专题27.2反比例函数的图象和性质（12大题型）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的图象和性质核心知识点，系统梳理双曲线特征、象限分布规律、增减性（强调“每个象限”）、对称性及k的几何意义（矩形面积|k|），构建从基础性质到与一次函数、二次函数综合应用的学习支架。 资料以12类题型系统覆盖判断性质、比较大小、求参数等，结合易错点（如忽略象限比较大小）和速记口诀，通过真题例题及变式培养几何直观与模型意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺强化应用。

专题27.2反比例函数的图象和性质 【新人教版】 【题型1 判断反比例函数的性质】.......................................................................................................................2 【题型2 比较反比例函数值大小】.......................................................................................................................5 【题型3 已知反比例函数的增减性求参数】.......................................................................................................7 【题型4 根据双曲线分布象限求参数范围】.......................................................................................................9 【题型5 求反比例函数解析式】.........................................................................................................................11 【题型6 已知比例系数求图形面积】.................................................................................................................13 【题型7 已知图形面积求比例系数】.................................................................................................................16 【题型8 反比例函数几何综合】.........................................................................................................................21 【题型9 二次函数与反比例函数图象综合判断】.............................................................................................26 【题型10 一次函数与反比例函数图象综合判断】...........................................................................................28 【题型11 一次函数与反比例函数交点问题】...................................................................................................32 【题型12 一次函数与反比例函数其他综合应用】...........................................................................................35 1.图象特征 反比例函数(k≠0)的图象叫做双曲线； 图象不经过原点，与x轴、y轴没有交点，无限靠近坐标轴。 2.象限分布 k>0：图象分布在第一、三象限；k<0：图象分布在第二、四象限。 3.增减性 k>0：在每个象限内，y随x的增大而减小；k<0：在每个象限内，y随x的增大而增大。 4.对称性 ①中心对称：关于原点中心对称；若(a,b)在图象上，则(-a,-b)也在图象上； ②轴对称：对称轴为直线y=x和直线y=-x。 5. k 的几何意义（重点） 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，围成矩形面积S=|k|；围成直角三角形面积S=|k|/2。 易错1：增减性丢掉“在每个象限内” 不能直接说k>0时，y随x增大而减小；跨象限不满足该规律。 易错2：混淆k正负对应的象限 k>0一、三象限；k<0二、四象限，容易记反。 易错3：利用增减性比较函数值不区分象限 两点不在同一象限时，不能直接用增减性判断大小，优先结合正负判断。 易错4：k几何意义忘记绝对值 面积一定是非负数，直接写成S=k，忽略|k|导致符号出错。 易错5：画图误区 双曲线不能与坐标轴相交，切忌把曲线画到和坐标轴贴合相交。 技巧1：速记口诀 正k一三负二四，同象限内看增减； 一点两垂围矩形，面积等于k的绝对值。 技巧2：函数值大小比较思路 ① 两点同一象限：直接利用增减性判断； ② 两点不同象限：根据点所在象限判断y正负，正数大于负数。 技巧3：k几何意义解题步骤 找点作垂线→确定矩形/三角形面积→S=|k|，结合图象位置确定k正负。 技巧4：对称点快速书写 已知(m,n)在双曲线上，原点对称点(-m,-n)；关于y=x对称点(n,m)。 技巧5：图像快速判定顺序 看k正负定象限→确定增减区间→利用几何意义求面积。题型一 判断反比例函数的性质 【例1】（25-26九年级上·四川巴中·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 反比例函数，，图象位于第一、三象限，每个象限内，y随x的增大而减小，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴的图象位于第一、三象限内，图象与坐标轴不相交，每个象限内，y随x的增大而减小，当时，，故B、C、D正确，A错误， 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）反比例函数 的图像所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像，反比例函数的图像位置由系数k的符号决定，时图像在第一、三象限，时图像在第二、四象限． 根据作答即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图像在第一、三象限． 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的增减性，根据函数性质逐一判断时随的变化趋势，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：、由知， ∴图象位于第一、三象限， ∴当时，函数值随的增大而减小，符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴图象位于第二、四象限， ∴当时，函数值随的增大而增大，不符合题意． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）若反比例函数的图像经过，下列判断不正确的是（    ） A．图像在第二、四象限 B．图象经过点 C．函数值随着的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 【答案】C 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图像与性质，把点代入反比例函数求出，得到函数解析式，再逐一判断选项是否正确． 【详解】解：反比例函数的图像经过点， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， A选项：， 反比例函数的图像在第二、四象限， 故A选项正确； B选项：当时，， 反比例函数的图像经过点， 故B选项正确； C选项：反比例函数中，， 函数图像经过第二、四象限，且在每个象限内数值随着的增大而增大， 故C选项不正确； D选项：反比例函数图像关于原点中心对称，故D选项正确． 故选：C． 题型二 比较反比例函数值大小 【例2】（25-26九年级上·广东茂名·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 【变式2-1】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）若三点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，比较反比例函数值的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得出在每个象限内，随着增大而减小，结合，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴在每个象限内，随着增大而减小， ∵三点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：D 【变式2-2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数，知图象分别位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且第二象限内对应的函数值大于第四象限内对应的函数值． ∵ 点 和在反比例函数的图象上， ∴ ，， ∴． ∴ 当 时，，即． 当 时，，即 ． ∵A选项与B选项中，与的值的大小不确定， ∴选项 A 和 B 不一定正确； ∵ 当 时，， ∴点 和都在第四象限内的反比例函数的图象上，在此象限内，随的增大而增大． ∴，选项 C 正确，符合题意； 选项 D 中，当时，点 和不一定都在同一象限内的反比例函数的图象上， ∴选项 D 不一定正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的符号确定点所在象限，最后结合反比例函数的增减性比较，，的大小． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数. ∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵， ∴点与点在第四象限，点在第二象限， ∴，，， 又∵反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 综上，． 题型三 已知反比例函数的增减性求参数 【例3】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数的取值范围，对于反比例函数，当时，图象任意一支上都随的增大而减小，进行解答；即可． 【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东济南·期末）已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值的增大而增大．那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象两支位于第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数图象两支位于第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此求解即可． 反比例函数的性质：当比例系数小于0时，函数图象在第二、四象限，y随x的增大而增大． 【详解】∵函数 在所在象限内y随x的增大而增大， ∴比例系数 ， ∴ ． 故k的取值范围是 ， 故选：C． 【变式3-2】（25-26九年级上·吉林松原·期末）已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．解题的关键是掌握反比例函数的性质：（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大， ∴， 解得：， ∴的取值可能为． 故选：A． 【变式3-3】（25-26九年级上·重庆渝中·开学考试）若反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 题型四 根据双曲线分布象限求参数范围 【例4】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（   ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象的象限由系数符号决定，第二、四象限时系数小于零，解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得， 选项中只有1满足条件， 故选A． 【变式4-1】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）已知反比例函数的图象如图所示，m的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数，当时，图象在第一、三象限．在每个象限，y随着x的增大而减小，当时，图象在第二、四象限．在每个象限，y随着x的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：由函数图象知，反比例函数的图象在第一、三象限， 则， 解得：． 观察四个选项，只有D选项符合题意． 故选：D． 【变式4-2】（25-26九年级上·河北邢台·期末）双曲线位于第一、三象限，则“”可以是（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据双曲线的象限分布由k的符号决定，当时，图像位于第一、三象限，即可得到答案． 【详解】解：∵双曲线位于第一、三象限， ∴“”大于0， 选项C符合题意， 故选：C． 【变式4-3】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了通过反比例函数图象，确定参数的取值，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象位于第一、三象限． 【详解】解：反比例函数的图象在第一、三象限， 因此比例系数， 解得， 故答案为：． 题型五 求反比例函数解析式 【例5】（25-26九年级上·河北唐山·期末）夕夕家到学校的路程为，到校所需时间（单位：h）随平均速度（单位：）的变化而变化，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，根据路程、速度和时间的基本关系，时间t等于路程除以速度v，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵夕夕家到学校的路程为，到校所需时间（单位：h）随平均速度（单位：）的变化而变化， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-1】（25-26九年级上·山东济南·期末）一个反比例函数图象过点，该图象也一定过点（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数的概念是关键． 设反比例函数解析式为，代入已知点求，再验证各选项点是否满足解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入，得， 对于A，，不是，故A错误； 对于B，，不是，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，不是，故D错误． 故选：C． 【变式5-2】（25-26八年级下·四川乐山·期末）已知是的反比例函数，且当时，．当取何值时，？ 【答案】当时，. 【分析】设反比例函数的解析式为，代入即可求出反比例函数的解析式，将代入即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 时，， ， 反比例函数的解析式为， 把代入，得， 解得， 当时，． 【变式5-3】（25-26九年级上·江西九江·期末）某同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 波长 (1)求波长关于频率的函数关系式； (2)当时，求此电磁波的波长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （）设波长关于频率的函数关系式为，然后利用待定系数法求解即可； （）把代入（）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【详解】（1）解：设波长关于频率的函数关系式为， 由表格可知，当时，， ∴，解得， ∴波长关于频率的函数关系式为； （2）解：由（）得波长关于频率的函数关系式为， ∴当时，， ∴此电磁波的波长． 题型六 已知比例系数求图形面积 【例6】（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，关键是通过设的纵坐标为，求出、两点的横坐标，从而得到的长度，再结合三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∵轴，点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∴； ∵点在轴上， ∴中边上的高为； ∴的面积为； 故选：B． 【变式6-1】（25-26九年级下·福建·阶段检测）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数的中心对称性可得点的坐标，再设点的坐标为，利用平行四边形的性质，表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到与的关系，最后根据三角形面积公式和平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵ 四边形是平行四边形，且边经过原点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且为的中点， ∴ ， ∴ ， 设， ∵ 四边形是平行四边形，且设点， ， 整理得：， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 整理得：，即， ∴，即． ∵在轴负半轴， ∴，符合题意． ∴． ∴． 故选：C． 【变式6-2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，点C、D在x轴上．若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据过双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系即可判断． 【详解】解：延长交y轴于E，则轴， ∵点A在双曲线上， ∴四边形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴四边形的面积为12， ∴矩形的面积为． 【变式6-3】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 题型七 已知图形面积求比例系数 【例7】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】连接，先利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点、垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 【变式7-1】（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值为（    ） A．32 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键．过点，作轴， 轴，垂足分别为，，通过同角的余角相等证明，再证明，，，又，再根据反比例函数比例系数的几何意义，得出，然后求出的值即可． 【详解】解：过点，作轴， 轴，垂足分别为，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式7-2】（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 【变式7-3】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为5，则的值是（   ） A．20 B．40 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．设点B坐标为，得到，即可得到点E坐标为，点F坐标为，．根据的面积为5，得到，求出，然后根据点E在图象上，从而求出k． 【详解】解：设点B坐标为， ∵四边形为矩形，并且在第一象限， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴点E坐标为，点F坐标为，． ∵的面积为5， ∴， ∴， ∵双曲线经过点， ∴． 故选：A． 题型八 反比例函数几何综合 【例8】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点为反比例函数（）图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数（）的图象交于点，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键．分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得，根据反比例函数k的几何意义可知：，，然后可得，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D， ∴， ∵点A为反比例函数图象上的一点，点B为反比例函数图象上的一点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式8-1】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点、点作轴的垂线，垂足分别为、，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，过点、点作轴的垂线，垂足分别为、， ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴，如图所示，负值舍去，则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故选：D． 【变式8-2】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，根据题意表示出线段的长度是解题的关键． 作轴于，于，即可求得，，，，由，得到，，，，进而，然后利用勾股定理得到，代入数值求解即可． 【详解】解：作轴于，于， ∴轴， ∵轴于点，轴于点， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴， 故选：A． 【变式8-3】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，在中，，顶点A，B分别在反比例函数与的图像上，则的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义．过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，于是得到，根据反比例函数的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据锐角三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， ∴， ∵顶点A，B分别在反比例函数与的图象上， ∴由反比例函数的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型九 二次函数与反比例函数图象综合判断 【例9】（25-26九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定k的正负． 先根据反比例函数图象得到，再根据二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且顶点在x轴上． ∴只有A选项符合题意． 故选：A 【变式9-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 【变式9-2】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）函数和在同一坐标系里的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系，本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 【详解】解：由A，D中的二次函数图象可得，因为，故A，D错误； 由B，C中的二次函数图象可得，所以的图象在二，四象限内，故C错误，B正确． 故选：B． 【变式9-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型十 一次函数与反比例函数图象综合判断 【例10】（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 【变式10-1】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像，掌握一次函数和反比例函数图像与相关参数的关系是解题的关键． 分别根据各选项的一次函数和反比例函数图像确定m的取值范围，如果不存在矛盾，即符合题意． 【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，存在矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，不存在矛盾，符合题意； C．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意； D．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意． 故选B． 【变式10-2】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数（）的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数图象可知开口向下，即，对称轴在y轴的右侧，则有，与x轴有两个交点，则有，与y轴的正半轴交于一点，即，然后根据一次函数与反比例函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由二次函数图象可知开口向下，即，对称轴在y轴的右侧，则有，与x轴有两个交点，则有，与y轴的正半轴交于一点，即， ∴反比例函数中，图象经过第一、三象限； 一次函数中，所以该函数图象经过第一、二、三象限； ∴符合题意的只有C选项； 故选:C． 【变式10-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意可得，再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：A ． 题型十一 一次函数与反比例函数交点问题 【例11】（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 或 【分析】先利用正比例函数和反比例函数的对称性，因为两个函数的交点关于原点对称，所以由点A的横坐标为1，可得到点B的横坐标．将不等式变形为，问题转化为找正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围．结合函数图象，分和两个区间，根据两个交点的横坐标，确定满足的x的范围． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 【变式11-1】（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴结合函数图象得关于x的不等式的解集是或． 【变式11-2】（（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 【答案】 【分析】先把代入得，求得反比例函数的表达式，再通过反比例函数的表达式求出点的坐标，再将点和点的坐标求出一次函数的表达式，当时，求出点，得到的值，再由即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵把代入得， ∴， 把代入得， ∴， 把的坐标代入得， 解得：， ∴， 当时，，得， ∴， ∴， ∴． 【变式11-3】（（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 题型十二 一次函数与反比例函数其他综合应用 【例12】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为 (2) (3)4 【分析】（1）先将代入求出的值，继而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵两函数图象相交于点， ∴将代入得， ， ∴反比例函数解析式为， 将代入得， ， 将代入一次函数解析式， 得，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由图象可知，的解集为：． （3）解：设直线与轴交于点，当时，， ， ． 【变式12-1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数关系式及点D的坐标； (2)连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，点的坐标为 (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值，再联立两个函数解析式可得交点D的坐标； （2）根据一次函数解析式求出点B坐标，根据可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【详解】（1）解：把点代入得：， 反比例函数解析式为， 把点，代入得： ， 解得， 一次函数的解析式为， 联立两个解析式得， 解得或， 点的坐标为； （2）解：对于，当时，， 点， 点， ． ， ， ， ， 点的坐标为或． 【变式12-2】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为， (2) 【分析】（1）先求出，，则，然后求出一次函数与轴的交点，则，再由三角形面积建立方程求解，再根据待定系数法求解函数表达式即可； （2）过点作直线的对称点，连接，则，那么当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后证明为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 【变式12-3】（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于, 两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在第一象限线段下方的反比例函数图象上取一点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)； 【分析】(1)把点的坐标代入，即可求得点的坐标，再把点的坐标代入，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点的坐标； （2）设点（），过作轴的垂线，交于点，求出，表示的面积，由均值不等式求出代入即得点的坐标； （3）根据题意确定垂直平分，设直线与轴交于点，过点作轴于，设与轴交于点，连接，交于点，证得可得，在分别求出直线、、的解析式，根据位置关系可求，两点的坐标． 【详解】（1）解：已知一次函数的图象过， 则， 解得， 则， 反比例函数 的图象过， 则， 反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数的解析式可得： 解得， 所以点的坐标为 （2）设点（）， 过作轴的垂线，交于点， 则， 的面积： 对求最值， 由均值不等式：， 当且仅当即（）时取等号，此时最大， 代入， 得 （3）当垂直平分时，不存在符合条件的点； 当垂直平分时， 设直线与轴交于点，过点作轴于， 设与轴交于点，连接，交于点， ∵直线与轴交于点， ∴点， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立直线与反比例函数的解析式得： 解得，， ∴点， ∴直线的解析式为， ∵垂直平分， ∴可得直线的解析式为， 令 解得， ∴点， ∵点是的中点，点， ∴点； 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，二元二次方程组，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.2反比例函数的图象和性质 【新人教版】 【题型1 判断反比例函数的性质】.......................................................................................................................2 【题型2 比较反比例函数值大小】.......................................................................................................................3 【题型3 已知反比例函数的增减性求参数】.......................................................................................................3 【题型4 根据双曲线分布象限求参数范围】.......................................................................................................4 【题型5 求反比例函数解析式】...........................................................................................................................4 【题型6 已知比例系数求图形面积】...................................................................................................................5 【题型7 已知图形面积求比例系数】...................................................................................................................6 【题型8 反比例函数几何综合】...........................................................................................................................8 【题型9 二次函数与反比例函数图象综合判断】...............................................................................................9 【题型10 一次函数与反比例函数图象综合判断】...........................................................................................10 【题型11 一次函数与反比例函数交点问题】...................................................................................................12 【题型12 一次函数与反比例函数其他综合应用】...........................................................................................13 1.图象特征 反比例函数(k≠0)的图象叫做双曲线； 图象不经过原点，与x轴、y轴没有交点，无限靠近坐标轴。 2.象限分布 k>0：图象分布在第一、三象限；k<0：图象分布在第二、四象限。 3.增减性 k>0：在每个象限内，y随x的增大而减小；k<0：在每个象限内，y随x的增大而增大。 4.对称性 ①中心对称：关于原点中心对称；若(a,b)在图象上，则(-a,-b)也在图象上； ②轴对称：对称轴为直线y=x和直线y=-x。 5. k 的几何意义（重点） 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，围成矩形面积S=|k|；围成直角三角形面积S=|k|/2。 易错1：增减性丢掉“在每个象限内” 不能直接说k>0时，y随x增大而减小；跨象限不满足该规律。 易错2：混淆k正负对应的象限 k>0一、三象限；k<0二、四象限，容易记反。 易错3：利用增减性比较函数值不区分象限 两点不在同一象限时，不能直接用增减性判断大小，优先结合正负判断。 易错4：k几何意义忘记绝对值 面积一定是非负数，直接写成S=k，忽略|k|导致符号出错。 易错5：画图误区 双曲线不能与坐标轴相交，切忌把曲线画到和坐标轴贴合相交。 技巧1：速记口诀 正k一三负二四，同象限内看增减； 一点两垂围矩形，面积等于k的绝对值。 技巧2：函数值大小比较思路 ① 两点同一象限：直接利用增减性判断； ② 两点不同象限：根据点所在象限判断y正负，正数大于负数。 技巧3：k几何意义解题步骤 找点作垂线→确定矩形/三角形面积→S=|k|，结合图象位置确定k正负。 技巧4：对称点快速书写 已知(m,n)在双曲线上，原点对称点(-m,-n)；关于y=x对称点(n,m)。 技巧5：图像快速判定顺序 看k正负定象限→确定增减区间→利用几何意义求面积。题型一 判断反比例函数的性质 【例1】（25-26九年级上·四川巴中·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）反比例函数 的图像所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【变式1-2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）若反比例函数的图像经过，下列判断不正确的是（    ） A．图像在第二、四象限 B．图象经过点 C．函数值随着的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 题型二 比较反比例函数值大小 【例2】（25-26九年级上·广东茂名·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）若三点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 题型三 已知反比例函数的增减性求参数 【例3】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东济南·期末）已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值的增大而增大．那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·吉林松原·期末）已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·重庆渝中·开学考试）若反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________． 题型四 根据双曲线分布象限求参数范围 【例4】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（   ） A．1 B． C．3 D．4 【变式4-1】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）已知反比例函数的图象如图所示，m的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【变式4-2】（25-26九年级上·河北邢台·期末）双曲线位于第一、三象限，则“”可以是（   ） A． B． C．1 D．0 【变式4-3】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是______． 题型五 求反比例函数解析式 【例5】（25-26九年级上·河北唐山·期末）夕夕家到学校的路程为，到校所需时间（单位：h）随平均速度（单位：）的变化而变化，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·山东济南·期末）一个反比例函数图象过点，该图象也一定过点（    ）． A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级下·四川乐山·期末）已知是的反比例函数，且当时，．当取何值时，？ 【变式5-3】（25-26九年级上·江西九江·期末）某同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 波长 (1)求波长关于频率的函数关系式； (2)当时，求此电磁波的波长． 题型六 已知比例系数求图形面积 【例6】（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-1】（25-26九年级下·福建·阶段检测）如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，点C、D在x轴上．若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式6-3】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型七 已知图形面积求比例系数 【例7】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　） A．8 B． C．16 D． 【变式7-1】（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值为（    ） A．32 B． C．16 D． 【变式7-2】（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式7-3】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为5，则的值是（   ） A．20 B．40 C． D． 题型八 反比例函数几何综合 【例8】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点为反比例函数（）图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数（）的图象交于点，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【变式8-1】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式8-2】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，在中，，顶点A，B分别在反比例函数与的图像上，则的值为（    ） A． B． C． D．5 题型九 二次函数与反比例函数图象综合判断 【例9】（25-26九年级上·安徽·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）函数和在同一坐标系里的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式9-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型十 一次函数与反比例函数图象综合判断 【例10】（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数（）的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型十一 一次函数与反比例函数交点问题 【例11】（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【变式11-1】（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【变式11-2】（（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 【变式11-3】（（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 题型十二 一次函数与反比例函数其他综合应用 【例12】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【变式12-1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数关系式及点D的坐标； (2)连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 【变式12-2】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【变式12-3】（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于, 两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在第一象限线段下方的反比例函数图象上取一点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $