第一章 集合与逻辑（单元分层自测·能力提升卷）数学湘教版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦必修第一册第一章集合与逻辑，通过基础运算、新定义应用及实际情境题，全面考查数学抽象与逻辑推理，适配单元复习能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合交并补、命题条件|第6题以运动员比赛情境考查集合关系，体现数学眼光| |多选|3/18|新定义“类”“和谐集”|第9题剩余类问题，培养逻辑推理与数学表达| |填空|3/15|必要条件、实际应用|第13题商店售商品种类，强化数据意识与模型观念| |解答|5/77|充要条件证明、差集新定义|第19题引入差集概念，提升创新应用与数学思维|

2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第一章 集合与逻辑·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D D B D D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ACD BD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．或 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）解方程 令，则方程变为：，因式分解得：................3分 解得或， 当 时，，得； 当 时，，得。................6分 因此，方程的解集为：.................7分 （2）解方程组，由方程(2) 得；，将其代入方程(1)： ，解得或，................9分 当 时，； 当 时，.................12分 因此，方程组的解集为：.................13分 16.解：由命题方程有两个不等的负实根，可得，解得； 命题方程无实根， 可得，解得，................8分 当p真q假时，可得，解得； 当p假q真时，可得，解得，................14分 综上可得，实数的取值范围.................15分 17.证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得，................5分 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根.................9分 ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有.................14分 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是.................15分 18.解：（1）当时，，................4分 则，.................6分 （2）若选①，，可得，则.................8分 当时，，由， 可得，故；................12分 当时，，由， 可得，故.................16分 综上，实数的取值集合为.................17分 若选②或③，均可得出，解析同上. 19.解：（1），，根据差集概念，.................2分 （2）将集合中的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示：   ................5分 （3）因为，所以.................6分 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足.................8分 当时，. 因为，所以.................10分 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则.................12分 当时，. 因为，所以.................14分 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取.................16分 综上，的取值范围是或或.................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第一章 集合与逻辑·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．全集，集合，，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】，解得或，集合或，，， ，解得，集合， ． 2．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若命题“，”为真命题，即，对恒成立，可得， 所以命题“，”为真命题的一个必要不充分条件为选项A. 3．已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，若“”是真命题，即当时，恒成立，则，其中，由，可得，所以，，所以命题“”是假命题， 则的取值范围为． 4．已知集合，，，则M，N，P的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，,， 故。 5．设，，若，则实数的值是（   ） A．0或 B．0或或 C．0或 D．或 【答案】B 【解析】，若，则集合为空集，符合；若，则，因为，则，则或，得或，综上，实数的值是0或或. 6．六名运动员比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天与各赛了3局，与各赛了4局，赛了2局，且和和之间都还没赛过，那么已赛（    ）局 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由与各赛了4局，赛了2局，且和和之间都还没赛过，所以与各赛一局，与各赛一局，又与各赛了3局，赛了2局，且与各赛一局，所以与各赛一局，与各赛一局，综上，已赛4局. 7．设集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或2 【答案】D 【解析】若，则或，当时，与已知矛盾，当时，符合题意；若，则或，当时，符合题意，当时，与已知矛盾；综上所述，0或2. 8．设集合，其中为实数． 令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（    ） A．0 B．2 C．4 D．0或4 【答案】A 【解析】根据集合中元素的互异性，且.由题意，.情况一：若时，当时，，，，的所有元素和为，符合题意，此时的所有元素之积为；当时，，，， 的所有元素和为，不符题意；情况二：若时，此时，，，但此时含有唯一的无理数，不可能元素之和为；情况三：若，，且时，则中只有唯一重复元素，则，由题意，即，此时，矛盾.综上所述，时符合题意，此时的所有元素之积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 【答案】ACD 【解析】对于A：因为，所以，故A正确；对于B：因为，所以，故B错误；对于C：因为整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，所以，故C正确；对于D：若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，其差能被5整除，故；当时，，所以，所以，即整数属于同一“类”，故D正确． 10．已知全集,集合M、N的关系如图所示,则下列结论中正确的（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由韦恩图可得.对于A，取，，则，故，故A错误；对于C，，故，而，，，故C错误；对于B，若，设，则，故，而，故，矛盾，故，故B正确；对于D，，则有，故，故，故，故；，则有，故，故，故，故，故，故D正确. 11．设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的，（与可以相等，也可以不相等），都有且，则称是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是（    ） A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集 B．集合是“和谐集” C．若，都是“和谐集”，则 D．对任意两个不同的“和谐集”，，总有 【答案】ABC 【解析】A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A正确；B项中，设，则，，所以集合是“和谐集”，故B正确；C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C正确；D项中，取，，都是“和谐集”，但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】解：，，即，解得或，或， “”是“”的必要条件，，且恒成立，则或，解得或． 13．某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【答案】 【解析】因为前两天都售出的商品有种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种；同理由后两天都售出的商品有种，则第三天售出的商品中有种第二天未售出；所以三天售出商品种数最少时，即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可，所以这三天售出的商品至少有种. 14．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【解析】因为，，且，则， 对于方程，，当时，有，解得，当时，有，解得；当时，有，方程组无解；当时，有，方程组无解.综上所述，实数的取值集合为. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）写出下列方程（方程组）的解集． (1) (2) 15.解：（1）解方程 令，则方程变为：，因式分解得：................3分 解得或， 当 时，，得； 当 时，，得。................6分 因此，方程的解集为：.................7分 （2）解方程组，由方程(2) 得；，将其代入方程(1)： ，解得或，................9分 当 时，； 当 时，.................12分 因此，方程组的解集为：.................13分 16．（15分）已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若命题p，q一个为真命题，一个为假命题时，求实数m的取值范围． 16.解：由命题方程有两个不等的负实根，可得，解得； 命题方程无实根， 可得，解得，................8分 当p真q假时，可得，解得； 当p假q真时，可得，解得，................14分 综上可得，实数的取值范围.................15分 17．（15分）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 17.证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得，................5分 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根.................9分 ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有.................14分 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是.................15分 18．（17分）已知集合. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若__________，求实数的取值集合. 18.解：（1）当时，，................4分 则，.................6分 （2）若选①，，可得，则.................8分 当时，，由， 可得，故；................12分 当时，，由， 可得，故.................16分 综上，实数的取值集合为.................17分 若选②或③，均可得出，解析同上. 19．（17分）我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为，且．类似的，对于集合，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作．据此回答下列问题： (1)若，，求； (2)在下列各图中用阴影表示集合；    (3)若集合，集合，有，求实数的取值范围． 19.解：（1），，根据差集概念，.................2分 （2）将集合中的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示：   ................5分 （3）因为，所以.................6分 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足.................8分 当时，. 因为，所以.................10分 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则.................12分 当时，. 因为，所以.................14分 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取.................16分 综上，的取值范围是或或.................17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第一章 集合与逻辑·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．全集，集合，，则（    ） A． B．或 C． D． 2．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 3．已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，，则M，N，P的关系为（    ） A． B． C． D． 5．设，，若，则实数的值是（   ） A．0或 B．0或或 C．0或 D．或 6．六名运动员比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天与各赛了3局，与各赛了4局，赛了2局，且和和之间都还没赛过，那么已赛（    ）局 A．1 B．2 C．3 D．4 7．设集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或2 8．设集合，其中为实数． 令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（    ） A．0 B．2 C．4 D．0或4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 10．已知全集,集合M、N的关系如图所示,则下列结论中正确的（   ）    A． B． C． D． 11．设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的，（与可以相等，也可以不相等），都有且，则称是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是（    ） A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集 B．集合是“和谐集” C．若，都是“和谐集”，则 D．对任意两个不同的“和谐集”，，总有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是__________． 13．某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 14．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）写出下列方程（方程组）的解集． (1) (2) 16．（15分）已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若命题p，q一个为真命题，一个为假命题时，求实数m的取值范围． 17．（15分）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 18．（17分）已知集合. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若__________，求实数的取值集合. 19．（17分）我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为，且．类似的，对于集合，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作．据此回答下列问题： (1)若，，求； (2)在下列各图中用阴影表示集合；    (3)若集合，集合，有，求实数的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第一章 集合与逻辑·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．全集，集合，，则（    ） A． B．或 C． D． 2．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 3．已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，，则M，N，P的关系为（    ） A． B． C． D． 5．设，，若，则实数的值是（   ） A．0或 B．0或或 C．0或 D．或 6．六名运动员比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天与各赛了3局，与各赛了4局，赛了2局，且和和之间都还没赛过，那么已赛（    ）局 A．1 B．2 C．3 D．4 7．设集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或2 8．设集合，其中为实数． 令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（    ） A．0 B．2 C．4 D．0或4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 10．已知全集,集合M、N的关系如图所示,则下列结论中正确的（   ）    A． B． C． D． 11．设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的，（与可以相等，也可以不相等），都有且，则称是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是（    ） A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集 B．集合是“和谐集” C．若，都是“和谐集”，则 D．对任意两个不同的“和谐集”，，总有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是__________． 13．某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 14．已知集合，集合，若，则实数的取值集合为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）写出下列方程（方程组）的解集． (1) (2) 16．（15分）已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若命题p，q一个为真命题，一个为假命题时，求实数m的取值范围． 17．（15分）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 18．（17分）已知集合. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若__________，求实数的取值集合. 19．（17分）我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为，且．类似的，对于集合，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作．据此回答下列问题： (1)若，，求； (2)在下列各图中用阴影表示集合；    (3)若集合，集合，有，求实数的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $