暑假培优：解三角形中的三角形周长、线段长、面积最值与范围问题专项训练-2026年人教A版数学高一升高二暑假培优

**基本信息** 聚焦解三角形中周长、线段长、面积的最值与范围问题，通过分层例题与变式构建从定理应用到条件转化的逻辑体系，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |周长最值与范围|2例+2变式|结合锐角三角形、向量条件，求周长取值范围|以正余弦定理为核心，通过角的范围转化边长关系| |线段长最值与范围|2例+2变式|涉及倍角三角形、动点（如D点）及外部点问题|利用定理构建线段表达式，结合三角形性质限定范围| |面积最值与范围|2例+2变式|含锐角三角形、四边形转化及角平分线条件|基于面积公式，通过边角关系及不等式求最值|

暑假培优：解三角形中的三角形周长、线段长、面积最值与范围问题专项训练 暑假培优：解三角形中的三角形周长、线段长、面积最值与范围问题专项训练 考点目录 解三角形中的三角形周长最值与范围问题 解三角形中的三角形线段长最值与范围问题 解三角形中的三角形面积最值与范围问题 考点一 解三角形中的三角形周长最值与范围问题 例1．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，，． (1)求函数的解析式； (2)若x是直角三角形的一个锐角，求的值域． (3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过数量积坐标运算公式表达出，再结合二倍角公式和辅助角公式化简得出的解析式； （2）利用整体法，再结合正弦函数的性质求解值域； （3）先求出内角，再结合余弦定理与基本不等式求出两边之和的最大值，进而得到三角形周长最大值. 【详解】（1）由，， 则 （2）当时，· 则当（即）时，取得的最大值为1；· 当（即）时，， 故的值域为． （3），，即， 为的内角，．故． ．则 又，由余弦定理， 得，即． 由均值不等式得：， 即，从而， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形． 周长最大值：． 例2．（25-26高一下·福建厦门·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由两向量平行的坐标公式建立边和角的等量关系，再结合正弦定理、余弦定理求出角；（2）利用正弦定理，将求周长边的关系问题，转化为利用三角函数求三角函数值的问题，即可求出三角形周长的取值范围. 【详解】（1）（1）由题意知，，， 则， 由正弦定理得，所以， 化简整理得，由余弦定理得， 因为，所以． （2）（2）由（1）知，则由正弦定理得， 所以，， 则 ， 因为为锐角三角形，所以，，解得， 则，，所以， 又，所以，即周长的取值范围为． 变式1．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知向量，设函数． (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为 (2) (3) 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变形即可求出周期； （2）利用变换角，再由两角差正弦公式即可求值； （3）利用正弦定理化边为角，借助函数的单调性即可求值域. 【详解】（1） 函数的最小正周期为． （2），且，则， 故， 则 ； （3），又为锐角三角形， 所以，则， 由正弦定理， 可得三角形的周长， 解得，因为都在上递增， 所以在上单调递减， 所以的取值范围为． 变式2．（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可得解； （2）先利用余弦定理结合已知求出边，再利用正弦定理求出，再利用三角函数的性质求出的范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以； （2）由余弦定理得， 又， 所以，即，所以， 由正弦定理得， 所以， 则， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 而， 故，所以， 所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 考点二 解三角形中的三角形线段长最值与范围问题 例1．（25-26高一下·江苏南通·期末）若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求证：是倍角三角形； (2)已知为锐角三角形，． （i）若的面积为1，求； （ii）若D点满足，求线段长度的取值范围． 【答案】(1)因为，由正弦定理，得， 又，所以， 所以， 即， 整理得，，因为为三角形内角， 所以或，即或（舍去）， 所以存在一个内角是另一个内角的2倍，所以是倍角三角形. (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据正弦定理，将边化角，然后根据三角函数间的关系证明结论. （2）（i）根据正弦定理，将分别表示为，，再利用面积，建立关于角的三角方程求解； （ii）根据三角形为锐角三角形，求出角的范围，再由正弦定理将分别表示为，，将向量表示为，两边平方，将已知条件代入，通过换元求出长度的范围. 【详解】（1）略 （2）（i）由（1），又，所以， 由正弦定理，得，，则， 因为， 所以，， 由， 即，所以， 整理得，，即， 两边平方得，， 所以，因为为锐角三角形， 解得（舍去）， 所以，所以. （ii）因为为锐角三角形，所以，即. 由正弦定理，得，即， 由（2）知， 所以，. 因为，所以， ， 所以. 又， 令，所以，. 所以，， 所以 . 令，则， 所以，令， ， 所以，所以. 例2．（24-25高一下·四川南充·期中）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．过点B作BC的垂线l，D为l上一点． (1)若，，求线段AD的长； (2)若且D点在△ABC外部，求线段AD长的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用正弦定理求出角B,C，然后再由cosC求解CD,从而求得AD； （2）先利用正弦定理求出相关边，再通过三角函数的值域求出线段AD长的取值范围. 【详解】（1）\ 由，，及正弦定理得， 所以 因为所以 ，因为，所以 所以, 因为，，所以三点共线， 直线 ,得， 在直角三角形中，，得， 所以，所以； （2） 设 ，，, 则,   在中，由正弦定理, 所以， 在中, 由正弦定理, 所以 ， ，得，所以， 所以，所以线段AD长的取值范围是. 变式1．（25-26高一下·广西百色·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理求解角； （2）结合三角形面积公式求出的值，再通过完全平方公式和余弦定理计算边； （3）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合锐角三角形条件确定角的范围，再通过辅助角公式化简，求出的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得，展开并整理得. 结合余弦定理，可得，又，故. （2）由三角形面积公式，代入、，得，解得. 由，得. 结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）. （3）由正弦定理，，故，. 由，得. 因为锐角三角形，故，解得. 则，展开并化简得. 由，得，故，因此. 变式2．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）在 中，内角 的对边分别是 ，若， ． (1)求的面积； (2)若D是AB的中点，求CD的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用余弦定理结合 ，整理得到 ，再利用三角形面积公式求解即可； （2）由，两边同时平方，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理知， ，得 ， 又因为 ，可得 ， 则 ，整理得 ， 故； （2）在中，，两边同时平方： ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值为． 考点三 解三角形中的三角形面积最值与范围问题 例1．（25-26高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且（）． (1)求； (2)若点是边上靠近点的三等分点，且，求的值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对给定的三角函数等式交叉相乘，利用两角和差的正弦、余弦公式化简，结合三角形内角和为的条件推导角的值； （2）先根据角和的值得出的大小，分别在和中应用面积公式，结合与的比例关系即可求出； （3）先用正弦定理将、表示为关于角的函数，代入三角形面积公式，结合的定值和锐角三角形的条件确定角的范围，进而推导面积的取值范围. 【详解】（1）对原式交叉相乘整理得： ， 由余弦差角公式得：， ，且，故， 整理得，又，故，得. （2）由题意，，故， 与同高，面积比等于底之比， 代入面积公式： ， 整理得. （3）由正弦定理，，得，，且， 面积， 由积化和差公式可得： ， 为锐角三角形，故，，解得， 所以，，故. 例2．（25-26高一下·江苏扬州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)已知角的平分线交于，为的中点，与交于点，且． ①若，求角的大小； ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1），先对已知边角关系式子变形，因为式子同时有边和角的余弦，所以用正弦定理将边转化为对应角的正弦，再利用三角恒等变换化简，结合三角形内角和定理，得到边的比例关系，求出的值； （2）①由（1）得，结合为的中点，得，利用正弦定理推出，结合，求得，，设，，利用余弦定理即可求解； ②根据推出， ，可得，从而推出；继而求出的表达式，利用三角恒等变换以及基本不等式求出其最值，即可求得答案. 【详解】（1）由，利用正弦定理得， 可得， 则，即，由正弦定理得，； （2）①由（1）得，由题意知为的中点，故，即， ，， 由于角的平分线交于，故，而， 可得，结合，可得，， 不妨设，， 在中，由余弦定理可得，， 即， 在中，, 即，和联立，得， 则, 在中，，，则； ②在中，不妨设，，，， 得到， 可得，即， 同理在中，，所以， 则，， 而， 即，， 故， 由于，，故，则， 故，即， 当且仅当取得等号，则最大值为． 变式1．（25-26高一下·天津静海·期中）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理边角转化可得，即可得结果； （2）利用余弦定理解得，即可得周长； （3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，进而可得取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以解得. （2）由余弦定理可得， 因为，所以解得， 因此的周长为. （3）由正弦定理可得， 所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 解得，即， 所以，即， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 变式2．（25-26高一下·江苏南通·期中）在四边形中，，，. (1)若四边形是圆的内接四边形，求 ①； ②； (2)求四边形的面积的最大值. 【答案】(1)①；② (2). 【分析】（1）由圆内接四边形的性质及余弦定理可得；以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示求得；或用数量积的定义结合余弦定理求得； （2）用三角形的面积公式，结合余弦定理，可获得四边形的面积与的关系，由的取值，可得四边形的面积的最大值. 【详解】（1）连接，在圆中， ，所以. 在中，由余弦定理， 得. 在中，由余弦定理， 得. 所以，所以. 方法一： 以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，，， 则，， 解得(舍)或． 因为，， 所以． 方法二： 在中，由余弦定理， 得.           在中，由余弦定理， 得.             所以，所以. 所以. 延长交于点，则. 所以. 所以． （2）四边形的面积为 ． 所以. 由（1）得， 所以. 所以 . 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以.     所以四边形的面积的最大值是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：解三角形中的三角形周长、线段长、面积最值与范围问题专项训练 暑假培优：解三角形中的三角形周长、线段长、面积最值与范围问题专项训练 考点目录 解三角形中的三角形周长最值与范围问题 解三角形中的三角形线段长最值与范围问题 解三角形中的三角形面积最值与范围问题 考点一 解三角形中的三角形周长最值与范围问题 例1．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，，． (1)求函数的解析式； (2)若x是直角三角形的一个锐角，求的值域． (3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 例2．（25-26高一下·福建厦门·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 变式1．（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知向量，设函数． (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求周长的取值范围． 变式2．（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 考点二 解三角形中的三角形线段长最值与范围问题 例1．（25-26高一下·江苏南通·期末）若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求证：是倍角三角形； (2)已知为锐角三角形，． （i）若的面积为1，求； （ii）若D点满足，求线段长度的取值范围． 例2．（24-25高一下·四川南充·期中）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．过点B作BC的垂线l，D为l上一点． (1)若，，求线段AD的长； (2)若且D点在△ABC外部，求线段AD长的取值范围． 变式1．（25-26高一下·广西百色·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 变式2．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）在 中，内角 的对边分别是 ，若， ． (1)求的面积； (2)若D是AB的中点，求CD的最小值． 考点三 解三角形中的三角形面积最值与范围问题 例1．（25-26高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且（）． (1)求； (2)若点是边上靠近点的三等分点，且，求的值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 例2．（25-26高一下·江苏扬州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)已知角的平分线交于，为的中点，与交于点，且． ①若，求角的大小； ②求面积的最大值． 变式1．（25-26高一下·天津静海·期中）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 变式2．（25-26高一下·江苏南通·期中）在四边形中，，，. (1)若四边形是圆的内接四边形，求 ①； ②； (2)求四边形的面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $