、E分别恰好在、上时，求与四边形的面积比； (2)如图2，绕点A逆时针旋转角度连接，在上找一点F，使得，取中点G，连接，求的长； (3)如图3，经旋转得到以为长、为宽的矩形，矩形绕点A逆时针旋转一周，当B、M、E三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)长为或 【分析】（1）利用正切函数，求的长，算出，的面积，得到四边形的面积，再求面积比； （2）如图2，连结并延长交于O，交于H，证明，，再得出，进一步推理得到和重合，是直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半，用勾股定理求出即可； （3）如图3，图4，连结，当B、M、E三点共线时，有两种可能，先用勾股定理求出，，，即可求得答案． 【详解】（1）在中，，， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，连结并延长交于点O，交于点H， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，是重合的， ，D，F在一条直线上， 是直角三角形， 是的中点， ， 中，，，， ， ， ； （3）①如图3，B，M，E在一条直线上，连结， ， ， 矩形中，， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图4，B，M，E在一条直线上，连结， ， ， ； 长为或 ． 【点睛】本题考查了图形的旋转，三角函数，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，矩形性质，关键是添加辅助线，构造相似三角形，找出线段的比例关系． 【变式9-3】（25-26八年级下·山东济南·期末）在中，，，点D，E是边，的中点，连接，，点M，N分别是和的中点，连接．    (1)如图1，与的数量关系是_________； (2)如图2，将绕点A顺时针旋转，连接，请写出和的数量关系，并就图2的情形说明理由； (3)在的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段的长． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 如图，连接，    由（1）同理可得： ， 由旋转得：， ， ， 在和中 ， （）， ， 点M，N分别是和的中点， ， ． (3)或 【分析】（1）可证，，即可求解； （2）连接，可证，可得，即可求解； （3）①当点E在线段上时，过点作于点，可求，，即可求解；②当点D在线段上时，过点作于点Q，可求，，即可求解． 【详解】（1）解：点D，E是边，的中点， ，， ， ， 点M，N分别是和的中点， 是的中位线， ， ， 故答案：． （2）略 （3）解：①如图，当点E在线段上时，过点作于点   ， ，， ， 在（1）中：点D，E是边，的中点， ， ， ，， ， ， ， ， 在中， ， ； ②如图，当点D在线段上时，过点作于点Q，    在中，，， ， 由①同理可求， 在中，， ，， ； ． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等判定及性质，三角形中位线定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $