计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率专项训练-2026年暑假复习高一升高二数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦古典概型及有放回与无放回概率计算，通过分层递进的例题与变式，系统覆盖基础计数、综合应用等题型，强化概率思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计算古典概型问题的概率|6例+6变式（含频率分布直方图、传球等情境）|基础计数、综合应用（如分层抽样）、实际情境问题|从古典概型定义出发，通过具体情境构建样本空间与事件，培养抽象能力| |有放回与无放回问题的概率|3例+3变式（对比两种抽样方式）|有放回/无放回抽样的概率对比，含抽奖、摸球等情境|基于古典概型，对比两种抽样方式的样本空间差异，发展逻辑推理|

暑假培优复习：计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率专项训练 暑假培优复习：计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率专项训练 考点目录 计算古典概型问题的概率 有放回与无放回问题的概率 考点一 计算古典概型问题的概率 例1．（25-26高一下·河北承德·期末）若为从集合中任意选取的一个元素，则是纯虚数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用纯虚数定义计算结合古典概型求解. 【详解】根据题意可得，仅当时，为纯虚数， 所以是纯虚数的概率为． 例2．（25-26高一下·广东广州·期末）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不超过8的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定三个数之积为偶数的样本总数，再从中筛选出和不超过8的样本数，结合古典概型公式计算条件概率. 【详解】首先，从1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数，共有种组合，分别为：、、、、、、、、、。 若三个数之积为偶数，则排除三个数全为奇数的情况，仅需排除这1种，因此满足“积为偶数”的样本共9种。 在上述9种样本中，逐一计算三数之和： 和为，符合要求；和为，符合要求；和为，符合要求；和为，符合要求 ；其余样本的和均大于8，共4种符合要求的样本， 根据古典概型概率公式，所求概率为 例3．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________． 【答案】/0.52 【分析】先确定总事件数，再列举“心有灵犀”的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是种， “心有灵犀”的情况包括：，，，，，，，，，，，，共13种， 故他们“心有灵犀”概率为， 例4．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）不透明袋子中装有 13 个球，其中有 3 个红球、4 个黄球、6 个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出 1 个球，则它是绿球的概率为__________. 【答案】 【详解】袋子中绿球的个数为6，球的总数为， 根据概率计算方法用绿球的个数除以总球的个数可知：抽到绿球的概率为. 例5．（25-26高一下·江苏淮安·期末）某学校高一年级举办一次数学竞赛，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数（，，…，）全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)求这50名学生测试分数的第62百分位数； (3)若采用分层抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1列式求解. （2）根据各组频率计算累积频率，确定第62百分位数所在的区间，利用线性插值法计算；（3）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数并编号，再利用列举法求出古典概率. 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以. （2）由（1）知，分数在的频率为， 分数在的频率为，分数在的频率为， 分数在的频率为. 前三组的累积频率为，前四组的累积频率为， 所以第62百分位数位于区间内. 设第62百分位数为，则，解得. 所以这50名学生测试分数的第62百分位数为80. （3）记分数在的人数为（人）， 分数在的人数为（人）， 由，得采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中，分数在的有2人，编号分别为， 分数在有3人，编号为， 样本空间， 则，记事件“至少一人分数在”，则，则， 所以这2人中至少有一人分数在内的概率为. 例6．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）2025年8月31日，哈尔滨马拉松赛事成功举行，志愿者服务是赛事有序开展的重要保障，共青团哈尔滨市委员会统筹了志愿者选拔的面试工作，现随机抽取了名候选志愿者的面试成绩，已知名候选志愿者的分数全部介于分到分之间（满分分），工作人员将所有测试分数分成组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)由频率分布直方图估计这名候选志愿者面试分数的平均数以及第百分位数； (3)此前工作人员已按照分层抽样的方法，从分数在内的候选志愿者中抽取出甲、乙、丙、丁、戊人，查阅他们的答题记录．求从甲、乙、丙、丁、戊人中选出人进行复核面试时，所选出的人中恰有人分数在内的概率． 【答案】(1) (2)平均数73，第30百分位数66.25 (3) 【详解】（1）由题可得组距为10，所以， 解得. （2）由小问（1）可得，计算各组的中点及频率， 的中点为55，频率为， 的中点为65，频率为， 的中点为75，频率为， 的中点为85，频率为， 的中点为95，频率为， 则平均数， 累计频率为，累计频率为， 则第30百分位数位于内，设为x，则， 解得. （3）的人数为人，的人数为人， 人数比为，所以中抽取4人设为甲、乙、丙、丁， 中抽取1人设为戊， 从这5人中抽取2人有，，，，，，，，，，一共10种选法， 恰有1人在内有，，，一共4种选法， 则概率为. 变式1．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）某超市在端午节当天举办购物满 68 元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为 1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉.小明和小刚购物都满 68 元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出树形图，利用古典概率的公式即可求出答案. 【详解】列树状图如下： 由树状图可知：两人恰好得到不同馅的粽子的概率是 . 变式2．（25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）将笼中的只小白鼠按编号，从中任意取只小白鼠，其编号不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】笼中的只小白鼠按编号，从中任意取只小白鼠，其编号不大于的有只， 由古典概型的概率公式可知所求概率为. 变式3．（25-26高二下·广东广州·期末）甲、乙、丙三人进行传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．第1次由甲将球传出，则3次传球后球在丙手中的概率为______． 【答案】 【详解】每次传球时，传球者有2种可选的传球对象， 因此3次传球的所有等可能基本事件总数为， 列举得第3次传球后球在丙手中的基本事件为： ①甲→乙→甲→丙；②甲→丙→甲→丙；③甲→丙→乙→丙，共3种． 根据古典概型概率公式得：． 变式4．（25-26高二下·上海·期末）若等可能的样本空间，则事件发生的概率________． 【答案】 / 【详解】已知等可能的样本空间， 则事件发生的概率． 变式5．（25-26高一下·安徽马鞍山·期末）从0，1，2，3，4，5，6这7个数中随机选择数，求下列事件的概率. (1)若随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为6； (2)若随机选择两个不同的数，则这两个数之和的个位数字为6. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）从这7个数中人选1个数，有7种选择， 因为这7个数中只有4和6的平方的个位数字为6， 所以若随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为6的概率为； （2）随机选择两个不同的数共有种， 两个数之和的个位数字为6，符合条件的共有3种， 所以随机选择两个不同的数，则这两个数之和的个位数字为6的概率为. 变式6．（25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某高校为调查学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生，统计他们每周的锻炼时长（单位：小时），得到如下频数分布表： 锻炼时长 频数 10 20 30 25 15 (1)估计该校学生每周锻炼时长的分位数； (2)若该校共有2000名学生，估计每周锻炼时长不低于6小时的学生人数； (3)按锻炼时长采用按比例分层随机抽样的方法从锻炼时长在，内的学生中抽取8人，再从这8人中抽取2人，求这2人不在同一锻炼时长区间内的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据频率找到百分位数所在区间，根据所占区间内频率计算具体数值； （2）根据频数等于频率乘总数计算结果； （3）利用古典概型计算公式计算概率． 【详解】（1）由表可知，锻炼时长在内的频率为，在内的频率为， 在内的频率为，在内的频率为，在内的频率为． 因为，， 所以分位数位于内．设分位数的估计值为， 则，解得， 即估计该校学生每周锻炼时长的分位数为． （2）因为样本中锻炼时长不低于6小时的频率为， 所以该校2000名学生中符合条件的人数约为． （3）根据分层抽样，其中位于内的有5人，记这5人为，，，，， 位于内的有3人，记这3人为，，． 从这8人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种情况． 这2人不在同一区间内的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 所以这2人不在同一锻炼时长区间内的概率为． 考点二 有放回与无放回问题的概率 例1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）一个盒子中装有6个小球，其中3个红球，2个黑球和1个白球． (1)采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，求这2个球颜色相同的概率； (2)采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）一个盒子中装有6个小球， 其中3个红球记为，2个黑球记为和1个白球记为， 采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件为： ，共36种， 记这2个球颜色相同为事件A，它包含的基本事件为：，共14种， 故． （2）采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件为： ，共30种， 记第二次取到红球为事件B,它包含的基本事件为：共15种， 故． 例2．（25-26高一下·广东深圳·期末）为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜． (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大． 【答案】(1)游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 (2) (3). 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求游戏一，游戏二的获胜概率； （2）先求出游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数，利用古典概型求解即可； （3）根据独立事件和互斥事件的概率公式可求先玩游戏二或先玩游戏三时获得科技徽章的概率，从而求出游戏三获胜的概率的范围，据此可求值. 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以， 所以游戏二获胜的概率为. （2）游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； （3）设“先玩游戏二，获得徽章”，“先玩游戏三，获得徽章”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 例3．（25-26高一下·吉林延边·期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． (1)记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． (2)记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，因此． （2）对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，，，，，，，，，，，，，，， 则，因为，所以， 所以． 变式1．（25-26高一下·山东菏泽·期末）盒子中装有标号为1，2，2，3，3的5张标签（除标号外其他完全相同），随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相等整数的概率. (1)标签的选取是不放回的； (2)标签的选取是有放回的. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）统计不放回抽取方式下的总等可能样本数，以及两张标签数字相等的事件对应的样本数，代入古典概型概率公式求解； （2）统计有放回抽取方式下的总等可能样本数，以及两张标签数字相等的事件对应的样本数，代入古典概型概率公式求解. 【详解】（1）将 5 张标签标记为互不相同的等可能个体：（标号 1 ）、 （标号 2 ）、 （标号3），试验符合古典概型特征； 不放回选取两张标签：样本空间为 ； 设事件 为＂两张标签数字为相等整数＂， 则 包含的样本为 ，共 个； 由古典概型概率公式得 . （2）有放回选取两张标签：样本空间总样本数 ； 设事件 为＂两张标签数字为相等整数＂， 则 包含的样本：（1）两张均为 ，共 1 种； （2）两张均为 ，共 种； （3）两张均为 ，共 种， 合计 个；由古典概型概率公式得 . 变式2．（25-26高一下·云南昆明·期末）某商场对购物的顾客提供一次抽奖机会．在不透明盒子中装入6个小球，其中4个黄球，2个红球，小球除颜色外其它均相同．顾客选择下面两种抽取方式中的一种，从盒子中抽取2个球． 方式一：一次性抽取2个球； 方式二：先抽取1个球，记录颜色后，放回盒子中，再抽取一次． 中奖规则为：抽取的2个小球至少有一个红球则中奖，否则不中奖． (1)若顾客选择方式一，求中奖的概率； (2)哪种抽取方式的中奖概率更大，请说明理由． 【答案】(1) (2)方式一中奖概率更大，理由如下： 采用方式二抽取，所有等可能的结果，． 记“顾客选择方式二且中奖”为事件B，则 ，， 所以． 因为， 所以顾客选择方式一中奖概率更大． 【详解】将四个黄球编号为1，2，3，4，两个红球编号为5，6． （1）采用方式一抽取，所有等可能的结果 ，． 记“顾客选择方式一且中奖”为事件A，则 ，， 所以， 所以顾客选择方式一中奖的概率为． （2）略 变式3．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 该规则不公平. 理由如下： 一次性抽取2张相当于不放回抽样，由（1）知，“智能社”优先的概率为，“空天社”优先的概率为， 因为，所以该规则不公平. 【分析】（1）确定不放回抽样，通过列举所有等可能样本点，找出 “类型不同” 的样本点，利用古典概型概率公式计算，即目标事件数除以总样本数. （2）采用 “正难则反” 策略，先求两次都没抽到航空航天券的对立事件概率，再用 1 减去该概率得到至少抽到一次的概率.   （3）类比第一问的不放回抽样，分别可以得到两张券类型相同、不同的概率，比较概率大小判断规则是否公平. 【详解】（1）记“两人抽到的体验券类型恰好不同”为事件A. 设4张“具身智能券”为，，，，2张“航空航天券”为，. 两人从中各随机抽取1张体验券，应用枚举法，可知样本空间为 ， 共有15个样本点， ，有8个样本点， 故. （2）记小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”为事件B，则小华两次都没有抽到“航空航天券”为. 小华抽取一次没有抽到“航空航天券”的概率为， 则， 所以. （3）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优复习：计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率专项训练 暑假培优复习：计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率专项训练 考点目录 计算古典概型问题的概率 有放回与无放回问题的概率 考点一 计算古典概型问题的概率 例1．（25-26高一下·河北承德·期末）若为从集合中任意选取的一个元素，则是纯虚数的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·广东广州·期末）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不超过8的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________． 例4．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）不透明袋子中装有 13 个球，其中有 3 个红球、4 个黄球、6 个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出 1 个球，则它是绿球的概率为__________. 例5．（25-26高一下·江苏淮安·期末）某学校高一年级举办一次数学竞赛，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数（，，…，）全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)求这50名学生测试分数的第62百分位数； (3)若采用分层抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 例6．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）2025年8月31日，哈尔滨马拉松赛事成功举行，志愿者服务是赛事有序开展的重要保障，共青团哈尔滨市委员会统筹了志愿者选拔的面试工作，现随机抽取了名候选志愿者的面试成绩，已知名候选志愿者的分数全部介于分到分之间（满分分），工作人员将所有测试分数分成组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)由频率分布直方图估计这名候选志愿者面试分数的平均数以及第百分位数； (3)此前工作人员已按照分层抽样的方法，从分数在内的候选志愿者中抽取出甲、乙、丙、丁、戊人，查阅他们的答题记录．求从甲、乙、丙、丁、戊人中选出人进行复核面试时，所选出的人中恰有人分数在内的概率． 变式1．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）某超市在端午节当天举办购物满 68 元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为 1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉.小明和小刚购物都满 68 元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）将笼中的只小白鼠按编号，从中任意取只小白鼠，其编号不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·广东广州·期末）甲、乙、丙三人进行传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．第1次由甲将球传出，则3次传球后球在丙手中的概率为______． 变式4．（25-26高二下·上海·期末）若等可能的样本空间，则事件发生的概率________． 变式5．（25-26高一下·安徽马鞍山·期末）从0，1，2，3，4，5，6这7个数中随机选择数，求下列事件的概率. (1)若随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为6； (2)若随机选择两个不同的数，则这两个数之和的个位数字为6. 变式6．（25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某高校为调查学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生，统计他们每周的锻炼时长（单位：小时），得到如下频数分布表： 锻炼时长 频数 10 20 30 25 15 (1)估计该校学生每周锻炼时长的分位数； (2)若该校共有2000名学生，估计每周锻炼时长不低于6小时的学生人数； (3)按锻炼时长采用按比例分层随机抽样的方法从锻炼时长在，内的学生中抽取8人，再从这8人中抽取2人，求这2人不在同一锻炼时长区间内的概率． 考点二 有放回与无放回问题的概率 例1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）一个盒子中装有6个小球，其中3个红球，2个黑球和1个白球． (1)采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，求这2个球颜色相同的概率； (2)采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到红球的概率． 例2．（25-26高一下·广东深圳·期末）为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜． (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大． 例3．（25-26高一下·吉林延边·期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． (1)记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． (2)记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 变式1．（25-26高一下·山东菏泽·期末）盒子中装有标号为1，2，2，3，3的5张标签（除标号外其他完全相同），随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相等整数的概率. (1)标签的选取是不放回的； (2)标签的选取是有放回的. 变式2．（25-26高一下·云南昆明·期末）某商场对购物的顾客提供一次抽奖机会．在不透明盒子中装入6个小球，其中4个黄球，2个红球，小球除颜色外其它均相同．顾客选择下面两种抽取方式中的一种，从盒子中抽取2个球． 方式一：一次性抽取2个球； 方式二：先抽取1个球，记录颜色后，放回盒子中，再抽取一次． 中奖规则为：抽取的2个小球至少有一个红球则中奖，否则不中奖． (1)若顾客选择方式一，求中奖的概率； (2)哪种抽取方式的中奖概率更大，请说明理由． 变式3．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $