5.5 三元一次方程组 教学课件 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三元一次方程组，包含定义、解法及应用。通过《九章算术》“上禾、中禾、下禾”问题导入，对比二元一次方程组引出新知，以“化归思想”为支架衔接前后知识。 其亮点是融合古代数学问题，培养数学眼光（抽象能力）。通过消元法将三元转化为二元再到一元，发展数学思维（推理能力、运算能力）。实例如年龄问题助学生用数学语言表达现实，教师教学更高效，学生理解更深刻。

5.三元一次方程组 第五章 二元一次方程组 北师大版2024·八年级上册 学 习 目 标 1 2 经历三元一次方程组解法的探索过程，进一步体会“化未知为已知”的化归思想. 会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会“消元”的思想. 【思考】 “有上禾3束、中禾2束、下禾1束，可得米39斗；上禾2束、中禾3 束、下禾1束，可得米34斗；上禾1束、中禾2束、下禾3束，可得米26斗， 上、中、下禾每束各可得米多少斗？” 设每束上禾可得米x斗、每束中禾可得米y斗、每束下禾可得米z斗，根据题 意可列出怎样的方程组呢？ 探究与应用 今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗.问:上、中、下禾实一秉各几何?(选自《九章算术》) 题目大意:有上禾3束,中禾2束,下禾1束,可得米39斗;上禾2束,中禾3束,下禾1束,可得米34斗;上禾1束,中禾2束,下禾3束,可得米26斗.上、中、下禾每束各可得米多少斗? 探究1　三元一次方程与三元一次方程组的定义 问题导入 在这个问题中,设每束上禾可得米x斗,每束中禾可得米y斗,每束下禾可得米z斗,根据题意可得方程组:这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系? 解:区别:这个方程组共含有三个未知数.联系:方程组中含有未知数的项的次数都是1.(答案不唯一) 新知探究 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上中下禾实一秉各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗？ 在这个问题中，设每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗，根据题意可得方程组： 新知探究 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ 在这个方程组中，3x+2y+z=39 ,2x+3y+z=34和x+2y+3z=26都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程（linear equation with three unknowns）。 像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组（system of linear equation with three unknowns）。 　三元一次方程（组）的概念 1. 在一个方程中，含有① 未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫作② ⁠. 2. 共含有三个未知数的③ 一次方程所组成的一组方程，叫作④ ⁠ ⁠. 三个　 三元一次方程　 三个　 三 元一次方程组　 【例1】下列方程组中，是三元一次方程组的是（　C　）. A. B. C. D. C 概括新知 (1)三元一次方程:含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是　　　　,这样的方程叫作三元一次方程.  (2)三元一次方程组:共含有三个未知数的　　　　个一次方程所组成的一组方程,叫作三元一次方程组.  (3)三元一次方程组的解:三元一次方程组中各个方程的 　　　　解,叫作这个三元一次方程组的解.  1 三 公共 下列不是三元一次方程组的是（　A　）. A. B. C. D. A 新知探究 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 怎样解三元一次方程组呢？ 典例分析 三元消二元，再变为一元 方法技巧 例2.方程组 解：由方程得 ④ 把④分别代入③并化简，得 x－y=5 ⑤ 8x＋4y=91 ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得x=y=, 把x=y=,代入④，得z= 所以原方程的解是 x= y= z=.    新知探究 (1) 解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数 y (或 z)，从而得到方程组的解吗? (2) 你还有其他方法吗? 与同伴进行交流. 　解三元一次方程组 三元一次方程组中各个方程的⑤ ，叫作这个三元一次方程组 的解. 特别说明：解三元一次方程组的基本思路与求解方法 1. 基本思路：解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元” 化为“二元”，再化为“一元”. 2. 求解方法：代入消元法和加减消元法. 3. 解三元一次方程组的一般步骤： 公共解　 （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成 两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一 次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方 程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起. 三元一次方程组必备的三个条件 (1)一共含有三个未知数;(2)含未知数的项的次数都是1;(3)每个方程都是整式方程. 提 要点 (2)下列方程组是三元一次方程组的是 (　　) A. 　　B. 　　 C. 　　D.   B 新知探究 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 . 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 归纳总结 典例分析 例3.解方程组： 紧扣代入消元法和加减消元法，将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解. 方法技巧 解：① ×2＋②，得5x＋8y＝7. ④ ③与④组成二元一次方程组解得 把x＝3，y＝－1 代入①，得3＋3×(－1)＋2z＝2，解得z＝1. 所以这个三元一次方程组的解为 　三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y，z）表示题目中的 两个（或三个）未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案（包括单位名称）. 特别说明：（1）解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用 题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去. （2）“设”“答”两步都要写清单位名称，应注意单位是否统一. （3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组. 探究2　三元一次方程组的解法 问题导入 怎样解三元一次方程组呢? 解二元一次方程组的基本思路是什么?你认为用类似的思路可以求解这个三元一次方程组吗? 解:解二元一次方程组的基本思路是消元.可以通过消元法解这个三元一次方程组. 操作思考 解方程组: 解: 由①,得z=39-3x-2y.④ 把④分别代入②③并化简,得x-y=5,⑤ 8x+4y=91.⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组,得 把x=,y=代入④,得z=, 经检验,x=,y=,z=满足原方程组. 所以原方程组的解是 典例分析 例4.今年小新一家三口的岁数总和是 80 岁，爸爸比妈妈大 3 岁，妈妈的岁数恰好是小安新岁数的 5 倍.问：今年爸爸、妈妈和小新分别几岁? 等量关系: (1) 爸爸年龄 + 妈妈年龄 + 小新年龄 = 80； (2) 爸爸年龄 = 妈妈年龄 + 3； (3) 妈妈年龄 = 小新年龄×5. 典例分析 例4.今年小新一家三口的岁数总和是 80 岁，爸爸比妈妈大 3 岁，妈妈的岁数恰好是小安新岁数的 5 倍.问：今年爸爸、妈妈和小新分别几岁? 解：设爸爸年龄 x 岁、妈妈年龄 y 岁、小新年龄 z 岁. 由题意得 将③代入②，得 x = 5z + 3； ④ 将③④代入①，得 z = 7； 将 z = 7 代入③④得 一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示（单位： cm），则其 容积为 cm3. 800　 尝试交流 (1)在解上面的方程组时,你能用代入消元法先消去未知数x(或y),从而得到方程组的解吗? (2)你还有其他方法吗?与同伴交流各自的解法,并思考不同方法之间的区别和联系. 解:(1)能 (2)略 概括新知 解三元一次方程组的基本思路:解三元一次方程组的基本思路是“　　　　”,把“三元”化为“二元”,再化为“一元”.  消元 课堂小结 解三元一次方程组的基本思路： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组 消元 消元 “代入”或“加减” “代入”或“加减” 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | $