专题27.1反比例函数的概念（6大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦反比例函数概念这一核心知识点，系统梳理定义、三种等价表达式（分式型、乘积型、负指数型）、取值范围及解析式求法，构建从概念理解到应用的完整学习支架。 该资料通过易错点分析（如忽略k≠0）和解题技巧（判定三步法、参数题模板），结合实际问题题型培养数学眼光，例题与变式训练提升推理意识和运算能力，课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺。

专题27.1反比例函数的概念 【新人教版】 【题型1 根据定义判断是否是反比例函数】.......................................................................................................2 【题型2 用反比例函数描述数量关系】...............................................................................................................4 【题型3 根据反比例函数的定义求参数】...........................................................................................................7 【题型4 反比例函数经过某点求参数】...............................................................................................................8 【题型5 求反比例函数值】...................................................................................................................................9 【题型6 由反比例函数值求自变量】.................................................................................................................11 1.反比例函数定义 形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。 2.三种等价表达式 · 分式型： (k≠0) · 乘积型：xy=k(k≠0) · 负指数型：y=kx-1(k≠0) 3.取值范围 自变量：x≠0；函数值：y≠0 4.解析式求法 待定系数法：只需一组 (x,y)对应值，代入即可求出k，确定函数解析式。 易错1：忽略 k≠0核心条件 判断、含参数题型只看形式，漏掉k≠0，导致判断错误。 易错2：误判反比例函数 、不是反比例函数，分母必须是单独自变量x。 易错3：正反比例混淆 正比例：（比值一定） 反比例：xy=k（乘积一定） 易错4：概念理解错误 认为y越大x越小就是反比例，必须满足乘积固定才是反比例函数。 易错5：实际问题取值范围遗漏 实际场景（路程、面积、销量等），自变量不仅x≠0，还必须取正数。 技巧1：判定反比例函数三步法 化简式子→乘积为定值k→k≠0，全部满足即为反比例函数。 技巧2：参数题万能解题模板 若y=kxm是反比例函数：m=-1且k≠0 技巧3：快速区分技巧 比值固定→正比例；乘积固定→反比例。 技巧4：求解析式固定步骤 设解析式为→代点求k→回代写出解析式。题型一 根据定义判断是否是反比例函数 【例1】（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数，且），只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：是正比例函数， 不符合反比例函数定义， 故A不合题意． 符合（）的形式， 是反比例函数， 故B符合题意． 的分母是，不是单独的， 不符合反比例函数定义， 故C不合题意． 是二次函数， 不符合反比例函数定义， 故D不合题意． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，）或（k为常数，）． 【详解】解：∵反比例函数的定义为：形如（为常数，，）的函数， ∴A选项是正比例函数，不符合反比例函数定义， B选项符合反比例函数的形式，是反比例函数， C选项是二次函数，不符合反比例函数定义， D选项是一次函数与反比例函数的和，不是反比例函数． 综上，故答案选B． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）下列各式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，需依据反比例函数（为常数，）的形式逐一判断选项． 【详解】解：A选项是正比例函数，不符合定义； B选项是一次函数，不符合定义； C选项是二次函数，不符合定义； D选项符合反比例函数的定义． 故选：D． 【变式1-3】（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 【答案】②④⑥ 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，），或可转化为（）、（）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数， ②可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ③中自变量的次数为，不符合反比例函数定义，不是反比例函数， ④可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑤是二次函数，不是反比例函数， ⑥可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑦是正比例函数，不是反比例函数， 综上所述，反比例函数有②④⑥． 故答案为：②④⑥． 题型二 用反比例函数描述数量关系 【例2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 【变式2-1】（2026·山东泰安·二模）下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 【变式2-2】（2026·河北承德·二模）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 【答案】D 【分析】根据题意，判断出人均耕地面积y与总人口x成反比例关系，根据成反比例关系可判断A、B，再根据所列代数式求x值或y值，可判定C，D． 【详解】解：根据题意，，则， 故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少， 故选项B、A错误，不符合题意； 当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意； 当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意． 【变式2-3】（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂动力动力臂”即可得到函数表达式． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 题型三 根据反比例函数的定义求参数 【例3】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）已知函数是反比例函数，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，其指数为，因此令指数部分等于，求解即可得出结果，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的标准形式是解题关键． 反比例函数的标准形式为或，其中为常数且，据此对选项进行判断． 【详解】解：反比例函数的标准形式为或，其中为常数且， ∵是反比例函数，， ∴． 故选：． 【变式3-2】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）若是反比例函数，则_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是做题的关键．根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：3． 【变式3-3】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）已知函数是反比例函数，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义：一般形式转化为的形式．根据反比例函数的定义，则且即可求解． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 题型四 反比例函数经过某点求参数 【例4】（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知反比例函数 的图象经过点，则k的值为 （ 　  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接把点代入反比例函数即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，解得． 故选：B． 【变式4-1】（25-26九年级上·新疆喀什·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 反比例函数图象上的点满足横纵坐标之积等于k，代入点坐标求解． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 故选：D． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东·期末）已知是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征， 根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标之积相等，列出方程求解． 【详解】解：∵点和点在同一个反比例函数图象上， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标乘积相等，列出方程求解，即可解题． 【详解】解：点和点是同一个反比例函数图象上的两点， 则． 化简得， 解得． 故答案为：． 题型五 求反比例函数值 【例5】（25-26九年级上·河北保定·期末）已知反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点的坐标代入反比例函数解析式，建立关于未知参数的方程并求解； 将点代入，得到，计算得出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 故选：C． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）下列各点中，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于反比例函数，图象上的点横纵坐标乘积一定等于，只需计算各点横纵坐标的乘积，判断是否等于即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴函数中，若点在该反比例函数图象上，需满足， A、，满足，因此该点在函数图象上； B、，不满足条件； C、，不满足条件； D、，不满足条件． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）若点是反比例函数图象上一点，则点A位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义及各象限上的点的坐标特点．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点是反比例函数，求出的值，再根据点的特征即可判断． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∵横坐标，纵坐标， ∴点A在第三象限． 故选：C． 【变式5-3】（2026·云南·中考真题）若函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 题型六 由反比例函数值求自变量 【例6】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）已知反比例函数，当时，___________． 【答案】2 【分析】此题考查了反比例函数的性质，将已知的值代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】解：当时，代入得，， 解得． 故答案为：2． 【变式6-1】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）已知点在反比例函数的图象上，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入反比例函数解析式，建立方程求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将点代入，则， 解得， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26九年级上·陕西安康·期末）已知与的反比例函数，且其函数图象经过点．当时，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查关于反比例函数的题，掌握反比例函数的图像和性质是关键；首先运用待定系数法求出反比例函数解析式为，把代入解析式即可解答． 【详解】解：设与的函数关系式为， 将点的坐标代入， 得， 解得， ∴与的函数关系式为， 将代入，得， 解得． 【变式6-3】（25-26九年级上·广西梧州·期中）已知与成反比例函数关系，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)求当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设与的函数关系式为，将，代入计算即可得； （2）将代入函数关系式即可得． 【详解】（1）解：由题意，设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.1反比例函数的概念 【新人教版】 【题型1 根据定义判断是否是反比例函数】.......................................................................................................2 【题型2 用反比例函数描述数量关系】...............................................................................................................2 【题型3 根据反比例函数的定义求参数】...........................................................................................................4 【题型4 反比例函数经过某点求参数】...............................................................................................................4 【题型5 求反比例函数值】...................................................................................................................................4 【题型6 由反比例函数值求自变量】...................................................................................................................5 1.反比例函数定义 形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。 2.三种等价表达式 · 分式型： (k≠0) · 乘积型：xy=k(k≠0) · 负指数型：y=kx-1(k≠0) 3.取值范围 自变量：x≠0；函数值：y≠0 4.解析式求法 待定系数法：只需一组 (x,y)对应值，代入即可求出k，确定函数解析式。 易错1：忽略 k≠0核心条件 判断、含参数题型只看形式，漏掉k≠0，导致判断错误。 易错2：误判反比例函数 、不是反比例函数，分母必须是单独自变量x。 易错3：正反比例混淆 正比例：（比值一定）;反比例：xy=k（乘积一定） 易错4：概念理解错误 认为y越大x越小就是反比例，必须满足乘积固定才是反比例函数。 易错5：实际问题取值范围遗漏 实际场景（路程、面积、销量等），自变量不仅x≠0，还必须取正数。 技巧1：判定反比例函数三步法 化简式子→乘积为定值k→k≠0，全部满足即为反比例函数。 技巧2：参数题万能解题模板 若y=kxm是反比例函数：m=-1且k≠0 技巧3：快速区分技巧 比值固定→正比例；乘积固定→反比例。 技巧4：求解析式固定步骤 设解析式为→代点求k→回代写出解析式。题型一 根据定义判断是否是反比例函数 【例1】（25-26九年级上·山东滨州·期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）下列各式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 题型二 用反比例函数描述数量关系 【例2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·山东泰安·二模）下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【变式2-2】（2026·河北承德·二模）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 【变式2-3】（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 题型三 根据反比例函数的定义求参数 【例3】（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）已知函数是反比例函数，则_______． 【变式3-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）若是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）若是反比例函数，则_____． 【变式3-3】（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）已知函数是反比例函数，则的值为________． 题型四 反比例函数经过某点求参数 【例4】（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知反比例函数 的图象经过点，则k的值为 （ 　  ） A．2 B． C．1 D． 【变式4-1】（25-26九年级上·新疆喀什·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（25-26九年级上·广东·期末）已知是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为___________． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为________． 题型五 求反比例函数值 【例5】（25-26九年级上·河北保定·期末）已知反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）下列各点中，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）若点是反比例函数图象上一点，则点A位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式5-3】（2026·云南·中考真题）若函数的图象经过点，则________． 题型六 由反比例函数值求自变量 【例6】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）已知反比例函数，当时，___________． 【变式6-1】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）已知点在反比例函数的图象上，则__________． 【变式6-2】（25-26九年级上·陕西安康·期末）已知与的反比例函数，且其函数图象经过点．当时，求的值． 【变式6-3】（25-26九年级上·广西梧州·期中）已知与成反比例函数关系，且当时，，求： (1)与的函数关系式； (2)求当时，的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $