2.2.1《一元二次方程的解法(第1课时 配方法与直接开平方法)》讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的直接开平方法与配方法，系统讲解x²=p和(x+m)²=n型方程的解法，以及配方法“一化、二移、三配、四开”的完整步骤。前承一元二次方程概念，后启因式分解法与公式法，构建连贯的知识支架。 资料以智能手表面积问题情境引入，分层设计A/B/C层训练与拓展题型，如代数式比较、根的判断等，培养数学运算、逻辑推理与应用意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升学习效果。

配 套 讲 义 2.2.1 一元二次方程的解法 （配方法与直接开平方法） — — — — — — — — — — — — — — 苏科版 · 九年级数学 · 上册 2026 — 2027 学年 班级 ____________ 姓名 ____________ 一、学习目标（核心素养） 本讲在已认识一元二次方程的基础上，学习两种基础解法：直接开平方法与配方法. 数学运算：能根据一元二次方程的结构特征，选择直接开平方法或配方法求解，规范完成配方与开平方全过程. 逻辑推理：理解“降次”思想——把一元二次方程转化为一元一次方程，体会化未知为已知的化归策略. 数学抽象：从具体方程抽象出 x² = p 与 (x + m)² = n 两种基本形式，把握配方法的本质（加“一次项系数一半的平方”）. 应用意识：能用配方法比较代数式大小、判断方程有无实数根，感受配方法是后续学习的基石. ▶ 分层达成要求 A 层（基础）：会解 x² = p 型与简单配方法. B 层（提高）：会解 (x + m)² = n 型，掌握系数不为 1 的配方法. C 层（拓展）：能灵活配方解决代数式大小比较、根的情况等综合问题. 二、知识回顾 情境引入 · 智能手表的“面积之谜”： 问题 1：方形手表屏幕面积是 9 cm²，边长是多少？—— 口答 3 cm. 问题 2：若屏幕面积是 8 cm²，能列方程吗？设边长为 x，得 问题 3：边框宽均为 0.5 cm，有效显示区面积为 6.25 cm²，总边长是多少？得 三个问题由浅入深，自然引出 x² = p 与 (x + m)² = n 两种基本形式，这正是本讲要学的解法. 本课在“一元二次方程的解法”中的位置 阶段 内容 说明 已学 一元二次方程的概念（2.1） 会识别一般形式 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 本课 直接开平方法 + 配方法（2.2.1） 第 1 课时 · 依据平方根定义与完全平方公式 未学 因式分解法（2.2.2）、公式法（2.2.3） 后续课时再学，本讲暂不出现 三、学习导航 建议按下面的顺序推进，先抓“形”再抓“法”： ① 看形式：方程左边是否为完全平方式？能直接开方就直接用. ② 学配方：左边不是平方式时，用“一化、二移、三配、四开”配成 (x + m)² = n. ③ 重本质：无论哪种方法，核心都是“降次”——把二次化为一次. ④ 练规范：每一步右边是正是负都要看清，右边为负则无实数根. 四、方法梳理 （一）直接开平方法 依据平方根定义：若 x² = a (a ≥ 0)，则 x = ±√a.把 (x + m) 看成一个整体，同样适用. 右边 p 的取值 方程 x² = p 的根的情况 p > 0 两个不相等的实数根：x = ±√p p = 0 两个相等的实数根：x₁ = x₂ = 0 p < 0 没有实数根（任何实数的平方都非负） （二）配方法 通过配成完全平方式，把方程化为 (x + m)² = n，再用直接开平方法求解.配方关键来自完全平方公式： 步骤 做法 口诀 ① 一化（除） 二次项系数化为 1（两边同除以二次项系数） 一除 ② 二移 把常数项移到方程右边 二移 ③ 三配 两边同加“一次项系数一半的平方” 三配 ④ 四开 右边非负则开平方；右边为负则无实数根 四开 图 1　解题路线图：先看能否直接开方，否则配方降次 图 2　一元二次方程解法体系（本课高亮 2.2.1） ▶ 方法点拨 配方“三配”一步最容易错：加的是“一次项系数一半的平方”，且左右两边都要加同一个数. 系数不为 1 时，必须先“一化”把二次项系数变为 1，再移项配方. 五、典例精讲 ▶ 学习重点 直接开平方法的两种基本形式；配方法“一化、二移、三配、四开”的完整步骤. ▶ 学习难点 · 如何突破 难在“配方”这一步：左边要凑成完全平方式，常数是一次项系数一半的平方. 突破办法：先移项，再看一次项系数是几，取它的一半、平方，两边同时加上这个数. 例题 1（直接开平方法） 解方程：(1) x² = 2；(2) 4x² − 1 = 0. ▶ 审题 · 思路 (1) 已是 x² = p 型，直接开平方即可. (2) 先移项、系数化 1，化为 x² = 四分之一，再开平方. 解： （1）两边直接开平方，得 ∴ （2）移项，得 4x² = 1；系数化为 1，得 开平方，得 ∴ ▶ 方法小结 含 x² 项系数不为 1 时，先“系数化 1”再开平方；开平方要写 ±，得到两个根. 例题 2（整体思想 · 直接开平方法） 解方程：(1) (x + 1)² = 2；(2) (x − 1)² − 4 = 0. ▶ 审题 · 思路 把 (x + 1)、(x − 1) 分别看成一个整体，按平方根定义开平方. (2) 先把 −4 移项到右边，变成 (x − 1)² = 4. 解： （1）开平方，得 ∴ （2）移项，得 开平方，得 ∴ ▶ 方法小结 形如 (x + m)² = n (n ≥ 0) 的方程，直接把括号整体开方，避免展开后再配方. 例题 3（配方法） 解方程：(1) x² − 8x = 10；(2) 2x² + 12x + 10 = 0. ▶ 审题 · 思路 (1) 二次项系数已是 1，按“二移、三配、四开”即可. (2) 二次项系数不为 1，必须先“一化”再配方. 解： （1）配方，得 x² − 8x + 16 = 10 + 16，即 开平方，得 ∴ （2）二次项系数化为 1，得 移项，得 配方，得 x² + 6x + 9 = −5 + 9，即 开平方，得 ∴ ▶ 方法小结 二次项系数不为 1 时，第一步务必“一化”；配方常数 = (一次项系数/2)²，左右同加. 六、分层训练 ★ A 层（基础） 1. 用直接开平方法解方程：2x² − 8 = 0. 2. 用配方法解方程：x² + 2x − 3 = 0（可化为 (x + 1)² = 4）. ★★ B 层（提升） 1. 解方程：3(x − 1)² − 6 = 0. 2. 用配方法解方程：x² − 6x + 5 = 0. ★★★ C 层（拓展） 1. 若关于 x 的方程 (x − 9)² = m + 3 可用直接开平方法求解，求 m 的取值范围. 2. 用配方法解方程：x² − 6x − 1 = 0. 七、附加拓展提高 下面按题型聚类，覆盖本讲易错与综合应用，建议 A 层选做、B/C 层必做. 题型一　基础辨析（配方正误） 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　） A. B. C. D. ▶ 解析 选 B.B 中 2x² + 16x + 18 = 0 化系数为 1： 移项，得 配方，得 应为 (x + 4)² = 7，而非 25.A、C、D 均正确. 题型二　一般形式推导（配方法的推广） 用配方法解方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)，下列配方正确的是（　　） ▶ 解析 选 A.系数化 1： 移项，得 配方，得 即 （此形式正是后续公式法的雏形，这里先不展开，留待 2.2.3 研究.） 题型三　无实数根的判断 用配方法解下列方程（一次项系数为 三分之二），正确的是（　　） ▶ 解析 选 C.移项： 配方，得 右边为负数（小于 0），原方程无实数解.配方后右边为负，即无实数根. 题型四　代数式大小比较（作差配方） 若 M = 2x² − 12x + 15，N = x² − 8x + 11，则 M 与 N 的大小关系是（　　） ▶ 方法点拨 比较大小常用“作差法”：算出 M − N，配方成完全平方式，利用非负性判断符号. 作差： 整理，得 所以 故选 A（M ≥ N）. ▶ 变式 已知 A = 2x + m，B = x² + m + 4，比较 A 与 B 的大小. 作差： 所以 即 A < B. 题型五　过程纠错（接力游戏） 接力游戏中每人只看到前一人的方程并继续变形，过程如下.其中错误的是（　　） 甲： 乙： 丙： 丁： ▶ 解析 选 B（乙出错）.乙配方时右边漏加了 4，正确应为： 即 (x + 2)² = 6，不是 2. 题型六　根的综合判断 方程 (x + 1)(x − 3) = 2x − 5 根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有一个正根、一个负根 C. 有两个正根，且都小于 3 D. 有两个正根，且有一根大于 3 ▶ 解析 先整理成一般式，再配方判断. 展开： 移项合并： 配方： 解得 两解均大于 0，且 x₁ ≈ 3.414 > 3.故选 D. 题型七　实际应用（配方法 · 配图审题） 图 3　矩形菜园示意图 某小区用围栏围一个矩形菜园，长比宽多 2 m，面积为 48 m².求菜园的宽与长. ▶ 审题 已知：矩形，长 = 宽 + 2，面积 48 m². 所求：宽 x 与长 (x + 2). 等量关系：宽 × 长 = 面积，即 x(x + 2) = 48. 设元：设宽为 x m，则长为 (x + 2) m. 列方程：x(x + 2) = 48. 解：设宽为 x m，则长为 (x + 2) m.由题意，得 整理，得 配方，得 x² + 2x + 1 = 48 + 1，即 开平方，得 解得 宽不能为负，舍去 x = −8.故宽为 6 m，长为 8 m. 八、参考答案与详细解析 分层训练 A 层 1：2x² − 8 = 0 → x² = 4 → x = ±2，故 x₁ = 2，x₂ = −2. A 层 2： 配方，得 解得 B 层 1： 移项，得 (x − 1)² = 2，开平方得 x − 1 = ±√2，故 B 层 2： 配方，得 解得 C 层 1： 可直接开平方要求右边非负，即 m + 3 ≥ 0，故 C 层 2： 配方，得 解得 附加拓展提高 题型一：B.题型二：A.题型三：C.题型四：A（M ≥ N）；变式 A < B.题型五：B（乙出错）.题型六：D. 题型七：宽 6 m，长 8 m（过程见上）. 九、方法总结 两种方法：直接开平方法（依据平方根定义）、配方法（依据完全平方公式）. 方法联系：配方法把方程化成 (x + m)² = n，再交给直接开平方法——本质都是“降次”. 配方法四步口诀：一除、二移、三配、四开. 配方关键：加“一次项系数一半的平方”，左右两边都要加. 右边为负则无实数根；右边为非负则开平方得两个根. 数学思想：化归与转化——化未知为已知、化二次为一次. 十、本讲要点回顾 会识别 x² = p 与 (x + m)² = n 两类方程，直接开平方求解. 会按“一化、二移、三配、四开”完成配方，注意系数不为 1 时先化系数为 1. 养成检验习惯：开平方写 ±；右边为负立即判断无实数根. 看到“比较大小、判断有无实数根”，优先考虑作差或配方. — 本讲结束 · 勤练多思，方得始终 — 苏科版九年级数学上册 · 2.2.1 学科网（北京）股份有限公司 $