5.5 三元一次方程组-课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件围绕三元一次方程（组）的定义、解的概念及消元法展开，通过旧识回顾二元一次方程组解法，结合问题导入从二元过渡到三元，以《九章算术》问题为情境，搭建知识支架帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于分层设计基础题与应用题，融入古代数学问题和实际情境（如小明上学路程问题），培养数学眼光和模型意识。通过消元步骤详解与易错点总结，发展推理能力。学生能提升解题技能与应用意识，教师可高效开展教学。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 5.5 三元一次方程组 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册5.5 三元一次方程组 练习题 本节核心考点：掌握三元一次方程、三元一次方程组的定义，理解三元一次方程组的解的概念，熟练运用消元思想，通过代入或加减消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程求解，是二元一次方程组的延伸与提升。 核心知识点（必背） 1. 三元一次方程：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。 2. 三元一次方程组：由三个一次方程组成，一共含有三个未知数的方程组。 3. 三元一次方程组的解：同时满足方程组中三个方程的一组未知数的值。 4. 核心解题思想：消元思想，三元→二元→一元，逐步降次求解。 5. 解题原则：优先消去系数最简单、出现次数最少的未知数，简化计算。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 三元一次方程组含有________个未知数，且含未知数的项的次数都是________。 2. 解三元一次方程组的核心思想是________，逐步将三元方程组转化为一元一次方程。 3. 解三元一次方程组的常规步骤：三元→________→一元。 4. 方程组$$\begin{cases}x+y+z=6\\x-y=1\\z=2\end{cases}$$中，可直接确定的未知数的值是________。 5. 三元一次方程组的解需要同时满足________个方程。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程属于三元一次方程的是（） A. $$x+y+z=5$$ B. $$x^2+y+z=3$$ C. $$x+y=2$$ D. $$xyz=4$$ 2. 解三元一次方程组优先消去的未知数是（） A. 系数最大的 B. 系数最简单的 C. 任意未知数 D. 出现最多的 3. 下列属于三元一次方程组的是（） A. $$\begin{cases}x+y=3\\y+z=4\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y+z=6\\x-y=1\\y+z=3\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x+y+z=2\\x^2=1\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+y=5\\y-z=2\\x-z=7\end{cases}$$ 4. 检验三元一次方程组的解，需要代入（） A. 第一个方程 B. 两个方程 C. 三个方程 D. 无需检验 5. 解三元方程组的最终目的是转化为（） A. 二元一次方程组 B. 一元一次方程 C. 整式方程 D. 分式方程 三、解答应用题（共60分） 1.（20分）解三元一次方程组： $$\begin{cases}x+y+z=6&①\\x-y=1&②\\z=2&③\end{cases}$$ 2.（20分）解三元一次方程组： $$\begin{cases}x+y=3&①\\y+z=5&②\\x+z=4&③\end{cases}$$ 3.（20分）解三元一次方程组： $$\begin{cases}x+2y+z=7&①\\2x-y+3z=12&②\\3x+y+2z=13&③\end{cases}$$ 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. 三、1 2. 消元 3. 二元 4. $$z=2$$ 5. 三 选择题答案 1.A 2.B 3.B 4.C 5.B 解答题详细解析 1. 解： 将③$$z=2$$代入①得：$$x+y+2=6$$，即$$x+y=4&④$$， 联立②④：$$\begin{cases}x-y=1\\x+y=4\end{cases}$$， 两式相加得：$$2x=5$$，解得$$x=2.5$$， 代入得：$$y=1.5$$。 ∴方程组的解为$$\begin{cases}x=2.5\\y=1.5\\z=2\end{cases}$$。 2. 解： ①+②+③得：$$2x+2y+2z=12$$，化简得$$x+y+z=6&④$$， ④-①得：$$z=3$$， ④-②得：$$x=1$$， ④-③得：$$y=2$$。 ∴方程组的解为$$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}$$。 3. 解： ②+③得：$$5x+5z=25$$，化简得$$x+z=5&④$$， ②×2+①得：$$5x+7z=31&⑤$$， 联立④⑤：$$\begin{cases}x+z=5\\5x+7z=31\end{cases}$$， 解得：$$z=3，x=2$$， 将$$x=2，z=3$$代入①得：$$2+2y+3=7$$，解得$$y=1$$。 ∴方程组的解为$$\begin{cases}x=2\\y=1\\z=3\end{cases}$$。 五、易错点总结 1. 概念判定错误：含未知数平方、乘积、分母含未知数的方程，均不是三元一次方程； 2. 消元混乱：未固定消去同一个未知数，导致无法组成二元方程组，解题卡死； 3. 计算失误：多次加减消元，符号出错、漏乘、漏项是高频扣分点； 4. 回代遗漏：求出两个未知数后，忘记回代求第三个未知数，解题不完整； 5. 检验缺失：三元方程组必须代入全部三个方程检验，仅代入部分方程无法验证解的正确性。 旧识回顾 1．什么是二元一次方程组？ 2．求解二元一次方程组的方法有哪些？ 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组 代入消元法、加减消元法 问题导入 1.什么叫二元一次方程组？什么叫“元”，什么叫“次”？ 2.解二元一次方程组有哪几种方法？ 3.它们的实质是什么？ 4.前面我们学习了一元一次方程，二元一次方程（组），今天我们继续学习三元一次方程（组）. 一级标题：黑体， 3 题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗. 上、中、下禾每束各可得米多少斗？ 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗. 问：上、中、下禾实一秉各几何？（选自《九章算术》） 如何解决这个问题呢？ 知识点一 三元一次方程（组）的概念 新课探究 题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗. 上、中、下禾每束各可得米多少斗？ 分析：设每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗. 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 观察列出的三个方程，你有什么发现？ ②含有三个未知数 ③未知数的次数都是1 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 ①都是整式 你能根据二元一次方程的定义，试着给上述三个方程下定义吗？ 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程. 那么方程组 应该叫作什么方程组？ 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 ① ② ③ 三元一次方程组： 三元一次方程组必须满足的三个条件： 共含有三个不相同的未知数. 未知数的项的次数都是1. 共有三个一次方程. 共含有三个未知数的三个一次方程所组成一组方程. 1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 9 2. 解方程组 最简便的消元方法是( ) A. 先消去 B. 先消去 C. 先消去 D. 先消去常数项 B 返回 中考考法 知识点二 三元一次方程组的解法 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解. 怎么解三元一次方程组？ 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 ① ② ③ 能不能像解二元一次方程组一样“消元”，把“三元”化为“二元”呢？ 解方程组： 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 ① ② ③ 解：由①得 z = 39 - 3x - 2y . ④ 把④分别代入②③并化简，得 x - y = 5 ⑤ 8x + 4y = 91 ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 x = y = 把 x = ， y = 代入④，得 z = 经检验， x = ， y = ，z = 满足原方程组. 所以原方程组的解是 y = z = x = 检验时可以口算或在草稿纸上演算，以后可以不写. “三元”化为“二元” （1）解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数 x（或 y），从而得到方程组的解吗？ （2）你还有其他方法吗？与同伴交流各自的解法，并思考不同方法之间的区别和联系. 尝试·交流 回顾二元一次方程组和三元一次方程组的求解过程，说说求解三元一次方程组的基本思路，并与同伴进行交流. 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”，再化为“一元”. 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 思考·交流 消元 消元 知识点三 用三元一次方程组求解实际问题 小明从家到学校的路程为3.3 km，其中有一段上坡路、平路和下坡路.如果保持上坡路每小时行3 km，平路每小时行4 km，下坡路每小时行5 km，那么小明从家到学校要1 h，从学校到家要44 min.小明从家到学校经过的上坡路、平路、下坡路各是多少千米? 上坡路 + 平路 + 下坡路 = 3.3km 从家到学校：上坡时间 + 平路时间 + 下坡时间 = 1h 从学校到家：上坡时间 + 平路时间 + 下坡时间 = h 等量关系 解：设小明从家到学校经过的上坡路是 x km，平路是 y km，下坡路是 z km. x + y + z = 3.3， 根据题意，得 解得 答：小明从家到学校经过的上坡路是2.25 km，平路是0.8 km，下坡路是0.25 km. 3. 设 ， ， 分别表示三种不同的物体，如图所示，前两 架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，右边应 放“ ”的个数为( ) B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.若 是一个三元一次方程， 则___, ___. 1 0 返回 中考考法 17 5. 请写出一个以 为解的三元一次方 程：____________________________. （答案不唯一） 返回 中考考法 18 6. 若方程组 的解满足 ，则点 在第____象限. 四 中考考法 19 【点拨】 ,得 ，整理得 ， 所以.所以.所以 .所以点 在第四象限. 返回 中考考法 7.用3.50元买了面值分别为10分、20分、50分的三种邮票共 18枚，其中10分邮票的总价与20分邮票的总价相同，则50分 邮票买了___枚. 3 中考考法 21 【点拨】设面值为10分、20分、50分的邮票各买了枚、 枚、枚.由题意得 由③，得 .把代入①，得.④ 把 代入②， 得.⑤ 由④，得 .⑥ 把⑥代入⑤， 得.所以 . 返回 中考考法 8. 教材P136随堂练习 解方程组: 中考考法 23 【解】，得 .④ ，得，解得 . 将代入④中，得，解得 . 将代入②中，得，解得 . 所以方程组的解为 返回 中考考法 24 9. 已知多项式中，，， 为 常数， 的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则 的值为( ) D A. 15 B. 19 C. 21 D. 23 中考考法 25 10. 一件工程，甲、乙合作2天可以完工，乙、丙合作2天， 可以完成全工程的 ；丙、甲合作2天后，剩余工程由丙单独 做1天即可完工，那么由丙单独完成全部工程需要的天数是 ( ) B A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 中考考法 26 11.信息安全保障越来越受到人们重视.已知某加密规则为： 明文,对应的密文为,.若明文, 互为 相反数，接收方收到的密文为2和，则 的值为____. 【点拨】由题意得或 且 明文,互为相反数，所以， ，即 ，所以，解得 . 返回 中考考法 27 解三元一次方程组的基本思路： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 “代入”或“加减” “代入”或“加减” 课堂小结 $