第11讲 等边三角形（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2026年暑假人教版八年级数学上册衔接讲义

第11讲 等边三角形（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 等边三角形的性质 典型例题二 等边三角形的判定 典型例题三 等边三角形的判定和性质 典型例题四 大（小）边对大（小）角定理 典型例题五 最短路径问题 典型例题六 根据等边三角形的性质求长度 典型例题七 根据等边三角形的性质求角度 知识点01 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形；也称为正三角形。 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【即时训练】 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由是等边三角形，则，又，所以，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）若等边的周长为，则_______． 【答案】4 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三边相等是解题的关键． 设的长为，即可得一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设的长为， 是等边三角形， ， 解得，， 即， 故答案为：． 知识点02 等边三角形的判定 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意； C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上___________填上一个适当的条件． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是掌握三角形的判定定理． 利用等边三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：添加，理由如下： ∵为等腰三角形，， ， ∴为等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 【典型例题一 等边三角形的性质】 【例1】（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用等边三角形三边相等的性质，直接计算周长即可得到结果. 【详解】解：∵等边三角形的三条边长度相等，该等边三角形的边长为， ∴周长为：． 【例2】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【例4】（25-26八年级上·青海海东·期中）如图，将一个等边三角形沿向右平移后得到，若，则两个三角形重叠部分的周长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、平移的性质，令与交于点，由等边三角形的性质可得，，由平移的性质可得，，从而得出，为等边三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，令与交于点， ， ∵为等边三角形， ∴，， ∵将一个等边三角形沿向右平移后得到， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴两个三角形重叠部分的周长为， 故答案为：． 1．（2026·福建·模拟预测）如图，是等边三角形，，，．求证：． 【答案】证明：，， ． 是等边三角形， ，． ． 在和中， ． ． 【分析】先根据、的垂直条件，得到．结合等边三角形的性质，得到，．推导与的大小关系，判断二者是否相等．因为已知，可通过判定和全等．依据全等三角形对应边相等的性质，即可求证． 【详解】略 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合“”进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在 中   ， ∴； （2）解：是等边三角形， ， 又由（）得， ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，的三边相等，三个内角也相等，点H，I，J分别在的三边上． (1)如果H，I，J分别为三边的中点，那么，，全等吗？的三边相等吗？ (2)如果，，，那么，，全等吗？的三边相等吗？ (3)请你尝试提出一个更一般的问题． 【答案】(1)，的三边相等 (2)，的三边相等 (3)如果，那么，，全等吗？的三边相等吗？（答案不唯一） 【分析】（1）根据题意和中点的定义，易得，利用“”可得，同理得，从而可得，利用全等三角形的性质，可得； （2）根据题意，易得，，，，从而，利用“”可得，同理得，从而可得，利用全等三角形的性质，可得； （3）根据（1）和（2）可得，只需添加条件使得，即可说明，，全等，的三边相等，因此从这方面提出问题即可． 【详解】（1）解：的三边相等，三个内角也相等， ，， H，I，J分别为三边的中点， ，，， ， 在和中， ， ， 同理可得， ， ， 的三边相等； （2）解：的三边相等，三个内角也相等， ，， ，，， ，，， ， 在和中， ， ， 同理可得， ， ， 的三边相等． （3）略 【典型例题二 等边三角形的判定】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的判定条件． 根据等边三角形的判定条件：三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，有两个角是60度的三角形是等边三角形，进行判断即可． 【详解】解：①∵等腰三角形有一个外角是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∴这个等腰三角形是等边三角形，正确； ②等腰三角形有两个外角相等，当这两个外角是两个底角相邻的外角时，等腰三角形不是等边三角形，错误； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，如这条高是底边的高也满足这条高是底边的中线，但是这个三角形不一定是等边三角形，错误； ④三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确． 故选C． 【例2】（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定．先证明是线段的垂直平分线，推出，，再根据等边三角形的判定定理即可判断． 【详解】解：∵是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， 当添加时， ∴是等边三角形； 当添加时，则， ∴是等边三角形； 当添加时，则， ∴是等边三角形； 故选：D． 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，且，则这个三角形是________三角形． 【答案】等边 【分析】根据等边对等角的性质，由可得，结合已知条件，可推出三个内角相等，进而即可得到三角形的形状． 【详解】解：在中，， ， 又， ． ∴是等边三角形． 【例4】（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解． 【详解】解：括号内填（答案不唯一）可以使等腰成为等边三角形． 1．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，点、是边上两点，且． (1)求证：； (2)如果且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形．理由见解析 【分析】（1）由得到，再由即可得到； （2）由得到，根据等角的余角相等求得，得到，，可得到是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：是等边三角形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，交于点，，点，分别在边上，连接． (1)的形状是：______； (2)若，求证：． 【答案】(1)等边三角形 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由是等边三角形，得出，证出，由证明，得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）证明：由（1）知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，点C在线段上，平分，，． (1)求证：． (2)若，，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用全等三角形判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，推出是等边三角形，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【典型例题三 等边三角形的判定和性质】 【例1】（2026·广西贵港·三模）在中，，，则的形状是（     ） A．等腰但非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】先根据边相等的条件得到三角形为等腰三角形，再利用等边三角形的判定定理即可判断形状． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． 【例2】（25-26八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】证明出是等边三角形，得到，然后求解即可． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【例3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【例4】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，一艘轮船从海平面上的岛出发，向南偏东方向航行100海里到达岛，再从岛向北偏东方向航行100海里到达岛，则、两岛之间的距离是___________海里． 【答案】100 【分析】先利用方向角求出，再判定是等边三角形，即可求解． 【详解】连接， 由题意可知，，，海里， ∴， ∴， 又∵海里， ∴是等边三角形， ∴海里． 1．（26-27九年级·全国·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ， ， ， ， 是等边三角形． (2)4 (3)证明：是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由等边三角形三线合一可得，，再结合已知即可求解； （3）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ， ， ， 又， ． （3）略 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）将两个全等的直角三角形，拼成如图1所示的图形，其中．将 沿着线段 的方向平移到图2位置，连接，． (1)求证：； (2)若 ，，求 平移的距离． 【答案】(1)证明： (2)平移的距离为6 【分析】（1）利用同角的余角相等和全等三角形的性质推导，从而得证； （2）利用三角形内角和推导，从而得到，继而证明为等边三角形，结合即可得解． 【详解】（1）略 （2）， ， ， ，． ， 为等边三角形， ， ，即平移的距离为6． 3．（2026·山西阳泉·三模）阅读与思考 下面是某同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 根据已知条件作等边三角形 学习了等边三角形的有关知识后，老师提出了如下问题． 问题1：如图1，已知线段．求作：，使其为等边三角形． 小聪的作法：如图2，分别以点，为圆心，线段的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则即为所求． 理由如下： 根据作法，得． 是等边三角形．（依据） 小明的作法：如图3，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线；以点为圆心，长为半径作弧，与直线交于点，连接，，则即为所求． 理由如下： …… 问题2：如图4，为直线外一点，直线于点．求作：，使为等边三角形，且点，均在直线上． …… 任务： (1)填空：材料中的依据是指：______ (2)请补全材料中小明的作法的理由． (3)请在图4中画出．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)三条边都相等的三角形是等边三角形（或等边三角形的定义） (2)根据作法，得直线是的垂直平分线，，点在直线上． ． ． 是等边三角形． (3)如图，即为所求；（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理或定义求解； （2）由作图得直线是的垂直平分线，，推出，即可证明是等边三角形； （3）分别以点D和点H为圆心，以为半径画弧交于点M，然后以点D为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点G，P，然后分别以点G，P为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点N，连接并延长交直线l于点E，以点H为圆心，为半径画弧，交l于点F，连接即可． 【详解】（1）解：材料中的依据是指：三条边都相等的三角形是等边三角形（或等边三角形的定义）； （2）略 （3）解：作图略； 如图，连接， 由作图得， ∴是等边三角形 ∴ 由作图得，平分 ∴ 由作图得， ∵直线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形． 【典型例题四 大（小）边对大（小）角定理】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·上海·阶段检测）对于以下两个命题，判断正确的是（   ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的分类和边角的大小关系，熟练掌握三角形的相关知识是解题的关键．根据三角形中大边对大角进行解答即可． 【详解】命题①正确，因为边长顺序决定对应角的大小顺序． 命题②正确，因为最大角为锐角且其他角必然更小，三角形为锐角三角形． 故选：C 【例3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答． 【详解】解：在中，是的对边，是的对边， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）（1）如图，在中，点D在边上．求证：． （2）如图，在中，，点D在上，比较的大小，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的外角性质，不等式的性质等知识点． （1）根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可证明； （2）根据三角形的外角性质得到，而，则，再由大角对大边即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）如图1，在中，已知． 如图1，通过定理“在三角形中，___________”可以证明； 如图1，若D是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，．求证：． 【答案】（1）大边对大角；证明见解析；（2）证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、大边对大角定理、等腰三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）证明：作的角平分线，交于点，在上取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； 延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，根据大边对大角，小边对小角定理可得，由此即可得证； （2）在右侧作，且，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后根据大角对大边，小角对小边定理可得，由此即可得证． 【详解】证明：（1）如图1，通过定理“在三角形中，大边对大角”可以证明，定理证明如下： 如图，作的角平分线，交于点，在上取一点，使得，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 由题意，画出图形如下： 延长至点，使得，连接， ∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． （2）如图，在右侧作，且，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴在中，， ∴． 3．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)2或8 (3)或 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出=即可得出结论； （2）先借助（1）的结论，判断出，进而分两种情况，即可得出结论； （3）借助（2）的结论即可得出范围． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴ 在和中， ∴； （2）如图，由（1）知，， ∵为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ②当时，即， ∴， 即是直角三角形时，或8. （3）∵为钝角三角形， ∴当时，， ②当时，． 即：是钝角三角形时，或． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出． 【典型例题五 最短路径问题】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为； 过点作于点，交于点，过点作于点，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴，此时的值最小， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 【例3】 （25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 【答案】② 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键． 由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ 路线的长度为， 路线的长度为， 故答案为：②． 【例4】 （25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 【答案】点处 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点E，过点E作垂直河岸于点F，则为所建桥的位置． 【详解】解：如图所示，即为所作． 2．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【答案】10 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接． ∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵， ∴的最小值为10． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求； （2）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】（1）解：在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （2）解：在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【典型例题六 根据等边三角形的性质求长度】 【例1】（25-26八年级上·云南红河·期中）如图，是等边三角形，，，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是掌握相关的性质．由等边三角形的性质可得，根据，可得为的中点，即可求解． 【详解】解：是等边三角形，，， ，为的中点， ， 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】证明，结合，，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等边中，，垂足为点O，且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称．（1）连接，则的度数为______；（2）连接，当的长取得最小值时，的长为______． 【答案】 /60度 4 【分析】（1）根据题意得，由对称性可证得，有即可求得答案； （2）延长至点P，使，则点F在线段上运动，当时，最短，且，即可求得答案． 【详解】解：（1）是等边三角形，且， ， 由题意知，在和中， ， ， ， ； （2）延长至点P，使，如图， 由题意知，点F在线段上运动， 当时，最短，此时， ， ． 故答案为：，4． 【点睛】本题主要考查对称的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质，解题的关键是熟练对称性和找最短距离． 【例4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形及等边三角形的性质，难度适中，关键是掌握30度角所对的直角边为斜边的一半． 首先求出，，然后得到，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】∵为等边三角形，的周长是24， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 故答案为：4． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，已知，P是射线上一动点，．    (1)当是等边三角形时，求的长； (2)当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)10； (2)5或20． 【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求解； （2）分两种情况讨论：①若，则，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求；②若，则，从而可求。 【详解】（1）当为等边三角形时，． （2）当是直角三角形时，分两种情况讨论： ①若，则， ∴， ∴； ②若，则， ∴． 综上所述，的长为5或20． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用相关知识是解题的关键． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图1，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为厘米秒．当点到达点时，、两点停止运动．设点的运动时间为（秒）． (1)当运动时间为秒时，的长为厘米，的长为厘米．（用含的式子表示） (2)当为何值时，是直角三角形； (3)如图2，连接、，相交于点，则点，在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 【答案】(1)， (2)当为或时，为直角三角形 (3)不会变化， 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据点、的速度都为厘米秒．得到厘米，厘米，则厘米； （2）分当时和当时，两种情况讨论求解即可； （3）只需要证明得到，则，即不会变化． 【详解】（1）解：点、的速度都为厘米秒． 厘米，厘米， 厘米， 故答案为：，； （2）解：由题意得：厘米，厘米， ①如图1，当时， 是等边三角形， ， ， ，得， 解得，， ②如图，当时， ， ， ，得， 解得，， ∴当为或时，为直角三角形； （3）解：不变，理由如下： 是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ， 不会变化． 3．（24-25八年级上·北京·期中）已知：等边边长为6，点D是边上一点，，点F是射线上一点，作等边，使得点E与点A在线段同侧，连接． (1)如图1，若点F与点C重合，则线段的长为； (2)如图2，若F在线段延长线上， ①依题意补全图形； ②探究线段与之间的数量关系，并给出证明． (3)当线段取得最小值时，请在图3中画出点F的位置，并直接写出线段的长． 【答案】(1)2； (2)①见解析；②，证明见解析； (3)如图所示；． 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键. （1）由可证，即可得到解题； （2）①根据题目文字语言画图即可； ②由可证，可得，，得到是等边三角形，即可得到，解题即可； （3）由（2）可知，则点在过点平行于的直线上运动，由垂线段最短可得当 时，有最小值，即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图， ②， 理由如下： 在上截取， 连接， 设与交点为， ∵和是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，， ∴点在过点平行于的直线上运动， ∴当时，有最小值，如图， ， ， ， ， ． 【典型例题七 根据等边三角形的性质求角度】 【例1】（2025·广东深圳·三模）如图，是等边三角形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点E、F．再分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D．连接交于点G，度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图方法可知，是的垂直平分线，则根据等边三角形的性质可得． 【详解】解：由作图方法可知，是的垂直平分线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 【例2】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【例3】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，是等边三角形，，，则的度数为________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【例4】（25-26八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，三点在同一直线上，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题涉及等边三角形的性质以及平角的定义，通过这些性质求出的度数，再结合与的数量关系求出的度数. 【详解】是等边三角形， 共线， ， 故答案为. 【点睛】利用等边三角形的性质求出的度数，再根据平角定义求出，最后结合与的倍数关系，求出，关键是熟练运用等边三角形和平角的相关性质. 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，以的两边，为边向外作等边三角形和等边三角形，，相交于点．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)当的度数发生变化时，的度数是否变化？若不变化，请直接写出的度数；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，，，然后推出，证明出，即可得到； （2）由等边三角形的性质得到，由得到，然后根据三角形外角的性质等量代换求解即可； （3）由（2）即可得结论． 【详解】（1）解：证明：和是等边三角形， ，， ， ∴ 在和中， ， ； （2）解：是等边三角形， ； （3）解：当的度数发生变化时，的度数不变，． 由（2）可知，的度数与的度数无关，故当的度数发生变化时，的度数不变，． 2．（25-26七年级下·四川·期中）在学习完《问题解决策略：特殊化》内容后，同学们利用特殊化研究三角形角平分线相交形成的角度度数关系． 在中，线段和是的角平分线，与相交于点P，判断与的关系． (1)同学们首选选取等边三角形进行特殊化研究，请求出的度数； (2)请同学们作出一个特殊三角形，并说明它的特殊性，并写出的度数； (3)猜想与的关系，并证明与的关系． 【答案】(1) (2)见解析，为等腰直角三角形， (3)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及特殊化到一般化的数学探究方法．解题的关键是利用角平分线定义表示出与，再结合三角形内角和定理推导与的关系； （1）通过等边三角形的特殊内角计算角平分线夹角； （2）构造等腰直角三角形验证规律； （3）由三角形内角和定理、角平分线定义即可得到与的关系． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴． ∵、是角平分线， ∴， ∴． 在中， ． （2）解：构造等腰直角三角形，， 则． ∵、是角平分线， ∴， ∴． 在中，． 故为等腰直角三角形时，． （3）证明：∵、平分、， ∴， ∴． 在中，． 在中， ． 即． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）问题发现：如图①，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连结．填空： （1）∠的度数为___________； （2）线段，之间的数量关系是___________． 拓展探究： （3）如图②，当和均为等腰直角三角形，时，点，，在同一直线上，连结，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），（2），（3）， 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识熟知相关知识，证明三角形全等是解题关键． （1）证明,得到，即可求出； （2）根据,即可得到； （3）证明∴，即可得到，，从而求出． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴, ∴， ∴； （2）∵， ∴； 故答案为： （3）∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）下列说法错误的是（    ） A．等腰三角形底边上的高所在的直线是底边的垂直平分线 B．两组边对应相等的两个直角三角形全等 C．如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半 D．有一个角等于的三角形是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形性质、直角三角形全等判定、含30°角的直角三角形性质和等边三角形的判定，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】解：选项A：∵等腰三角形三线合一，底边上的高平分底边， ∴等腰三角形底边上的高所在直线是底边的垂直平分线，A说法正确． 选项B：∵两组边对应相等的两个直角三角形，若为两条直角边可利用判定全等，若为斜边和一条直角边可利用判定全等， ∴B说法正确． 选项C：∵等腰三角形底角为， ∴顶角为，腰上的高在三角形外部，可得高与另一腰的延长线围成的直角三角形中，锐角为， ∵直角三角形中，角对的直角边是斜边的一半， ∴腰上的高是腰长的一半，C说法正确． 选项D：只有一个角等于的等腰三角形才是等边三角形，任意一个有一个角为的三角形不一定是等边三角形，因此D说法错误． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，将一张等边三角形纸片沿虚线剪开，得到一个三角形和一个四边形，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可知其三个内角均为，利用三角形内角和得出，再由邻补角求解即可． 【详解】解：原三角形纸片是等边三角形 ， 剪下的小三角形的顶角为， 设小三角形右侧的内角为， ， 与互为邻补角， ∴． 4．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．甲：，路程为．乙：，路程为．丙：，路程为．下列关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】解：设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有A选项正确． 5．（2025·山东临沂·二模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 【答案】B 【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故选：B 6．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：在中，边所对的角为，边所对的角为，边所对的角为， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 【答案】3 【分析】由等边三角形的性质得出，，即可得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形，为的高， ∴，， ∴， ∴． 8．（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 9．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点P为△ABC内一点，∠ABC=45°，点D，E分别是AB，BC上的动点，连接DP，EP，DE，BP．若BP=6，则△DEP周长的最小值为__________． 【答案】6 【解析】略 10．（25-26八年级上·云南文山·期末）如图，在四边形中将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处．若，，则的周长为__________． 【答案】18 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题关键． 根据折叠的性质可得是等边三角形，得到，即可求出周长． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ， 是等边三角形， ， 的周长， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，点D在线段的延长线上，与都是等边三角形，请判断，，的等量关系并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由等边三角形的性质得，，，推导出，可根据“”证明，得，因为点D在线段的延长线上，所以，则． 【详解】解：， 理由：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D在线段的延长线上， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，延长，交的延长线于点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)等腰三角形；理由见详解 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和求三角形的周长，等边三角形的判定和性质，解题关键是利用等腰三角形两腰相等的特点进行边长转换． （1）通过角度转化，证明来证明等腰三角形； （2）根据和是等腰三角形的特点，可推导出，然后再中，可求得的长，从而得出的周长． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ，， ， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：， ． ， 是等边三角形． 是等腰三角形， ， 在中，， ， ， 的周长为； 13．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，．    (1)求的长； (2)点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质解决最短路径问题是解答的关键． （1）证明是等边三角形即可求解； （2）作点E关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，则当三点共线且时，最小，即此时最小，利用等边三角形的性质得到，进而利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图所示，作点E关于的对称点，连接，    由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当三点共线且时，最小，即此时最小， ∵， ∴三点共线， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2025·山东泰安·一模）已知，为等边三角形，点D在边上． (1)【基本图形】如图1，以为一边作等边，连接．可得． (2)【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角形．求证：． (3)【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据等边三角形的性质证明，即可求解； （2）过点D作，交于点G，可证为等边三角形，再证明，即可求解； （3）过点D作，交于点G，可证为等边三角形，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图2，过点D作，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下：如图3，过点D作，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25八年级上·江西宜春·期末）综合与实践： 我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？ 【观察猜想】 （1）在中，，猜想与的大小关系； 【操作证明】 （2）如图1，某同学发现在中，若，可将折叠，使边落在上，点C落在边上的点，折线交于点D，连接 ，发现，⋯，请用上述思路证明（1）中猜想的结论； 【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角；大角对大边”．发现存在图1中的四边形，满足，．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【拓展应用】 （3）资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平．如图3，“筝形”仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤．某同学将仪器上的点E、C紧贴门框上方，观察若线绳恰好经过点D，则可判断门框是水平的．请说明此同学做法的理由； （4）如图4，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为　　　（直接写出答案）． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）或或 【分析】（1）由图形可猜想； （2）利用三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）由等腰三角形的性质可求解； （4）分情况讨论：当时，由折叠性质即可求解；当时，当时，同理可得答案． 【详解】解：（1）猜想：； （2）证明：由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴； （3）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； ∵为铅锤线， ∴是水平的，即门框是水平的； （4）当时，连接,如图2， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，同理可得； 当时，同理可得， 综上：的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌以上知识． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 等边三角形（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 等边三角形的性质 典型例题二 等边三角形的判定 典型例题三 等边三角形的判定和性质 典型例题四 大（小）边对大（小）角定理 典型例题五 最短路径问题 典型例题六 根据等边三角形的性质求长度 典型例题七 根据等边三角形的性质求角度 知识点01 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形；也称为正三角形。 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【即时训练】 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）若等边的周长为，则_______． 知识点02 等边三角形的判定 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上___________填上一个适当的条件． 【典型例题一 等边三角形的性质】 【例1】（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）边长为4的等边三角形的周长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【例2】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 【例4】（25-26八年级上·青海海东·期中）如图，将一个等边三角形沿向右平移后得到，若，则两个三角形重叠部分的周长为__________． 1．（2026·福建·模拟预测）如图，是等边三角形，，，．求证：． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，的三边相等，三个内角也相等，点H，I，J分别在的三边上． (1)如果H，I，J分别为三边的中点，那么，，全等吗？的三边相等吗？ (2)如果，，，那么，，全等吗？的三边相等吗？ (3)请你尝试提出一个更一般的问题． 【典型例题二 等边三角形的判定】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．以上都可以 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，且，则这个三角形是________三角形． 【例4】（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 1．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，点、是边上两点，且． (1)求证：； (2)如果且，试判断的形状，并说明理由． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，交于点，，点，分别在边上，连接． (1)的形状是：______； (2)若，求证：． 3．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，点C在线段上，平分，，． (1)求证：． (2)若，，，求的长 【典型例题三 等边三角形的判定和性质】 【例1】（2026·广西贵港·三模）在中，，，则的形状是（     ） A．等腰但非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【例2】（25-26八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【例4】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，一艘轮船从海平面上的岛出发，向南偏东方向航行100海里到达岛，再从岛向北偏东方向航行100海里到达岛，则、两岛之间的距离是___________海里． 1．（26-27九年级·全国·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）将两个全等的直角三角形，拼成如图1所示的图形，其中．将 沿着线段 的方向平移到图2位置，连接，． (1)求证：； (2)若 ，，求 平移的距离． 3．（2026·山西阳泉·三模）阅读与思考 下面是某同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 根据已知条件作等边三角形 学习了等边三角形的有关知识后，老师提出了如下问题． 问题1：如图1，已知线段．求作：，使其为等边三角形． 小聪的作法：如图2，分别以点，为圆心，线段的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则即为所求． 理由如下： 根据作法，得． 是等边三角形．（依据） 小明的作法：如图3，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线；以点为圆心，长为半径作弧，与直线交于点，连接，，则即为所求． 理由如下： …… 问题2：如图4，为直线外一点，直线于点．求作：，使为等边三角形，且点，均在直线上． …… 任务： (1)填空：材料中的依据是指：______ (2)请补全材料中小明的作法的理由． (3)请在图4中画出．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【典型例题四 大（小）边对大（小）角定理】 【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海·阶段检测）对于以下两个命题，判断正确的是（   ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【例3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【例4】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 1．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）（1）如图，在中，点D在边上．求证：． （2）如图，在中，，点D在上，比较的大小，并说明理由． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）如图1，在中，已知． 如图1，通过定理“在三角形中，___________”可以证明； 如图1，若D是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，．求证：． 3．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 【典型例题五 最短路径问题】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【例3】 （25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 【例4】 （25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 2．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【典型例题六 根据等边三角形的性质求长度】 【例1】（25-26八年级上·云南红河·期中）如图，是等边三角形，，，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等边中，，垂足为点O，且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称．（1）连接，则的度数为______；（2）连接，当的长取得最小值时，的长为______． 【例4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为_______． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，已知，P是射线上一动点，．    (1)当是等边三角形时，求的长； (2)当是直角三角形时，求的长． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图1，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为厘米秒．当点到达点时，、两点停止运动．设点的运动时间为（秒）． (1)当运动时间为秒时，的长为厘米，的长为厘米．（用含的式子表示） (2)当为何值时，是直角三角形； (3)如图2，连接、，相交于点，则点，在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 3．（24-25八年级上·北京·期中）已知：等边边长为6，点D是边上一点，，点F是射线上一点，作等边，使得点E与点A在线段同侧，连接． (1)如图1，若点F与点C重合，则线段的长为； (2)如图2，若F在线段延长线上， ①依题意补全图形； ②探究线段与之间的数量关系，并给出证明． (3)当线段取得最小值时，请在图3中画出点F的位置，并直接写出线段的长． 【典型例题七 根据等边三角形的性质求角度】 【例1】（2025·广东深圳·三模）如图，是等边三角形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点E、F．再分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D．连接交于点G，度数为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，是等边三角形，，，则的度数为________． 【例4】（25-26八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，三点在同一直线上，，则的度数为______． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，以的两边，为边向外作等边三角形和等边三角形，，相交于点．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)当的度数发生变化时，的度数是否变化？若不变化，请直接写出的度数；若发生变化，请说明理由． 2．（25-26七年级下·四川·期中）在学习完《问题解决策略：特殊化》内容后，同学们利用特殊化研究三角形角平分线相交形成的角度度数关系． 在中，线段和是的角平分线，与相交于点P，判断与的关系． (1)同学们首选选取等边三角形进行特殊化研究，请求出的度数； (2)请同学们作出一个特殊三角形，并说明它的特殊性，并写出的度数； (3)猜想与的关系，并证明与的关系． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）问题发现：如图①，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连结．填空： （1）∠的度数为___________； （2）线段，之间的数量关系是___________． 拓展探究： （3）如图②，当和均为等腰直角三角形，时，点，，在同一直线上，连结，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）下列说法错误的是（    ） A．等腰三角形底边上的高所在的直线是底边的垂直平分线 B．两组边对应相等的两个直角三角形全等 C．如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半 D．有一个角等于的三角形是等边三角形 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，将一张等边三角形纸片沿虚线剪开，得到一个三角形和一个四边形，若，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．甲：，路程为．乙：，路程为．丙：，路程为．下列关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 5．（2025·山东临沂·二模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 6．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 7．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 8．（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．    9．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点P为△ABC内一点，∠ABC=45°，点D，E分别是AB，BC上的动点，连接DP，EP，DE，BP．若BP=6，则△DEP周长的最小值为__________． 10．（25-26八年级上·云南文山·期末）如图，在四边形中将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处．若，，则的周长为__________． 11．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，点D在线段的延长线上，与都是等边三角形，请判断，，的等量关系并说明理由． 12．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，延长，交的延长线于点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的周长． 13．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，．    (1)求的长； (2)点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值． 14．（2025·山东泰安·一模）已知，为等边三角形，点D在边上． (1)【基本图形】如图1，以为一边作等边，连接．可得． (2)【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角形．求证：． (3)【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 15．（24-25八年级上·江西宜春·期末）综合与实践： 我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？ 【观察猜想】 （1）在中，，猜想与的大小关系； 【操作证明】 （2）如图1，某同学发现在中，若，可将折叠，使边落在上，点C落在边上的点，折线交于点D，连接 ，发现，⋯，请用上述思路证明（1）中猜想的结论； 【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角；大角对大边”．发现存在图1中的四边形，满足，．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【拓展应用】 （3）资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平．如图3，“筝形”仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤．某同学将仪器上的点E、C紧贴门框上方，观察若线绳恰好经过点D，则可判断门框是水平的．请说明此同学做法的理由； （4）如图4，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为　　　（直接写出答案）． 学科网（北京）股份有限公司 $