暑假培优复习：几何法求线面角问题、几何法解决已知线面角求其他量问题专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦几何法解线面角双向问题，通过正方体、四棱锥等载体构建"求角-用角"完整训练链，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何法求线面角|3例+3变式|含证明、求角、体积综合题|线面垂直判定→三垂线定理→角的构造与计算| |已知线面角求其他量|3例+3变式|存在性探究、距离计算、二面角结合题|角的已知条件→空间关系转化→未知量求解|

暑假培优复习：几何法求线面角问题、几何法解决已知线面角求其他量问题专项训练 暑假培优复习：几何法求线面角问题、几何法解决已知线面角求其他量问题专项训练 考点目录 几何法求线面角问题 几何法解决已知线面角求其他量问题 考点一 几何法求线面角问题 例1．（25-26高一下·广东汕头·期末）如图，在棱长为4的正方体中，O为侧面的中心．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求三棱锥的外接球的体积． 【答案】(1)证明：连接，与交于点E，连接， 因为O为侧面的中心，所以O为的中点， 连接OE，因为，，且，， 所以，且， 则四边形为平行四边形， 因为E为的中点，易知， 又平面，平面， 故平面． (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定证明； （2）由正方体性质易证平面，则为直线与平面所成的角，结合边长关系求解. （3）先证明三棱锥的外接球的球心M在线段上，再结合勾股定理求解. 【详解】（1）略 （2）连接，则，则， 易知四边形为平行四边形， 在正方体中，平面， 又平面，所以， 因为， 故平面，即平面， 所以为直线与平面所成的角， 在中，易求，， 所以， 则． 故直线与平面所成角的大小为． （3）设三棱锥的外接球的球心为M，半径为R， 因为的外接圆的圆心为E，所以平面， 由（1）可知，，平面，所以平面， 因此球心M在线段上， 易求，，由，解得， 故三棱锥的外接球的体积为． 例2．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在正方体中，. (1)作出过与平行的平面，并证明； (2)证明：平面; (3)求直线和平面所成的角. 【答案】(1)平面为所求平面. 证明：如图所示，连接，， 在正方体中，且，则四边形是平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面. (2)证明：如图所示，在正方体中，侧面是正方形，所以. 又因为平面，且平面，所以. 因为，且平面，所以平面. (3). 【详解】（1）略. （2）略. （3）由（2）知，平面.如图所示，设，则为的中点，连接， 因为平面，所以为直线与平面所成的角， 在中，，，所以， 得，即直线和平面所成的角为. 例3．（25-26高二下·广东深圳·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，M为棱BC的中点，且，，直线PM与平面所成的角为. (1)证明：. (2)求直线PB与平面所成角的正切值. 【答案】(1)由平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以； (2) 【分析】（1）由平面，利用线面垂直的性质定理得，再由线面垂直的判定定理得平面，又由线面垂直的性质定理得证； （2）连接，可得，根据已知条件求出，设点到平面的距离为，利用求出，进而可求出答案. 【详解】（1）略 （2）连接，由平面，所以为直线PM与平面所成的角， 所以， 在中，， 所以，① 因为，所以，所以②， 由①②得， 所以， 设点到平面的距离为， 在中，， 所以， 因为，所以， 所以， ， 因为，所以，得， 设直线PB与平面PAM所成角为，则， 因为，所以， 所以， 所以直线PB与平面所成角的正切值为. 变式1．（25-26高一下·山东枣庄·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面底面ABCD，， ，，，，. (1)求证：平面PAC； (2)求直线AD和平面PCD所成角的正弦值. 【答案】(1)在△PAB中，，，， 所以，即. 因为平面底面ABCD，平面底面，，平面PAB，所以底面ABCD， 所以， 又，，且平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC. (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定，证明，又，从而判断平面PAC. （2）过点A作，交PC于F，连接DF，根据条件证明平面PCD，从而 ∠ADF为直线AD和平面PCD所成的角，解三角形即得. 【详解】（1）略 （2）过点A作，交PC于F，连接DF. 由（1）知平面PAC， 所以. 又，，平面PCD，平面PCD， 所以平面PCD. 所以直线AD和平面PCD所成的角为∠ADF. 在四边形ABCD中，因为，，， 所以，，，所以. 又因为，所以. 在△PAC中，因为，，， 所以，， 所以. 变式2．（25-26高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，线面平行的判定即可证明； （2）根据线面夹角的定义得出即为直线与平面所成角的平面角，即可求解． 【详解】（1）略． （2）过点作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，即为直线与平面所成角的平面角， 设， 在中，即， 由（1）可知，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为．    变式3．（25-26高一下·甘肃张掖·期末）如图，正方体的棱长为，为线段上的一个动点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)如图，连接．因为四边形是正方形，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以． (2) 【分析】(1)线面垂直性质即可得； (2)根据线面垂直性质，借助直角三角形可得. 【详解】（1）略 （2）设点到平面的距离为，由正方体的性质，得． 设直线与平面所成角为，则，且， 所以当最小时，最大． 如图，连接． 因为平面，平面，所以， 所以． 所以当最小时，最小． 在中，，，所以当时，最小． 因为，所以，所以的最小值为． 所以的最小值为． 所以的最大值为， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 考点二 几何法解决已知线面角求其他量问题 例1．（25-26高一下·山东临沂·期末）如图，在正三棱柱中，是的中点． (1)证明：； (2)在棱上是否存在点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)若，直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：在正三棱柱中，是正三角形，是的中点， 所以， 又因为正三棱柱中，侧棱平面，平面， 所以，因为， 所以平面，因为平面， 所以 (2)棱上存在点，使得平面，； (3)； 【分析】（1）先在底面中利用等边三角形三线合一证，再结合侧棱底面得，从而推出侧面，最终由线面垂直的性质得； （2）取 的中点，连接，构造辅助平面 ，当为 的中点时，，，可得平面 平面，所以 平面 ，并求得此时； （3）先用线面角的正切值求出侧棱高，再分别计算的面积和以为底的三棱锥体积，利用等体积法求出点到平面的距离为. 【详解】（1）略； （2）棱上存在点，使得平面， 取的中点，连接， ∵ 是的中点，是的中点， ∴ 在 中，， 当为的中点时，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，平面，平面，且，， ∴ 平面平面, 又平面，∴ 平面， 因此棱上存在点，使得平面，且为 的中点，故； （3）设正三棱柱的侧棱， 由 (1) 知平面，故直线与平面所成角为， 在中，， 等边边长为，为中点，故 又， 由题意，得， 所以， 在等腰中，底边，腰长为， 所以底边上的高， 所以， 设到平面的距离为， 三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 在中，，点到直线的距离即为侧棱长， ∴ 又到平面的距离为， ∴ 同时， 所以， 因此，点到平面的距离为. 例2．（25-26高一下·四川宜宾·期末）在正三棱柱中，分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角为，求 【答案】(1)证明：分别取，的中点，， 连接，，． 因为，， 所以， 所以四边形为平行四边形． 所以，因为平面平面， 所以平面． (2) 【分析】(1)根据线面平行的判定定理可得； (2)找到直线与平面所成的角，根据几何关系即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接， 所以，因为平面平面，平面平面， 所以平面， 过作交于，所以平面，连接． 所以直线与平面所成角为， 设，可得， 所以， 解得，所以． 例3．（25-26高一下·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)设点到平面的距离为， 因为，，所以，   因为，所以，   因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． (2)存在， 【分析】（1）利用三棱锥的体积为，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取的中点为，连接，，作交于，连接，先证明为与平面所成的角，设，则， ，由列方程，解得，即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角.   因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形 . 设，则，，， ， ， ，即，解得，（舍）  ， 所以，当时，与平面所成的角的正弦值为. 变式1．（25-26高一下·吉林延边·期中）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，且直线与平面所成角的正切值为， ①求的长； ②求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）证明平面即可；（2）①根据线面角的定义确定直线与平面所成角，由条件求，②根据线面角定义作出直线与平面所成角，求出到平面的距离，解三角形求线面角正弦值. 【详解】（1）∵是的直径，是圆周上不同于的一动点. ∴， ∵平面，平面 ∴， 又，平面， ∴平面，平面， ∴， ∴是直角三角形. （2）①∵平面， ∴是直线PC与平面ABC所成的角， 又 ②过A作AH⊥PC于H， ∵BC⊥平面PAC，平面， ∴BC⊥AH，又PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PBC， ∴AH⊥平面PBC， ∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角， 在Rt中，， 在Rt中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 变式2．（25-26高一下·福建莆田·月考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，△PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PD的中点． (1)求证：AE⊥平面PCD； (2)若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为，求侧面PAD与侧面PBC所成二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，再由面面垂直的性质得到平面，即可得到，从而得证； （2）取的中点，连接，，可证平面，则为直线与平面所成的角，即可求出，取的中点，连接，，即可得到为侧面与侧面所成的角，从而得解． 【详解】（1）证明：在中，，为的中点，所以， 因为平面平面．平面平面， ，平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为平面，平面，， 所以平面． （2）解：取的中点，连接，． 在中，，所以． 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 所以为直线与平面所成的角． 在中，， 所以， 在中，， 所以，因为，平面，平面，所以平面． 设平面平面，平面，． 所以． 取的中点，连接，． 在中，，所以，所以． 所以为侧面与侧面所成的角， 在中，，所以． 所以侧面与侧面所成的角为． 变式3．（25-26高一下·广东深圳·月考）如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，进而可得异面直线垂直，可证线面垂直； （2）分别过点与点作直线的垂线，再通过平行，构造二面角的平面角，进而可得二面角余弦值. 【详解】（1） 如图所示，取中点，连接， 是正三角形， 又平面平面，且平面平面， 平面，平面,， ，且， 平面； （2） 如图所示，连接，，过点，作，，分别与交于点，，过点作，交于点，连接， 设，，则， 由（1）得平面，即为直线与平面所成角的平面角， 平面，， 则，， 解得：， 故，，且，即，解得，，， 又，所以平面，， ，且，即，解得，，， 所以点为线段的中点，故点也为线段中点， 所以，， 所以即为二面角的平面角， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优复习：几何法求线面角问题、几何法解决已知线面角求其他量问题专项训练 暑假培优复习：几何法求线面角问题、几何法解决已知线面角求其他量问题专项训练 考点目录 几何法求线面角问题 几何法解决已知线面角求其他量问题 考点一 几何法求线面角问题 例1．（25-26高一下·广东汕头·期末）如图，在棱长为4的正方体中，O为侧面的中心．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求三棱锥的外接球的体积． 例2．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在正方体中，. (1)作出过与平行的平面，并证明； (2)证明：平面; (3)求直线和平面所成的角. 例3．（25-26高二下·广东深圳·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，M为棱BC的中点，且，，直线PM与平面所成的角为. (1)证明：. (2)求直线PB与平面所成角的正切值. 变式1．（25-26高一下·山东枣庄·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面底面ABCD，， ，，，，. (1)求证：平面PAC； (2)求直线AD和平面PCD所成角的正弦值. 变式2．（25-26高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式3．（25-26高一下·甘肃张掖·期末）如图，正方体的棱长为，为线段上的一个动点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 考点二 几何法解决已知线面角求其他量问题 例1．（25-26高一下·山东临沂·期末）如图，在正三棱柱中，是的中点． (1)证明：； (2)在棱上是否存在点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)若，直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离． 例2．（25-26高一下·四川宜宾·期末）在正三棱柱中，分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角为，求 例3．（25-26高一下·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26高一下·吉林延边·期中）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，且直线与平面所成角的正切值为， ①求的长； ②求直线与平面所成角的正弦值. 变式2．（25-26高一下·福建莆田·月考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，△PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PD的中点． (1)求证：AE⊥平面PCD； (2)若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为，求侧面PAD与侧面PBC所成二面角的大小． 变式3．（25-26高一下·广东深圳·月考）如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $