培优02 一元二次方程的根与系数的关系（大单元专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过五阶题型实现从直接应用到综合创新的递进式训练，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接求代数式值|17题|结合韦达定理直接计算两根和积及变形|概念直接应用，夯实基础| |已知一根求参数|20题|利用根与系数关系建立方程求另一根或参数|深化方程思想，连接根的定义| |降次求高次代数式|18题|通过方程降次转化高次式为低次式|体现转化思想，拓展应用维度| |方程思想求代数式|10题|构造方程或利用根的定义解决非方程问题|培养模型意识，提升迁移能力| |综合运用|24题|结合判别式、几何应用等综合考查|整合知识网络，发展创新思维|

专题02 一元二次方程的根与系数的关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 直接利用根与系数的关系求代数式的值 1 题型二、 已知方程一根，求另一根或参数 2 题型三、 利用降次求高次代数式 3 题型四、 利用方程思想求代数式的值 4 题型五、 根与系数的关系综合运用 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直接利用根与系数的关系求代数式的值 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 6．在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程来描述其位移时间关系（其中代表位移相关量），该方程的两个实数根为，．在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 7．一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 8．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 10．一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 11．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D． 12．若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 13．设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 14．设、是方程的两个实数根，则的值为________． 15．已知方程的两个根是和，则________． 16．若方程的两个根是，，则的值为________． 17．设是方程的两个根，且，求常数的值． 题型二、已知方程一根，求另一根或参数 18．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一根为（ ） A．8 B．4 C． D． 19．已知关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一根是（   ） A．3 B． C．1 D． 20．已知关于的一元二次方程有一个根为，则另一根为（   ） A．7 B．3 C． D． 21．若一元二次方程的一个根为，则其另一根是（    ） A．0 B．1 C． D．2 22．已知一元二次方程的一个根为，则另一根为（　　） A．1 B．3.5 C．2 D． 23．已知是方程的一个根，则它的另一根是（    ） A． B． C． D． 24．若关于x的一元二次方程的一个根是2，则此方程的另一根和k的值分别是（    ） A．3和2 B．3和 C．和2 D．和 25．一元二次方程有一根是，则另一根是（　　） A． B． C． D． 26．如果是一元二次方程的一个根，则另一根是（    ） A．－7 B．1 C．3 D．6 27．已知关于的一元二次方程，若是方程的一个根，则方程的另一根是____． 28．已知是方程的一个根，则另一根是______，_______． 29．若关于x的一元二次方程有一个根是2，则另一根是_____． 30．已知关于的一元二次方程的一个根是，求方程的另一根是______． 31．如果关于的方程的一个根为，则另一根为______________________． 32．若是方程的一个根，则方程的另一根是_______． 33．已知关于的一元二次方程的一个根是1，则此方程的另一根为______． 34．已知一元二次方程有一个根为，则方程的另一根为____． 35．若关于的方程一个根是1，则另一根为_______． 36．若是关于的方程的一个根，求的值和方程的另一根． 37．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值和另一根； (2)试取的一个整数值，使方程有两个根都是正整数，写出的值，并求此时方程的解． 题型三、利用降次求高次代数式 38．一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 39．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 40．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 41．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 42．已知a，b是方程的两个实数根，求的值（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 43．设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 44．若是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 45．设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2036 B．2035 C．2034 D．2033 46．若，是方程的两根，则的值为________． 47．设m，n是方程的两实数根，则______． 48．若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 49．设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为_____． 50．已知，是一元二次方程两个实数根，则代数式的值为________． 51．已知，()是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 52．若是方程的根，则的值为_________． 53．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 54．设是方程的两个根，则的值为___________． 55．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 题型四、利用方程思想求代数式的值 56．已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 57．已知为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 58．已知实数、、满足，，则实数的最大值为______． 59．已知实数， 满足等式，，则的值是______． 60．若实数、分别满足，，且，则___． 61．已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是______． 62．若，满足，，且，则的值为______ ． 63．若实数a，b满足等式，，则________． 64．若实数、，满足，，且，则的值为_______． 65．已知都是质数，且，，试求________． 题型五、根与系数的关系综合运用 66．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 67．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 68．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 69．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 70．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 71．根据以下素材，解决问题． 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 72．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两个实根，且，求的值． 73．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 74．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 75．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 76．已知，关于的一元二次方程． (1)求证：取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求的值． 77．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 78．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 79．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 80．已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 1．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 2．已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 3．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 4．【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程，如果方程的两根为、，则，．特别地，当二次项系数时，方程可化为，此时根与系数的关系式变得更加简洁：，．这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与系数的关系”． 根据以上材料回答以下问题： (1)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为、，则，．由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的一元二次方程，此方程（一般式）为___________． (2)解（1）中所列方程； (3)设实数、、满足，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程的根与系数的关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 直接利用根与系数的关系求代数式的值 1 题型二、 已知方程一根，求另一根或参数 5 题型三、 利用降次求高次代数式 12 题型四、 利用方程思想求代数式的值 19 题型五、 根与系数的关系综合运用 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直接利用根与系数的关系求代数式的值 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程 ，若方程的两个实数根为 ，，则 ，． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根． ∴ ，． 2．已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定方程中二次项系数和一次项系数后代入公式计算即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程 ， 若方程两根为 ， 则两根之和 ， ∵ 原方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 3．若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若两根为，由根与系数的关系得，，先得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 4．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 5．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 6．在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程来描述其位移时间关系（其中代表位移相关量），该方程的两个实数根为，．在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系计算两根之和与两根之积，即可得到正确结论． 【详解】解：对于一元二次方程，若方程有两个实数根，，则，， ∵给定方程为， ∴，，， ∴，故错误， ，故错误，正确． 7．一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根为、，则． 8．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据根与系数的关系解题即可． 【详解】解：， ， ∴，， ∴点为，在第四象限． 9．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 【详解】解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 10．一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为,，利用计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，， 则方程的两根之积为． 11．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程为 ，其中 ，，， ∴，， ∴． 12．若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于方程可得 ， ∴． 13．设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可直接求出两根之和 【详解】解：一元二次方程为， ，， 14．设、是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，直接代入计算两根之和即可得到结果； 【详解】解：，是方程的两个实数根， 故； 15．已知方程的两个根是和，则________． 【答案】 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得到． 16．若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 17．设是方程的两个根，且，求常数的值． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根与系数关系得到，进而求得，代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴，解得， 将代入中，则， 解得． 题型二、已知方程一根，求另一根或参数 18．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一根为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是理解题意，准确计算．利用两根之和等于求解即可． 【详解】解：设另一个根为t，则有， 故选：A 19．已知关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一根是（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，将代入原方程可求出a的值，进而可得出原方程为，设另一根为，利用根与系数的关系可得出关于的方程，解之即可求出的值． 【详解】解：把代入原方程得：， 解得：， ∴原方程为． 设另一根为，则， ∴， ∴方程的另一根为3． 故选：A 20．已知关于的一元二次方程有一个根为，则另一根为（   ） A．7 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程的两根分别为，，则，．设方程的另一根为，利用一元二次方程的根与系数的关系得到，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：设方程的另一根为， ∴， ∴． 故选：A． 21．若一元二次方程的一个根为，则其另一根是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，设方程的另一根为，根据根与系数的关系得出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：设方程的另一根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 故选：C． 22．已知一元二次方程的一个根为，则另一根为（　　） A．1 B．3.5 C．2 D． 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，根据两根之积得到然后解一次方程即可． 本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得，解得， 故选：B． 23．已知是方程的一个根，则它的另一根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． 【详解】解：设另一根是，则有 ， 解得：， 故选：C． 24．若关于x的一元二次方程的一个根是2，则此方程的另一根和k的值分别是（    ） A．3和2 B．3和 C．和2 D．和 【答案】D 【分析】本题考查根与系数的关系，根据“一元二次方程的两根为，则”求解即可．． 【详解】解：设一元二次方程的另一根为a，则 ，解得， 故选D． 25．一元二次方程有一根是，则另一根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．设方程的一个根是，根据根与系数的关系可得，解答出即可． 【详解】解：设一元二次方程的一个根，另一个根为， 则， 解得． 故选：A． 26．如果是一元二次方程的一个根，则另一根是（    ） A．－7 B．1 C．3 D．6 【答案】C 【分析】设另一根是a，；利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：设另一根是a， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 即另一根是3． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 27．已知关于的一元二次方程，若是方程的一个根，则方程的另一根是____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系列式计算即可． 【详解】解：设方程的另一根为， 根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 28．已知是方程的一个根，则另一根是______，_______． 【答案】 / 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的一个根，设另一根为， ∴， ∴； ∴， ∴. 故答案为：， 29．若关于x的一元二次方程有一个根是2，则另一根是_____． 【答案】1 【分析】此题考查了根与系数的关系．首先设另一个根为，由关于x的一元二次方程有一个根是2，根据根与系数的关系可得，继而求得答案． 【详解】解：设另一个根为， ∵x的一元二次方程有一个根是2， ∴， ∴， 即另一个根为1． 故答案为1． 30．已知关于的一元二次方程的一个根是，求方程的另一根是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，由已知根和常数项可求另一根． 【详解】解：设方程的另一根为，则，则， 故答案为：． 31．如果关于的方程的一个根为，则另一根为______________________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握是解题的关键． 根据求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程的一个根为， 又， 另一根为， 故答案为：． 32．若是方程的一个根，则方程的另一根是_______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的另一根为，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．若，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：设方程的另一根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 所以方程的另一根是． 故答案为：． 33．已知关于的一元二次方程的一个根是1，则此方程的另一根为______． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程，有两个实数根为，，则，是解题的关键． 设方程另一根为，根据题意，得，求解即可． 【详解】设方程另一根为，根据题意，得， 解得：， 故答案为：2． 34．已知一元二次方程有一个根为，则方程的另一根为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，设方程的另一根为，根据，计算即可． 【详解】解：设方程的另一根为， 则， 解得， 故答案为：． 35．若关于的方程一个根是1，则另一根为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 关于的方程一个根是1， ， 故答案为：． 36．若是关于的方程的一个根，求的值和方程的另一根． 【答案】的值为，另一根为． 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴，即， 解得：， ∴的值为，另一根为． 37．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值和另一根； (2)试取的一个整数值，使方程有两个根都是正整数，写出的值，并求此时方程的解． 【答案】(1)，； (2)，，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解一元二次方程；如果一元二次方程的两个根分别为，，则有，． 把代入一元二次方程，可以求出，把代入方程可得原方程化为，解方程求出另一个根即可； 根据一元二方程根与系数的关系可知，又因为方程有两个根都是正整数，所以可知且为偶数，取，代入方程求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有一个根为， ， 解得：， 原方程化为， 分解因式得：， 解得：， 方程的另一根为； （2）解：设关于的一元二次方程的两个根分别为，， 则有， 方程的两个根都是正根， ， 解得：， 若， 解得：， 方程为， 整理可得：， 分解因式可得：， 方程的解为，． 题型三、利用降次求高次代数式 38．一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 【答案】C 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ． 39．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 40．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 41．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次化简，再利用根与系数的关系整体代入计算即可. 【详解】∵和是方程的根， ∴，， ∴， ∴. 42．已知a，b是方程的两个实数根，求的值（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系：先把代入，得出，即，故，再把代入，即可作答． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，把代入， 则， 即， 故， 故选：D． 43．设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根的定义得到，利用根与系数的关系得到，再将所求表达式变形后代入求值即可． 【详解】解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 44．若是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先根据方程根的定义和根与系数的关系得到，，然后将变形后整体代入求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根 ∴， ∴ ∴ ． 45．设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2036 B．2035 C．2034 D．2033 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的定义，代数求值，解题的关键是掌握根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据根的定义得出，然后代数求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴， 故选：B． 46．若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的值，最后代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的根， ， 整理得， 又，是方程的两根， 根据根与系数的关系可得， 将，代入代数式得． 47．设m，n是方程的两实数根，则______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入计算即可得到结果，用到的都是初中一元二次方程的基础性质． 【详解】解 是方程的实数根， ， 整理得， ，是方程的两实数根， 由根与系数的关系得， ∴． 48．若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【答案】11 【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根的定义，得，即， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 将代入多项式，得： 把，代入上式： ． 49．设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系等知识，根据一元二次方程的解及根与系数的关系得到，，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 50．已知，是一元二次方程两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用一元二次方程根的定义得到，再根据根与系数的关系得，然后利用整体代入即可求解． 【详解】解：，是一元二次方程两个实数根， ， ， 故答案为：． 51．已知，()是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则；由一元二次方程的解可得，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：，()是方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：0． 52．若是方程的根，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，代数式求值，若是一元二次方程的两个根时，，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据题意得出，，，将整式变形为，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴， 故答案为： ． 53．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 54．设是方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ，即， 是方程的两个根， ， ． 55．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】7 【分析】根据，是方程的两个实数根，利用一元二次方程解的定义得到降次关系式，再利用根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式逐步降次变形，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，且， 整理得，， 则 ． 题型四、利用方程思想求代数式的值 56．已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，实数，满足，根据根与系数的关系得到、，据此逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，，，则，， 设实数，满足， 由根与系数关系得：、， 故A、B选项错误； ， 故C选项正确； ， 故D选项错误． 57．已知为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．由题意可求出，，即说明m和n可以看作方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵为互不相等的实数， ∴m和n可以看作方程的两个根， ∴， ∴． 故选A． 58．已知实数、、满足，，则实数的最大值为______． 【答案】 2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题关键是利用根与系数的关系构造一元二次方程． 由已知条件，将和视为二次方程的两个根，利用根与系数的关系构造一元二次方程，根据实数根的条件判别式非负，求解的取值范围，从而得到最大值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且和为实数， 以、为根的二次方程有实数根， 即判别式， 将，代入， 得， 解得， 即的最大值为2． 故答案为：2． 59．已知实数， 满足等式，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解． 【详解】解：∵实数， 满足等式，， ∴m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键． 60．若实数、分别满足，，且，则___． 【答案】 【分析】先根据题意可以把，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，，再 根据进行求解即可． 【详解】设，依题，满足方程，是这个方程的两根， ∴，， ∵； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 61．已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是______． 【答案】8 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得到和的值，代入变形后的代数式，再利用配方法即可求出最小值． 【详解】、满足，， 、是方程的两个实数根， ，， ，， 的最小值是， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，配方法的运用，熟练掌握根和系数关系是解题关键． 62．若，满足，，且，则的值为______ ． 【答案】 【分析】由，满足，，且，可得，是方程的两个根，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵，满足，，且， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程是解本题的关键． 63．若实数a，b满足等式，，则________． 【答案】 或或 【分析】先由a、b满足结构相同的方程，确定二者是一元二次方程的根，同时将变形为代入待求式降次，把式子转化为含与的形式，再分两种情况讨论，①时用一元二次方程根与系数关系 求出、后代入计算，时先解出方程的根，再分别代入求值． 【详解】解：∵实数a，b满足等式，， ∴a，b可看作方程的根， ∵， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①： 由一元二次方程根与系数关系得 ，， 原式； ②： 解方程， 因式分解，得， 解得，， 当时，原式； 当时，原式； 综上，或或． 64．若实数、，满足，，且，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，完全平方公式及其变式，灵活运用一元二次方程根的定义和根的判别式是解题的关键． 由已知和是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式的变式即可解决问题． 【详解】解：若实数、，满足， 和是一元二次方程，即的两根， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 65．已知都是质数，且，，试求________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了质数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可分和两种情况讨论，再根据根与系数关系，以及质数即可求得的值． 【详解】解：当时，可得：； 当时，根据题意可得为方程的两个根， ∴， ∵都是质数， 则或， ∴， 故答案为：或． 题型五、根与系数的关系综合运用 66．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 67．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据根与系数的关系用表示和，再代入已知等式得到关于的方程，结合（1）中的范围筛选出符合条件的值即可； 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 68．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)另一个实数根为 (2)或 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 69．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 70．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 71．根据以下素材，解决问题． 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 【答案】(1)解：该一元二次方程不存在实数根，理由如下： 由题意得，， ∴该一元二次方程不存在实数根； (2) (3) 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，由方程的解的定义得到，，则可推出，，可推出，据此代入求值即可； （3）由根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ，， ∴，， ∴ ； （3）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或； ∵原方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 72．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两个实根，且，求的值． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)2 【分析】（1）一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根； （2）关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】（1）略； （2）解：由题意可得，， ∵， ∴， 解得． 73．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 74．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)不存在满足条件的实数 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可； （2）假设存在实数使得，则，由可得，与矛盾，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，． ∴且， ∵， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为且； （2）解：假设存在实数使得， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴ 解得， 由（1）得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 不存在实数使得． 75．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据的范围确定的最小整数值，再将所求代数式变形为，由一元二次方程根与系数的关系可得与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知且取满足条件的最小整数， ∴， ，即， ，， ． 76．已知，关于的一元二次方程． (1)求证：取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ． ∵ ∴． ∴取任意实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)， 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先根据根与系数的关系求出和，再整理，代入和列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵方程有两个实数根，， ∴根据根与系数的关系得，，， ∵， ∴，整理得：，即， 解得：，． 77．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，进一步求解即可； （2）根据，结合k为正整数，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：∵，是原方程的两个实数根，， ∵k为正整数， ∴， ∴方程为， ∴． 78．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求出k的值． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵该方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ， ， ， ∴， 解得， ， ． 79．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算，通过判断证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 80．已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将方程的根代入原方程即可求解； （2）根据根与系数的关系，即可求出c，再利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：将方程的根代入原方程：，解得； （2）设方程的两根为，，若方程的两根之积为3， 则，解得， 即：， 解得，． 1．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【答案】(1)，， (2)有实数根，方程的解为， (3) 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得 ∴； （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，． （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则 两根之积： ∴两根之积为． 2．已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的四条边相等，所以方程有两个相等的实数根，所以有，解方程即可求出的值； （2）四边形为矩形，所以方程一定有两个实数根，所以有，解不等式求出的取值范围，因为矩形对角线的长度为，所以，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：四边形为菱形， 方程有两个相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：； （2）解：四边形为矩形， 一定有两个实数根， ， ， ， ，， 矩形对角线的长度为， ， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ． 3．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 4．【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程，如果方程的两根为、，则，．特别地，当二次项系数时，方程可化为，此时根与系数的关系式变得更加简洁：，．这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与系数的关系”． 根据以上材料回答以下问题： (1)两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为、，则，．由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的一元二次方程，此方程（一般式）为___________． (2)解（1）中所列方程； (3)设实数、、满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系即可写出方程； （2）利用因式分解法即可求解； （3）由条件可得，可看作是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的根与系数的关系式为：，， ∵，， ∴，， ∴一元二次方程为． （2）解：， ∴， ∴， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，可看作一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 令， 当时，， ∴， 解得，， ∴的解集为，即的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $